北师大版数学选修全套教案.docx
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北师大版数学选修全套教案
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1.1基本计数原理
(第一课时)
教学目标:
(1)理解分类计数原理与分步计数原理
(2)会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题
教学重点:
(1)理解分类计数原理与分步计数原理
(2)会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题
教学过程
一、复习引入:
一次集会共50人参加,结束时,大家两两握手,互相道别,请你统计一下,大家握手次数共有多少?
某商场有东南西北四个大门,当你从一个大门进去又从另一个大门出来,问你共有多少种不同走法?
二、讲解新课:
问题1春天来了,要从济南到北京旅游,有三种交通工具供选择:
长途汽车、旅客列车和客机。
已知当天长途车有2班,列车有3班。
问共有多少种走法?
设问1:
从济南到北京按交通工具可分____类方法?
第一类方法,乘火车,有___种方法;
第二类方法,乘汽车,有___种方法;
∴从甲地到乙地共有__________种方法
设问2:
每类方法中的每种一方法有什么特征?
问题2:
春天来了,要从济南到北京旅游,若想中途参观南开大学,已知从济南到天津有3种走法,从天津到北京有两种走法;问要从济南到北京共有多少种不同的方法?
从济南到北京须经____再由_____到北京有____个步骤
第一步,由济南去天津有___种方法
第二步,由天津去北京有____种方法,
设问2:
上述每步的每种方法能否单独实现从济南村经天津到达北京的目的?
1分类计数原理:
(1)加法原理:
如果完成一件工作有K种途径,由第1种途径有n1种方法可以完成,由第2种途径有n2种方法可以完成,……由第k种途径有nK种方法可以完成。
那么,完成这件工作共有n1+n2+……+nK种不同的方法。
1.标准必须一致,而且全面、不重不漏!
2“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的即:
它们两两的交集为空集!
3每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成
2,乘法原理:
如果完成一件工作可分为K个步骤,完成第1步有n1种不同的方法,完成第2步有n2种不同的方法,……,完成第K步有nK种不同的方法。
那么,完成这件工作共有n1×n2×……×nK种不同方法
1标准必须一致、正确。
2“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉。
3若完成某件事情需n步,每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分且必须依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。
三、例子
例1.书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书,
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法?
解:
(1)从书架上任取1本书,有3类办法:
第1类办法是从第1层取1本计算机书,有4种方法;第2类是从第2层取1本文艺书,有3种方法;第3类办法是从第3层取1本体育书,有2种方法根据分类计数原理,不同取法的种数是4+3+2=9种
所以,从书架上任取1本书,有9种不同的取法;
(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,可以分成3个步骤完成:
第1步从第1层取1本计算机书,有4种方法;第2步从第2层取1本艺术书,有3种方法;第3步从第3层取1本体育书,有2种方法根据分步计数原理,从书架的第1、2、3层各取1本书,不同取法的种数是种
所以,从书架的第1、2、3层各取1本书,有24种不同的取法
例2.一种号码拨号锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数号码?
解:
每个拨号盘上的数字有10种取法,根据分步计数原理,4个拨号盘上各取1个数字组成的四位数字号码的个数是,
所以,可以组成10000个四位数号码
例3.要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班,有多少种不同的选法?
解:
从3名工人中选1名上日班和1名上晚班,可以看成是经过先选1名上日班,再选1名上晚班两个步骤完成,先选1名上日班,共有3种选法;上日班的工人选定后,上晚班的工人有2种选法根据分步技数原理,不同的选法数是种,6种选法可以表示如下:
日班晚班
甲乙
甲丙
乙甲
乙丙
丙甲
丙乙
所以,从3名工人中选出2名分别上日班和晚班,6种不同的选法
例4,若分给你10块完全一样的糖,规定每天至少吃一块,每天吃的块数不限,问共有多少种不同的吃法?
n块糖呢?
