39借助泰勒展开式秒杀几道压轴题.docx

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39借助泰勒展开式秒杀几道压轴题

39借助泰勒展开式,秒杀几道压轴题

２０１５年第１期

中学数学研究

・３９・

直角坐标系中分别画出函数

ｌｙ

（±１，０），舍去．当ｏ＞０时，函数ｙ＝ｎｚ３与ｙ＝３戈２

１

ｙ＝一二丁与ｙ＝口ｘ一３的图像

—１必有一个交点在第三象限，舍去．

Ｘ

Ｚ

＼。

。

当血＜Ｏ时，要使得两函数图像只有一个交点，（图５），由题意可知两函数交且交点横坐标大于０，那么只要使得两函数的图像

点唯一且交点的横坐标大于在第二象限内没有交点，考虑临界情况，不妨设两个

Ｏ；由此可知直线的斜率必为图像切于同一点Ａ（戈。

，ｙ。

），那么有

负，下只要求临界情况，即当３

＾

２

，

直线与曲线在第三象限相切、ｒ

ｒ。

＿ｊ‰叫’解得‰：

一１，ｏ：

－２．

时的情形．

图５

【尼＝３似；＝６戈ｏ，

综上可知，由图像的性质可知满足题意的参数

设切点为（戈。

，％），则

。

的取值范围为ｏ＜一２．

｛：

』；一３＝一三ｉ’解得戈。

２一・，ｎ＝一２・

评注：

解法４—５中，主要体现了“以形助数”的思想，从图形上发掘足够的信息；两种不同的函数构造思路中，呈现出一个共同的分析思维切入点——因此，由图像的性质可临界条件，曲线的切线方程这个知识点是平时经常

知，直线的斜率口的范围为口

Ａｋ纱遇到的，即把未知问题转化为已经解决的问题．

＜一２．

结语

文中解法１代数味很浓，后几种解法则

解法５：

由题意可知八戈）几何味十足．代数法要求以理为先，重在说理；几何＝口戈３—３算２＋１＝０只有唯一法则体现了以据为先，重在释理，两种方法分别将正根，习ｐ么有口戈３＝３戈２一ｌ，在平面直角坐标系中分别画孤

出函数ｙ＝口戈３与ｙ＝３戈２—１㈦ｉ

Ｖ

“数”的特色和“形”的魅力展现到极致．因此，在解

题过程中，不同的审视角度决定不同的思维策略，这需要平时通过不断地思考、反思并积累解题经验，方的图像（图６）．当ｎ＝０时，函能培养良好的思维品质．

图６

数ｙ＝口戈３与ｙ＝３ｘ２—１交于

ｔ●ｊｔＩＩｔｔ●；ＩＩｔｔ謦ｔ●｝●｝ｔｔｔ●；●；ｔｔｔ●；Ｉｔ●；ｔ●；●；●ｊｔｔ●ｉ●ｉｔｔＩｔｔｔｔｔ‘ｔ１∈（

借助泰勒展开式，秒杀几道压轴题

江苏省扬州市新华中学（２２５００９）龚海滨江苏省扬州中学

（２２５００９）

戚有建

１

考题展示

考题ｌ

（２０１３年新课标全国卷Ⅱ理科２１题）

厂（戈）＝ｅ。

＋（奇）２＞ｏ，故厂（戈）在（一１，＋∞）

已知函数八戈）＝ｅ。

一ｌｎ（ｘ＋，ｎ）．

上递增，由于厂（０）＝０，故当戈∈（一ｌ，０）时，厂（％）

（１）设茗＝Ｏ是八戈）的极值点，求ｍ，并讨论＜Ｏ；当石∈（０，＋∞）时／（戈）＞０，所以八戈）在八戈）的单调性；（２）当ｍ≤２时，证明八戈）＞０．

（一１，０）上递减，在（０，＋∞）上递增．

解析：

（１）厂（ｚ）＝ｅ。

一÷，由题意得厂（ｏ）

点评：

本小问重点考查用导数研究单调性，这是

’

Ｘ＋ｍ

导数最重要的应用，另外在解题过程中，需要通过＝０，解得ｍ＝１，检验符合要求，所以ｍ＝１．故

“二次求导”来处理，这是近年来高考导数题的一个厂（戈）＝ｅ５一丁打，定义域为（一１，＋∞），因此

新趋向．

（２）由于当ｍ≤２时，ｌｎ（戈＋ｍ）≤ｌｎ（戈＋２），

故只要证明：

当ｍ＝２时以茗）＞０，所以只要证明：

万方数据

・４０・

中学数学研究

２０１５第１期

当ｍ＝２时√Ｉ算）ｍｉ。

＞０．此时√【戈）＝ｅ４一ｌｎ（戈＋

２），定义域为（一２，＋∞），故厂（∞）＝ｅ。

一｝是，因

此厂（戈）＝ｅ。

＋‘７是）２＞ｏ，所以厂（戈）在（一２，

＋∞）上递增，又厂（一１）：

土一１＜ｏ，（ｏ）：

昙

＞０，故厂（石）＝０在（一２，＋∞）内有唯一实数根

‰，且搿。

∈（一１，０），于是当ｚ∈（一２，‰）时／（ｚ）＜Ｏ；当戈∈（ｚｏ，＋∞）时／（ｚ）＞０，所以火髫）。

ｉ。

＝八戈ｏ）＝ｅ“一ｌｎ（菇ｏ＋２），（木）

而由厂（‰）＝ｏ，得ｅ加＝÷，两边取对数得

Ｚｎ十二

算。

＝一ｌｎ（‰＋２），代入（丰）式得八并）。

ｉ。

＝八石。

）＝

ｅ“＿ｌｎ‰＋２）＝去‰＝等＞ｏ，所

以命题得证．

点评：

本题中我们将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，即将“当ｍ≤２时以菇）＞Ｏ”转化为“当ｍ＝２时以ｚ）ｍｉ。

