北师大版数学选修全套教案.docx

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北师大版数学选修全套教案

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）

1.1基本计数原理

（第一课时）

教学目标：

（1）理解分类计数原理与分步计数原理

（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题

教学重点：

（1）理解分类计数原理与分步计数原理

（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题

教学过程

一、复习引入：

一次集会共50人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？

某商场有东南西北四个大门，当你从一个大门进去又从另一个大门出来，问你共有多少种不同走法？

二、讲解新课：

问题1春天来了，要从济南到北京旅游，有三种交通工具供选择：

长途汽车、旅客列车和客机。

已知当天长途车有2班，列车有3班。

问共有多少种走法？

设问1：

从济南到北京按交通工具可分____类方法?

第一类方法,乘火车，有___种方法;

第二类方法,乘汽车，有___种方法;

∴从甲地到乙地共有__________种方法

设问2：

每类方法中的每种一方法有什么特征？

问题2：

春天来了，要从济南到北京旅游，若想中途参观南开大学，已知从济南到天津有3种走法，从天津到北京有两种走法；问要从济南到北京共有多少种不同的方法？

从济南到北京须经____再由_____到北京有____个步骤

第一步,由济南去天津有___种方法

第二步,由天津去北京有____种方法,

设问2：

上述每步的每种方法能否单独实现从济南村经天津到达北京的目的?

1分类计数原理：

（1）加法原理：

如果完成一件工作有K种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有nK种方法可以完成。

那么，完成这件工作共有n1+n2+……+nK种不同的方法。

1.标准必须一致,而且全面、不重不漏！

2“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的即：

它们两两的交集为空集！

3每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成

2，乘法原理：

如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有nK种不同的方法。

那么，完成这件工作共有n1×n2×……×nK种不同方法

1标准必须一致、正确。

2“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉。

3若完成某件事情需n步,每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分且必须依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。

三、例子

例1．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，

（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

解：

（1）从书架上任取1本书，有3类办法：

第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种方法根据分类计数原理，不同取法的种数是4+3+2=9种

所以，从书架上任取1本书，有9种不同的取法；

（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：

第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本艺术书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法根据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是种

所以，从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法

例2．一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数号码？

解：

每个拨号盘上的数字有10种取法，根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1个数字组成的四位数字号码的个数是，

所以，可以组成10000个四位数号码

例3．要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？

解：

从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班两个步骤完成，先选1名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后，上晚班的工人有2种选法根据分步技数原理，不同的选法数是种，6种选法可以表示如下：

日班晚班

甲乙

甲丙

乙甲

乙丙

丙甲

丙乙

所以，从3名工人中选出2名分别上日班和晚班，6种不同的选法

例4，若分给你10块完全一样的糖，规定每天至少吃一块，每天吃的块数不限，问共有多少种不同的吃法？

n块糖呢？

课堂小节：

本节课学习了两个重要的计数原理及简单应用

课堂练习：

课后作业：

1.1基本计数原理

（第二课时）

教学目标：

会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题

教学重点：

会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题

教学过程

一、复习引入：

1、分类计数原理：

（1）加法原理：

如果完成一件工作有k种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有nk种方法可以完成。

那么，完成这件工作共有n1+n2+……+nk种不同的方法。

2，乘法原理：

如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有nK种不同的方法。

那么，完成这件工作共有n1×n2×……×nk种不同方法

二、讲解新课：

例1 书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．

（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？

（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？

例2在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?

解:

取与取是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由分步计数原理得（10×9）2=45种取法,第二类,奇奇相加,也有（10×9）2=45种取法.根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法.

例3如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为（）

A.180B.160C.96D.60

若变为图二,图三呢?

（240种,5×4×4×4=320种）

例575600有多少个正约数?

有多少个奇约数?

解:

75600的约数就是能整除75600的整数,所以本题就是分别求能整除75600的整数和奇约数的个数.

由于75600=24×33×52×7

（1）75600的每个约数都可以写成的形式,其中,,,

于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即分别在各自的范围内任取一个值,这样有5种取法,有4种取法,有3种取法,有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.

（2）奇约数中步不含有2的因数,因此75600的每个奇约数都可以写成的形式,同上奇约数的个数为4×3×2=24个.