课堂小节:
本节课学习了两个重要的计数原理及简单应用
课堂练习:
课后作业:
1.1基本计数原理
(第二课时)
教学目标:
会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题
教学重点:
会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题
教学过程
一、复习引入:
1、分类计数原理:
(1)加法原理:
如果完成一件工作有k种途径,由第1种途径有n1种方法可以完成,由第2种途径有n2种方法可以完成,……由第k种途径有nk种方法可以完成。
那么,完成这件工作共有n1+n2+……+nk种不同的方法。
2,乘法原理:
如果完成一件工作可分为K个步骤,完成第1步有n1种不同的方法,完成第2步有n2种不同的方法,……,完成第K步有nK种不同的方法。
那么,完成这件工作共有n1×n2×……×nk种不同方法
二、讲解新课:
例1 书架上放有3本不同的数学书,5本不同的语文书,6本不同的英语书.
(1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的取法?
(2)若从这些书中,取数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同的取法?
(3)若从这些书中取不同的科目的书两本,有多少种不同的取法?
例2在1~20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?
解:
取与取是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由分步计数原理得(10×9)2=45种取法,第二类,奇奇相加,也有(10×9)2=45种取法.根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法.
例3如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为()
A.180B.160C.96D.60
若变为图二,图三呢?
(240种,5×4×4×4=320种)
例575600有多少个正约数?
有多少个奇约数?
解:
75600的约数就是能整除75600的整数,所以本题就是分别求能整除75600的整数和奇约数的个数.
由于75600=24×33×52×7
(1)75600的每个约数都可以写成的形式,其中,,,
于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即分别在各自的范围内任取一个值,这样有5种取法,有4种取法,有3种取法,有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.
(2)奇约数中步不含有2的因数,因此75600的每个奇约数都可以写成的形式,同上奇约数的个数为4×3×2=24个.
课堂小节:
本节课学习了两个重要的计数原理的应用
课堂练习:
课后作业:
1.2.1排列
(第一课时)
教学目标:
理解排列、排列数的概念,了解排列数公式的推导
教学重点:
理解排列、排列数的概念,了解排列数公式的推导
教学过程
一、复习引入:
1、分类计数原理:
(1)加法原理:
如果完成一件工作有k种途径,由第1种途径有n1种方法可以完成,由第2种途径有n2种方法可以完成,……由第k种途径有nk种方法可以完成。
那么,完成这件工作共有n1+n2+……+nk种不同的方法。
2,乘法原理:
如果完成一件工作可分为K个步骤,完成第1步有n1种不同的方法,完成第2步有n2种不同的方法,……,完成第K步有nK种不同的方法。
那么,完成这件工作共有n1×n2×……×nk种不同方法
二、讲解新课:
1.排列的概念:
从个不同元素中,任取()个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列
说明:
(1)排列的定义包括两个方面:
①取出元素,②按一定的顺序排列;
(2)两个排列相同的条件:
①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同
2.排列数的定义:
从个不同元素中,任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数,用符号表示
注意区别排列和排列数的不同:
“一个排列”是指:
从个不同元素中,任取个元素按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列数”是指从个不同元素中,任取()个元素的所有排列的个数,是一个数所以符号只表示排列数,而不表示具体的排列
3.排列数公式及其推导:
求以按依次填个空位来考虑
,
排列数公式:
=()
说明:
(1)公式特征:
第一个因数是,后面每一个因数比它前面一个
少1,最后一个因数是,共有个因数;
(2)全排列:
当时即个不同元素全部取出的一个排列
全排列数:
(叫做n的阶乘)
4.例子:
例1.计算:
(1);
(2);(3).
解:
(1)==3360;
(2)==720;
(3)==360
例2.
(1)若,则,.
(2)若则
用排列数符号表示.
解:
(1)17,14.
(2)若则
=.
例3.
(1)从这五个数字中,任取2个数字组成分数,不同值的分数共有多少个?
(2)5人站成一排照相,共有多少种不同的站法?
(3)某年全国足球甲级(A组)联赛共有14队参加,每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次,共进行多少场比赛?
