届广西玉林市高三第一次适应性考试数学理试题及答案.docx
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届广西玉林市高三第一次适应性考试数学理试题及答案
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2020届广西玉林市高三第一次适应性考试数学（理）试题
注意事项：
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知集合，则=（）
A．B．C．D．
答案：
B
解出集合中的一次不等式即可.
解：
因为，
所以
故选：
B
点评：
本题考查的是集合的运算，较简单.
2．设，其中是实数，则在复平面内所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：
D
由，其中是实数，得：
，所以在复平面内所对应的点位于第四象限.
本题选择D选项.
3．若实数满足，则的最小值为（）
A．2B．4C．5D．10
答案：
B
作出可行域，作直线，再将其平移至时，直线的纵截距最小
解：
作出可行域如图所示：
作直线，再将其平移至时，直线的纵截距最小
的最小值为4
故选：
B
点评：
本题考查的是线性规划的知识，较简单.
4．已知，，则的值为（）
A．B．C．D．
答案：
A
先算出，然后利用即可算出答案
解：
由，得
所以
故选：
A
点评：
本题考查的是三角函数的平方关系及和差公式，较简单.
5．是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在35以下空气质量为一级，在35～75之间空气质量为二级，在75以上空气质量为超标.如图是某市2019年12月1日到10日日均值（单位：
）的统计数据.若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率为（）
A．B．C．D．
答案：
A
由图易知，第天空气质量为一级，共4天，然后即可求出答案
解：
由图易知，第天空气质量为一级，共4天，
故所求事件的概率为
故选：
A
点评：
本题考查的是古典概型及组合的知识，较简单.
6．设a为正实数，函数，若，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
答案：
A
首先利用导数判断出在上单调递减，然后解出不等式即可
解：
由得
所以当时，
所以函数在上单调递减
所以只需即可，即
解得：
故选：
A
点评：
本题考查的是利用导数研究函数的单调性及解决恒成立问题，较简单.
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A.线段的中点为D，若，则此双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
答案：
C
由条件得出，，，然后利用双曲线的定义建立方程求解即可
解：
由线段的中点为D，得
因为的斜率为，所以可得
所以
所以由双曲线的定义可得
所以
故选：
C
点评：
本题考查的是双曲线的定义及离心率的求法，较简单.
8．如图，四棱锥中，平面，，，，，，M是BC中点，N是线段SA上的点，设MN与平面SAD所成角为，则的最大值为（）
A．B．C．D．
答案：
A
设的中点为，连接，然后证明为MN与平面SAD所成角,然后，然后求出的最小值即可
解：
设的中点为，连接
因为，所以
因为平面，所以，
所以平面
所以为MN与平面SAD所成角，即
设，则，，
的最小值为到的距离，等于
所以的最大值为
故选：
A
点评：
本题考查的是线面角的知识，作出辅助线，找出线面角是解题的关键.
9．过曲线外一点作该曲线的切线，则在y轴上的截距为（）
A．B．C．D．
答案：
B
设切点为，利用导数求出切线的方程，然后将点代入，解出，然后即可算出答案.
解：
由得
设切点为，则切线的斜率为
所以切线方程为：
因为切线过点，所以，解得
所以切线方程为：
令，可解得
故选：
B
点评：
本题考查的是导数的几何意义，考查了学生的计算能力，属于中档题.
10．已知抛物线的焦点为F，准线为，与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作，垂足为，若，则四边形的面积为（）
A．8B．10C．14D．28
答案：
C
过点作,垂足为，设，然后由条件可得，，，解出，然后算出答案即可
解：
作出图形如下：
过点作,垂足为，设
因为，所以，
由抛物线的定义，，所以，即
四边形的面积为
故选：
C
点评：
本题考查的是抛物线的定义，较简单.
11．已知定义域为R的奇函数的导函数为，当时，.若，则的大小关系为（）
A．B．C．D．
答案：
C
设，由条件可得出是偶函数且在上单调递增，然后即可比较出的大小
解：
设，因为是奇函数，所以是偶函数
当时，所以在上单调递增
因为，
所以，即
故选：
C
点评：
本题考查的是利用函数的奇偶性和单调性比较大小，构造出合适的函数是解题的关键，属于中档题.
12．已知函数的一个零点是，当时函数取最大值，则当取最小值时，函数在上的最大值为（）
A．B．C．D．0
答案：
D
由条件可得，，即，，将两式相减可得：
，然后求出和
解：
由条件可得：
，
所以，
将两式相减可得：
，所以的最小值为4
此时，因为，所以
所以
因为，所以
所以函数在上的最大值为0
故选：
D
点评：
本题考查的是三角函数的图象及其性质，由条件求出和是解题的关键，属于中档题.