课堂小节：

本节课学习了两个重要的计数原理的应用

课堂练习：

课后作业：

1.2.1排列

（第一课时）

教学目标：

理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导

教学重点：

理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导

教学过程

一、复习引入：

1、分类计数原理：

（1）加法原理：

如果完成一件工作有k种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有nk种方法可以完成。

那么，完成这件工作共有n1+n2+……+nk种不同的方法。

2，乘法原理：

如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有nK种不同的方法。

那么，完成这件工作共有n1×n2×……×nk种不同方法

二、讲解新课：

1．排列的概念：

从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列

说明：

（1）排列的定义包括两个方面：

①取出元素，②按一定的顺序排列；

（2）两个排列相同的条件：

①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同

2．排列数的定义：

从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示

注意区别排列和排列数的不同：

“一个排列”是指：

从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列

3．排列数公式及其推导：

求以按依次填个空位来考虑

，

排列数公式：

=（）

说明：

（1）公式特征：

第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个

少1，最后一个因数是，共有个因数；

（2）全排列：

当时即个不同元素全部取出的一个排列

全排列数：

（叫做n的阶乘）

4.例子：

例1．计算：

（1）；

（2）；（3）．

解：

（1）＝＝3360；

（2）＝＝720；

（3）＝＝360

例2．

（1）若，则，．

（2）若则

用排列数符号表示．

解：

（1）17，14．

（2）若则

＝．

例3．

（1）从这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？

（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？

（3）某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？

解：

（1）；

（2）；

（3）

课堂小节：

本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导

课堂练习：

课后作业：

1.2.1排列

（第二课时）

教学目标：

掌握解排列问题的常用方法

教学重点：

掌握解排列问题的常用方法

教学过程

一、复习引入：

1．排列的概念：

从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列

说明：

（1）排列的定义包括两个方面：

①取出元素，②按一定的顺序排列；

（2）两个排列相同的条件：

①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同

2．排列数的定义：

从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示

注意区别排列和排列数的不同：

“一个排列”是指：

从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列

3．排列数公式及其推导：

（）

全排列数：

（叫做n的阶乘）

二、讲解新课：

解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．

解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．

互斥分类——分类法

先后有序——位置法

反面明了——排除法

相邻排列——捆绑法

分离排列——插空法

例1求不同的排法种数：

（1）6男2女排成一排，2女相邻；

（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；

（3）4男4女排成一排，同性者相邻；

（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．

例2在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？

分析 符合条件的奇数有两类．一类是以1、9为尾数的，共有P21种选法，首数可从3、4、5、6、7中任取一个，有P51种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有P82种选法，根据乘法原理知共有P21P51P82个；一类是以3、5、7为尾数的共有P31P41P82个．

解 符合条件的奇数共有P21P51P82+P31P41P82=1232个．

答 在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个．

例3 某小组6个人排队照相留念．

（1）若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？

（2）若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？

（3）若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？

（4）若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？

（5）若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？

（6）若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？

分析 

（1）分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．

（2）先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21·P41·P44种不同排法．

（3）采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P55种不同排法．然后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55·P22种排法．

（4）甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法．

（5）采用“插入法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P43种排法，女生有P33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43·P33种排法．

（6）符合条件的排法可分两类：

一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法．

解 

（1）P66=720（种）

（2）P21·P41·P44=2×4×24=192（种）

（3）P55·P22=120×2=240（种）

（4）P66=360（种）

（5）P43·P33=24×6=144（种）

（6）P55+P41P41P44=120+4×4×24=504（种）

或法二：

（淘汰法）P66-2P55+P44=+24=504（种）

课堂小节：

本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导

课堂练习：

课后作业：

1.2.2组合

（第一课时）

教学目标：

1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；

2.能正确认识组合与排列的联系与区别

教学重点：

理解组合的意义，掌握组合数的计算公式

教学过程

一、复习引入：

1．排列的概念：

从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列

说明：

（1）排列的定义包括两个方面：

①取出元素，②按一定的顺序排列；

（2）两个排列相同的条件：

①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同

2．排列数的定义：

从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示

注意区别排列和排列数的不同：

“一个排列”是指：

从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列

3．排列数公式及其推导：

（）

全排列数：

（叫做n的阶乘）

二、讲解新课：

1_组合的概念：

一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合

说明：

⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：

元素相同

2．组合数的概念：

从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．

3．组合数公式的推导：

（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：

①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；②求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：