解:
(1);
(2);
(3)
课堂小节:
本节课学习了排列、排列数的概念,排列数公式的推导
课堂练习:
课后作业:
1.2.1排列
(第二课时)
教学目标:
掌握解排列问题的常用方法
教学重点:
掌握解排列问题的常用方法
教学过程
一、复习引入:
1.排列的概念:
从个不同元素中,任取()个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列
说明:
(1)排列的定义包括两个方面:
①取出元素,②按一定的顺序排列;
(2)两个排列相同的条件:
①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同
2.排列数的定义:
从个不同元素中,任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数,用符号表示
注意区别排列和排列数的不同:
“一个排列”是指:
从个不同元素中,任取个元素按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列数”是指从个不同元素中,任取()个元素的所有排列的个数,是一个数所以符号只表示排列数,而不表示具体的排列
3.排列数公式及其推导:
()
全排列数:
(叫做n的阶乘)
二、讲解新课:
解排列问题问题时,当问题分成互斥各类时,根据加法原理,可用分类法;当问题考虑先后次序时,根据乘法原理,可用位置法;这两种方法又称作直接法.当问题的反面简单明了时,可通过求差排除采用间接法求解;另外,排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”;“分离”问题可能用“插空法”等.
解排列问题和组合问题,一定要防止“重复”与“遗漏”.
互斥分类——分类法
先后有序——位置法
反面明了——排除法
相邻排列——捆绑法
分离排列——插空法
例1求不同的排法种数:
(1)6男2女排成一排,2女相邻;
(2)6男2女排成一排,2女不能相邻;
(3)4男4女排成一排,同性者相邻;
(4)4男4女排成一排,同性者不能相邻.
例2在3000与8000之间,数字不重复的奇数有多少个?
分析 符合条件的奇数有两类.一类是以1、9为尾数的,共有P21种选法,首数可从3、4、5、6、7中任取一个,有P51种选法,中间两位数从其余的8个数字中选取2个有P82种选法,根据乘法原理知共有P21P51P82个;一类是以3、5、7为尾数的共有P31P41P82个.
解 符合条件的奇数共有P21P51P82+P31P41P82=1232个.
答 在3000与8000之间,数字不重复的奇数有1232个.
例3 某小组6个人排队照相留念.
(1)若分成两排照相,前排2人,后排4人,有多少种不同的排法?
(2)若分成两排照相,前排2人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种排法?
(3)若排成一排照相,甲、乙两人必须在一起,有多少种不同的排法?
(4)若排成一排照相,其中甲必在乙的右边,有多少种不同的排法?
(5)若排成一排照相,其中有3名男生3名女生,且男生不能相邻有多少种排法?
(6)若排成一排照相,且甲不站排头乙不站排尾,有多少种不同的排法?
分析
(1)分两排照相实际上与排成一排照相一样,只不过把第3~6个位子看成是第二排而已,所以实际上是6个元素的全排列问题.
(2)先确定甲的排法,有P21种;再确定乙的排法,有P41种;最后确定其他人的排法,有P44种.因为这是分步问题,所以用乘法原理,有P21·P41·P44种不同排法.
(3)采用“捆绑法”,即先把甲、乙两人看成一个人,这样有P55种不同排法.然后甲、乙两人之间再排队,有P22种排法.因为是分步问题,应当用乘法原理,所以有P55·P22种排法.
(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半,有P66种排法.
(5)采用“插入法”,把3个女生的位子拉开,在两端和她们之间放进4张椅子,如____女____女____女____,再把3个男生放到这4个位子上,就保证任何两个男生都不会相邻了.这样男生有P43种排法,女生有P33种排法.因为是分步问题,应当用乘法原理,所以共有P43·P33种排法.
(6)符合条件的排法可分两类:
一类是乙站排头,其余5人任意排有P55种排法;一类是乙不站排头;由于甲不能站排头,所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法,排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法,中间4个位置无限制有P44种排法,因为是分步问题,应用乘法原理,所以共有P41P41P44种排法.
