浮点数的二进制表示.docx

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浮点数的二进制表示

浮点数的二进制表示

基础知识：

十进制转十六进制；

十六进制转二进制；

了解：

目前C/C++编译器标准都遵照IEEE制定的浮点数表示法来进行

float,double运算。

这种结构是一种科学计数法，用符号、指数和尾数来表示，底数定为2——即把一个浮点数表示为尾数乘以2的指数次方再添上符号。

下面是具体的规格：

符号位阶码尾数xx

float182332

double1115264以下通过几个例子讲解浮点数如何转换为二进制数

例一：

已知：

double类型38414.4。

求：

其对应的二进制表示

分析：

double类型共计64位，折合8字节。

由最高到最低位分别是第63、62、61、……、0位：

最高位63位是符号位，1表示该数为负，0表示该数为正；62-52位，一共11位是指数位；51-0位，一共52位是尾数位。

步骤：

按照IEEE浮点数表示法，下面先把38414.4转换为十六进制数。

把整数部和小数部分开处理：

整数部直接化十六进制：

960E。

小数的处理：

0.4=0.5*0+0.25*1+0.125*1+0.0625*0+……实际上这永远算不完！

这就是著名的浮点数精度问题。

所以直到加上前面的整数部分算够53位就行了。

隐藏位技术：

最高位的1不写入内存（最终保留下来的还是52位）。

如果你够耐心，手工算到53位那xx因该是：

38414.4（10）=1001011000001110.0110101010101010101010101010101010101

（2）

科学记数法为：

1.001011000001110011010101010101010101010101010101010，1右移了

15位，所以指数为15。

或者可以如下理解：

1.00101100000111001101010101010101010101010101010101012215于是来看阶码，按IEEE标准一共11位，可以表示范围是-1024~1023。

因为指数可以为负，为了便于计算，规定都先加上1023（2八10-1），在这里，阶码：

15+1023=1038。

二进制表示为：

10000001110；符号位：

因为38414.4为正对应为0；合在一起（注：

尾数二进制最高位的1不要）：

0100000011100010110000011100110101010101010101010101010101010101

例二：

已知：

整数3490593（16进制表示为0x354321）。

求：

其对应的浮点数3490593.0的二进制表示。

解法如下：

先求出整数3490593的二进制表示：

H:

354321（十六进制表示）

B:

001101010100001100100001（二进制表示）

I21|即：

1.1010101000011001000012X221

可见，从左算起第一个1后有21位，我们将这21为作为浮点数的小数表

示，单精度浮点数float由符号位1位，指数域位k=8位，小数域位（尾

数）n=23位构成，因此对上面得到的21位小数位我们还需要补上2个0，

得到浮点数的小数域表示为：

10101010000110010000100

float类型的偏置量Bias=2k-1-1=28-1-1=127，但还要补上刚才因为右移

作为小数部分的21位，因此偏置量为127+12=148,就是IEEE浮点数表

示标准：

V二（-1）sxMk2EE=e-Bias

中的e,此前计算Bias=127，刚好验证了E=148-127=21。

将148转为二进制表示为10010100，加上符号位0，最后得到二进制浮点数表示100101001010101000011001000010,0其16进制表示为：

H:

4A550C84B:

010010100101010100001100

10000100|<21>|1|<8>II

<23>|这就是浮点数3490593.0（0x4A550C84）的

二进制表示。

例三：

0.5的二进制形式是0.1

它用浮点数的形式写出来是如下格式

00111111000000000000000000000000

符号位阶码小数位

正数符号位为0，负数符号位为1阶码是以2为底的指数小数位表示小数点后面的数字

下面我们来分析一下0.5是如何写成001111110

00000000000000000000000

首先0.5是正数所以符号位为0

再来看阶码部分,0.5的二进制数是0.1,而0.1是1.0*2八（-1）,所以我们

总结出来:

要把二进制数变成（1.f）*2A（exponent）的形式，其中exponent是指数

而由于阶码有正负之分所以阶码=127+exponent;

浮点数的二进制表示

即阶码=127+（-1）=126即01111110

余下的小数位为二进制小数点后面的数字,即00000000000000000000000

由以上分析得0.5的浮点数存储形式为001111110

00000000000000000000000

注：

如果只有小数部分,那xx需要右移小数点.比如右移3位才能放到第一个1的后面,阶码就是127-3=124.