＝．

（2）组合数的公式：

或

例子：

1、计算：

（1）；

（2）；

（1）解：

＝35；

（2）解法1：

＝120．

解法2：

＝120．

2、求证：

．

证明：

∵

＝

＝

∴

3、在52件产品中，有50件合格品，2件次品，从中任取5件进行检查．

（1）全是合格品的抽法有多少种？

（2）次品全被抽出的抽法有多少种？

（3）恰有一件次品被抽出的抽法有多少种？

（4）至少有一件次品被抽出的抽法有多少种？

4、名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？

解法一：

（直接法）小组构成有三种情形：

3男，2男1女，1男2女，分别有，，，

所以，一共有++＝100种方法．

解法二：

（间接法）

课堂小节：

本节课学习了组合的意义，组合数的计算公式

课堂练习：

课后作业：

1.2.2组合

（第二课时）

教学目标：

1掌握组合数的两个性质；

2.进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题

教学重点：

掌握组合数的两个性质

教学过程

一、复习引入：

1_组合的概念：

一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合

说明：

⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：

元素相同

2．组合数的概念：

从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．

3．组合数公式的推导：

（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：

①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；②求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：

＝．

（2）组合数的公式：

或

二、讲解新课：

1_组合数的性质1：

．

一般地，从n个不同元素中取出个元素后，剩下个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的nm个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数，即：

．在这里，主要体现：

“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想

证明：

∵

又，∴

说明：

①规定：

；

②等式特点：

等式两边下标同，上标之和等于下标；

③或．

2．组合数的性质2：

＝+．

一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：

一类含有元素，一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出m1个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

证明：

∴＝+．

3.例子

1．

（1）计算：

；

（2）求证：

＝++．

解：

（1）原式

；

证明：

（2）右边

左边

2．解方程：

（1）；

（2）解方程：

．

解：

（1）由原方程得或，∴或，

又由得且，∴原方程的解为或

上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把和代入检验,这样运算量小得多.

（2）原方程可化为，即，∴，

∴

，

∴，解得或，

经检验：

是原方程的解

3.有同样大小的4个红球，6个白球。

（1）从中任取4个，有多少种取法？

（2）从中任取4个，使白球比红球多，有多少种取法？

（3）从中任取4个，至少有一个是红球，有多少种取法？

（4）假设取1个红球得2分，取1个白球得1分。

从中取4个球，使总分不小于5分的取法有多少种？

课堂小节：

本节课学习了组合数的两个性质

课堂练习：

课后作业：

1.2.2组合

（第三课时）

教学目标：

1、进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；

2、能够解决一些组合应用问题

教学重点：

解决一些组合应用问题

教学过程

一、复习引入：

1_组合的概念：

一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合

说明：

⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：

元素相同

2．组合数的概念：

从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．

3．组合数公式的推导：

（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：

①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；②求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：

＝．

（2）组合数的公式：

或

4.组合数的性质1：

．

5.组合数的性质2：

＝+．

二、讲解新课：

例子

1．

（1）把n+1个不同小球全部放到n个有编号的小盒中去，每小盒至少有1个小球，共有多少种放法？

（2）把n+1相同的小球，全部放到n个有编号的小盒中去，每盒至少有1个小球，又有多少种放法？

（3）把n+1个不同小球，全部放到n个有编号的小盒中去，如果每小盒放进的球数不限，问有多少种放法？

2．从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？

解：

分为三类：

1奇4偶有；3奇2偶有；5奇1偶有，

∴一共有++．

3．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？

解：

我们可以分为三类：

①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有；

②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有；

③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有，

∴一共有++＝42种方法．

4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？

解法一：

（排除法）．

解法二：

分为两类：

一类为甲不值周一，也不值周六，有；

另一类为甲不值周一，但值周六，有，

∴一共有+＝42种方法．

5．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？

解：

第一步：

从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有种方法；

第二步：

将5个“不同元素（书）”分给5个人有种方法．

根据分步计数原理，一共有＝1800种方法

6.从6双不同手套中，任取4只，

（1）恰有1双配对的取法是多少？

（2）没有1双配对的取法是多少？

（3）至少有1双配对的取法是多少？

课堂小节：

本节课学习了组合数的应用

课堂练习：

课后作业：

1.3.1二项式定理

教学目标：

1、能用计数原理证明二项式定理；

2、掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式

教学重点：

掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式

教学过程

一、复习引入：

⑴

；

⑵

⑶

的各项都是次式，

即展开式应有下面形式的各项：

，，，，，

展开式各项的系数：

上面个括号中，每个都不取的情况有种，即种，的系数是；恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，有都取的情况有种，的系数是，

∴

．

二、讲解新课：

1、二项式定理：

2、二项式定理的证明。

　　（a+b）n是n个（a+b）相乘，每个（a+b）在相乘时，有两种选择，选a或b，由分步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项），其中每一项都是akbn-k的形式，k=0，1，…，n；对于每一项akbn-k，它是由k个（a+b）选了a，n-k个