解
(1)P66=720(种)
(2)P21·P41·P44=2×4×24=192(种)
(3)P55·P22=120×2=240(种)
(4)P66=360(种)
(5)P43·P33=24×6=144(种)
(6)P55+P41P41P44=120+4×4×24=504(种)
或法二:
(淘汰法)P66-2P55+P44=+24=504(种)
课堂小节:
本节课学习了排列、排列数的概念,排列数公式的推导
课堂练习:
课后作业:
1.2.2组合
(第一课时)
教学目标:
1.理解组合的意义,掌握组合数的计算公式;
2.能正确认识组合与排列的联系与区别
教学重点:
理解组合的意义,掌握组合数的计算公式
教学过程
一、复习引入:
1.排列的概念:
从个不同元素中,任取()个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列
说明:
(1)排列的定义包括两个方面:
①取出元素,②按一定的顺序排列;
(2)两个排列相同的条件:
①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同
2.排列数的定义:
从个不同元素中,任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数,用符号表示
注意区别排列和排列数的不同:
“一个排列”是指:
从个不同元素中,任取个元素按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列数”是指从个不同元素中,任取()个元素的所有排列的个数,是一个数所以符号只表示排列数,而不表示具体的排列
3.排列数公式及其推导:
()
全排列数:
(叫做n的阶乘)
二、讲解新课:
1_组合的概念:
一般地,从个不同元素中取出个元素并成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合
说明:
⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:
元素相同
2.组合数的概念:
从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数.用符号表示.
3.组合数公式的推导:
(1)一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的排列数,可以分如下两步:
①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数;②求每一个组合中m个元素全排列数,根据分步计数原理得:
=.
(2)组合数的公式:
或
例子:
1、计算:
(1);
(2);
(1)解:
=35;
(2)解法1:
=120.
解法2:
=120.
2、求证:
.
证明:
∵
=
=
∴
3、在52件产品中,有50件合格品,2件次品,从中任取5件进行检查.
(1)全是合格品的抽法有多少种?
(2)次品全被抽出的抽法有多少种?
(3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少种?
(4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种?
4、名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组,问组成方法共有多少种?
解法一:
(直接法)小组构成有三种情形:
3男,2男1女,1男2女,分别有,,,
所以,一共有++=100种方法.
解法二:
(间接法)
课堂小节:
本节课学习了组合的意义,组合数的计算公式
课堂练习:
课后作业:
1.2.2组合
(第二课时)
教学目标:
1掌握组合数的两个性质;
2.进一步熟练组合数的计算公式,能够运用公式解决一些简单的应用问题
教学重点:
掌握组合数的两个性质
教学过程
一、复习引入:
1_组合的概念:
一般地,从个不同元素中取出个元素并成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合
说明:
⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:
元素相同
2.组合数的概念:
从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数.用符号表示.
3.组合数公式的推导:
(1)一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的排列数,可以分如下两步:
①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数;②求每一个组合中m个元素全排列数,根据分步计数原理得:
=.
(2)组合数的公式:
或
二、讲解新课:
1_组合数的性质1:
.
一般地,从n个不同元素中取出个元素后,剩下个元素.因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合,与剩下的nm个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数,等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数,即:
.在这里,主要体现:
“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想
证明:
∵
又,∴
说明:
①规定:
;
②等式特点:
等式两边下标同,上标之和等于下标;
③或.
2.组合数的性质2:
=+.
一般地,从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是,这些组合可以分为两类:
一类含有元素,一类不含有.含有的组合是从这n个元素中取出m1个元素与组成的,共有个;不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的,共有个.根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个性质.在这里,主要体现从特殊到一般的归纳思想,“含与不含其元素”的分类思想.
证明:
∴=+.
3.例子
1.
(1)计算:
;
(2)求证:
=++.
解:
(1)原式
;
证明:
(2)右边
左边
2.解方程:
(1);
(2)解方程:
.
解:
(1)由原方程得或,∴或,
又由得且,∴原方程的解为或
上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把和代入检验,这样运算量小得多.