例四

（20.59375）10=（10100.10011）2

首先分别将整数和分数部分转换成二进制数：

20.59375=10100.10011

然后移动小数点，使其在第1，2位之间

即e=4

10100.10011=1.010010011X2A4

于是得到：

S=0,E=4+127=131,M=010010011

最后得到32位浮点数的二进制存储格式为：

01000001101001001100000000000000=（41A4C000）16例五：

-12.5转为单精度二进制表示

12.5:

1.整数部分12,二进制为1100;小数部分0.5,二进制是.1,先把他们

xx起来,从第一个1数起取24位（后面补0）：

1100.10000000000000000000

这部分是有效数字。

（把小数点前后两部分xx起来再取掉头前的1,就是尾数）

2.把小数点移到第一个1的后面,需要xx3位

（1.10010000000000000000000*2八3）,加上偏移量127:

127+3=130,二进制是10000010,这是阶码。

3.-12.5是负数,所以符号位是1。

把符号位,阶码和尾数xx起来。

注意,尾数的第一位总是1,所以规定不存这一位的1,只取后23位:

11000001010010000000000000000000

把这32位按8位一节整理一下,得:

11000001010010000000000000000000

浮点数的二进制表示

就是十六进制的C1480000.

例六：

2.025675

1.整数部分2，二进制为10;小数部分0.025675,二进制

是.0000011010010010101001，先把他们xx起来，从第一个1数起取24位（后面补0）：

10.0000011010010010101001这部分是有效数字。

把小数点前后两部分xx起来再取掉头前的1，就是尾数:

00000011010010010101001

2.把小数点移到第一个1的后面，xx了1位,加上偏移量127：

127+1=128，二进制是10000000，这是阶码。

3.2.025675是正数，所以符号位是0。

把符号位，阶码和尾数xx起来：

01000000000000011010010010101001

把这32位按8位一节整理一下，得：

01000000000000011010010010101001

就是十六进制的4001A4A9.例七：

（逆向求十进制整数）一个浮点二进制数手工转换成十进制数的例子：

假设浮点二进制数是10111101010000000000000000000000按1，8，23位分成三段：

10111101010000000000000000000000

浮点数的二进制表示

最后一段是尾数。

前面加上"1.",就是1.10000000000000000000000

下面确定小数点位置。

由E=e-Bias,阶码E是01111010,加上00000101才是01111111（127），

所以他减去127的偏移量得e=-5°（或者化成十进制得122,122-127=-5）。

因此尾数1.10（后面的0不写了）是小数点右移5位的结果。

要复原它就要xx5位小数点,得0.0000110,即十进制的0.046875。

最后是符号：

1代表负数,所以最后的结果是-0.046875。

注意：

其他机器的浮点数表示方法可能与此不同.不能任意移植。

再看一例（类似例七）：

比如：

53004d3e

二进制表示为：

010*********

按照1个符号8个指数23个小数位划分

010*********

浮点数的二进制表示

正确的结果转出来应该是551051722752.0

该怎xx算？

好，我们根据IEEE的浮点数表示规则划分，得到这个浮点数的小数位是：

00000000100110100111110

那xx它的二进制表示就应该是：

1.000000001001101001111102X239

这是怎xx来的呢？

别急，听我慢慢道来。

标准化公式中的M要求在规格化的情况下，取值范围1

正因为如此，我们才需要对原始的整数二进制表示做偏移，偏移多少呢？

偏移2E。

这个“E”怎xx算？

上面的239怎xx得来的呢？

浮点数表示中的8位指数为就是告诉这个的。

我们知道：

E=e-Bias

那xx根据指数位:

浮点数的二进制表示

101001102=>16610

即e=166,由此算出E二e-Bias=166-127=39，就是说将整数二进制表示转

为标准的浮点数二进制表示的时候需要将小数点xx39位，好，我们现在把它还原得到整数的二进制表示：

1000000001001101001111100000000000000000

1|23|<16>

23+16=39，后面接着就是小数点了。

拿出计算器，输入二进制数

1000000001001101001111100000000000000000

转为十进制数，不正是：

551051722752xx！

通过这例六例七，介绍了将整数二进制表示转浮点数二进制表示的逆过程，还是希望大家不但能掌握转化的方法，更要理解转化的基本原理。