二、填空题
13．在平面上，是方向相反的单位向量，若向量满足，则的值____________．
答案：
1
由得，由是方向相反的单位向量得，，然后即可算出答案
解：
由得
即
因为是方向相反的单位向量，所以，
所以，即
故答案为：
1
点评：
本题考查的是平面向量数量积的有关计算，较简单.
14．设a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C的对边，已知三角形ABC的面积等于，则内角A的大小为____________．
答案：
由得，结合余弦定理可推出
解：
因为
所以
由余弦定理得
所以，即
因为，所以
故答案为：
点评：
本题考查的是三角形的面积公式及余弦定理，较简单.
15．已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为____________．
答案：
由三视图画出几何体的直观图即可
解：
由三视图可知正方体边长为2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如下：
其体积为：
故答案为：
点评：
本题考查的是几何体的三视图及体积的求法，较简单，画出直观图是解题的关键.
16．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：
先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x，y组成的实数对，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数m；最后再根据计数m来估计π的值．假设统计结果是，那么可以估计的近似值为____________．（用分数表示）
答案：
由题意，240对都小于1的正实数对，满足，面积为1，两数能与1构成钝角三角形三边的数对，满足且，面积为，然后即可建立方程求解
解：
由题意，240对都小于1的正实数对，满足，面积为1
两数能与1构成钝角三角形三边的数对，满足且
面积为
因为统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数
所以，所以
故答案为：
点评：
本题考查的是几何概型中的面积型的应用，较简单.
三、解答题
17．水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如下表：
产量（单位：
斤）
播种方式
[840，860）
[860，880）
[880,900）
[900,920）
[920,940）
直播
4
8
18
39
31
散播
9
19
22
32
18
约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”
（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）请根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？
产量高
产量低
合计
直播
散播
合计
附：
P（K2≥k0）
0.10
0.010
0.001
k0
2.706
6.635
10.828
答案：
（1）100块直播农田的平均产量为907斤，
（2）有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关.
（1）根据，算出答案即可
（2）由题目中给的数据完善列联表，然后算出的观察值即可
解：
（1）100块直播农田的平均产量为：
（斤）
（2）由题中所给的数据得到列联表如下所示：
产量高
产量低
合计
直播
70
30
100
散播
50
50
100
合计
120
80
200
由表中的数据可得的观察值
所以有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关
点评：
本题考查的是平均数的算法及独立性检验，考查了学生的计算能力，属于基础题.
18．已知数列{an}满足，．
（1）证明：
数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
答案：
（1）证明见详解，，
（2）
（1）由得，然后，即可算出答案
（2），然后即可求出
解：
（1）因为，所以
即数列是以首项为2，公差为3的等差数列
所以
所以
（2）由得
所以
点评：
常见数列的求和方法：
公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法
19．如图所示，在四棱柱中，侧棱平面，底面是直角梯形，，，．
（1）证明：
平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
答案：
（1）证明见详解，
（2）
（1）证明和即可
（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量可取为：
，然后即可算出答案
解：
（1）因为侧棱平面，所以平面平面
又，平面平面，所以平面
而平面，所以
因为，侧棱平面，所以四边形是正方形
所以，又，所以平面
（2）如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴
建立空间直角坐标系
则
设平面的法向量为，又，
则，求得，令得
由
（1）中可得平面的法向量可取为：
所以
故二面角的正弦值为
点评：
向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法
20．已知椭圆C：
（0＜b＜2）的离心率为，F为椭圆的右焦点，PQ为过中心O的弦．
（1）求面积的最大值；
（2）动直线与椭圆交于A，B两点，证明：
在第一象限内存在定点M，使得当直线AM与直线BM的斜率均存在时，其斜率之和是与t无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标．
答案：
（1），
（2）证明见详解，定点的坐标为.
（1）先由条件得出，，然后的面积等于和的面积之和，设点到轴的距离为，，然后即可分析出答案
（2）设，将代入得，则有，然后可推出，当，时斜率的和恒为0，然后解出即可.
解：
（1）设椭圆的半焦距为，则
由得，所以
又由的面积等于和的面积之和，
设点到轴的距离为，由是过椭圆的中心的弦，则点到轴的距离也为
所以和的面积相等，所以
因为的最大值为，所以的最大面积为
（2）由
（1）知椭圆
设
将代入得
则有
直线AM与直线BM的斜率之和：
为与无关的常数，可知当，时斜率的和恒为0，
解得或（舍）
综上所述：
所有满
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