(2)原方程可化为,即,∴,
∴
,
∴,解得或,
经检验:
是原方程的解
3.有同样大小的4个红球,6个白球。
(1)从中任取4个,有多少种取法?
(2)从中任取4个,使白球比红球多,有多少种取法?
(3)从中任取4个,至少有一个是红球,有多少种取法?
(4)假设取1个红球得2分,取1个白球得1分。
从中取4个球,使总分不小于5分的取法有多少种?
课堂小节:
本节课学习了组合数的两个性质
课堂练习:
课后作业:
1.2.2组合
(第三课时)
教学目标:
1、进一步巩固组合、组合数的概念及其性质;
2、能够解决一些组合应用问题
教学重点:
解决一些组合应用问题
教学过程
一、复习引入:
1_组合的概念:
一般地,从个不同元素中取出个元素并成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合
说明:
⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:
元素相同
2.组合数的概念:
从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数.用符号表示.
3.组合数公式的推导:
(1)一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的排列数,可以分如下两步:
①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数;②求每一个组合中m个元素全排列数,根据分步计数原理得:
=.
(2)组合数的公式:
或
4.组合数的性质1:
.
5.组合数的性质2:
=+.
二、讲解新课:
例子
1.
(1)把n+1个不同小球全部放到n个有编号的小盒中去,每小盒至少有1个小球,共有多少种放法?
(2)把n+1相同的小球,全部放到n个有编号的小盒中去,每盒至少有1个小球,又有多少种放法?
(3)把n+1个不同小球,全部放到n个有编号的小盒中去,如果每小盒放进的球数不限,问有多少种放法?
2.从编号为1,2,3,…,10,11的共11个球中,取出5个球,使得这5个球的编号之和为奇数,则一共有多少种不同的取法?
解:
分为三类:
1奇4偶有;3奇2偶有;5奇1偶有,
∴一共有++.
3.现有8名青年,其中有5名能胜任英语翻译工作;有4名青年能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任),现在要从中挑选5名青年承担一项任务,其中3名从事英语翻译工作,2名从事德语翻译工作,则有多少种不同的选法?
解:
我们可以分为三类:
①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作,有;
②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作,有;
③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作,有,
∴一共有++=42种方法.
4.甲、乙、丙三人值周,从周一至周六,每人值两天,但甲不值周一,乙不值周六,问可以排出多少种不同的值周表?
解法一:
(排除法).
解法二:
分为两类:
一类为甲不值周一,也不值周六,有;
另一类为甲不值周一,但值周六,有,
∴一共有+=42种方法.
5.6本不同的书全部送给5人,每人至少1本,有多少种不同的送书方法?
解:
第一步:
从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有种方法;
第二步:
将5个“不同元素(书)”分给5个人有种方法.
根据分步计数原理,一共有=1800种方法
6.从6双不同手套中,任取4只,
(1)恰有1双配对的取法是多少?
(2)没有1双配对的取法是多少?
(3)至少有1双配对的取法是多少?
课堂小节:
本节课学习了组合数的应用
课堂练习:
课后作业:
1.3.1二项式定理
教学目标:
1、能用计数原理证明二项式定理;
2、掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式
教学重点:
掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式
教学过程
一、复习引入:
⑴
;
⑵
⑶
的各项都是次式,
即展开式应有下面形式的各项:
,,,,,
展开式各项的系数:
上面个括号中,每个都不取的情况有种,即种,的系数是;恰有个取的情况有种,的系数是,恰有个取的情况有种,的系数是,恰有个取的情况有种,的系数是,有都取的情况有种,的系数是,
∴
.
二、讲解新课:
1、二项式定理:
2、二项式定理的证明。
(a+b)n是n个(a+b)相乘,每个(a+b)在相乘时,有两种选择,选a或b,由分步计数原理可知展开式共有2n项(包括同类项),其中每一项都是akbn-k的形式,k=0,1,…,n;对于每一项akbn-k,它是由k个(a+b)选了a,n-k个