＞０”，而在求最值的过程中遇

到‘ｙ（戈）＝ｅ５一■五在（一２，＋∞）上的零点不方

便求出”的困难，这里需要“设而不求”来处理，这也是近年来高考导数题的一个新趋向，值得关注．

考题２（２０１４年新课标全国卷Ｉ理科２１题）

设函数火龙）＝口ｅ。

ｌ似＋等＿，曲线ｙ＝八ｚ）在点（１，

八１））处的切线为ｙ＝ｅ（戈一１）＋２．

（１）求口，６；（２）证明八戈）＞１．

解析：

（１矿（石）＝ｏ（ｅ。

ｌ似＋旦。

）＋６丝—÷Ｌ，

戈

戈。

定义域为（。

，＋∞），由题意得眵？

０：

２ｅ，，解得

髓：

．’

（２）即证不等式ｅ。

ｌ眦＋坚＞１（戈＞０），等价

于证不等式菇ｌ似＞詈一号（戈＞ｏ），设ｇ（石）＝

戈ｌ似（戈＞ｏ），则ｇ’（石）＝１＋ｌ似，当戈∈（ｏ，寺）时，

ｇ’（髫）＜ｏ，故ｇ（石）在（ｏ，÷）上递减；当ｚ∈（÷，

＋∞）时，ｇ’（菇）＞ｏ，故ｇ（戈）在（÷，＋∞）上递增；

万方数据

所以ｇ（戈）面。

＝ｇ（÷）＝一÷，故ｇ（搿）＝ｘ１眦≥

一上（当且仅当ｚ：

上时取等号）．设＾（戈）：

冬一

ｅ

ｅ

ｅ

三，（戈＞ｏ），贝４矗’（菇）＝！

二；兰，当戈∈（ｏ，１）时，

ｅ

ｅ

＾’（ｚ）＞０，故ｇ（ｚ）在（０，１）上递增；当戈∈（１，＋∞）时，矗’（菇）＜０，故ｇ（戈）在（１，＋∞）上递减；

所以＾（ｚ）。

。

＝矗（１）＝一÷，故＾（戈）＝砉一号≤

一土（当且仅当菇＝ｌ时取等号）；又因为上面两个

不等式的等号不能同时取到，所以戈ｌｎ戈＞导一互，

ｅ

ｅ

（艽＞０），所以命题得证．

点评：

本题中，我们构造了两个函数ｇ（ｚ），

＾（戈），加强为证明ｇ（戈）。

ｉ。

＞＾（戈）。

。

，这里需要特别

指出的是，ｇ（石）面。

＞矗（戈）。

。

实际ｊ二是ｇ（戈）＞＾（髫）

的充分条件，而非充要条件．

２“秒杀”解法

上面的解法是标准答案上提供的解法，下面我们借助重要的函数不等式ｅ。

≥戈＋ｌ，来“秒杀”这两道高考题．先来研究考题１的第（２）问．

证明：

由于ｍ≤２时，１ｎ（ｚ＋ｍ）≤ｌｎ（石＋２），故只要证ｅ。

＞ｌｎ（并＋２），下面加强为证ｅ。

≥戈＋１≥

ｌｎ（ｚ＋２）（且等号不能同时取到）．设ｄ（戈）＝ｅ。

一石一１，贝４ｄ’（并）＝ｅ。

一ｌ，当算∈（一∞，０）时，ｄ’（并）＜０，故ｄ（戈）在（一∞，０）上递减；当石∈（０，＋∞）时，ｄ’（石）＞ｏ，故ｄ（戈）在（０，＋∞）上递增，所以

ｄ（戈）面。

＝ｄ（０）＝Ｏ，故ｄ（戈）≥ｄ（０），即ｅ。

≥戈＋

１（当且仅当菇＝０时取等号）．用ｌｎ（菇＋２）去换ｅ。

≥戈＋１中的菇即得ｌｎ（菇＋２）≤戈＋１（当且仅当戈＝一ｌ时取等号），又因为上面两个不等式中的等号不

能同时取到，所以ｅ。

＞ｌｎ（石＋２）．

再来研究考题２的第（２）问．

证明：

不等式ｅ５ｌ眦＋堑＞１（茗＞０）等价于不

等式ｅ。

（１ｎ戈＋三）＞１（ｘ＞０），下面借助不等式ｅ５

ｅ戈

≥ｅ菇和ｌ姒≥１来处理，实际上，用石一ｌ去换ｅ５≥

菇＋１中的菇即得ｅ。

≥蹦（当且仅当戈＝ｌ时取等号），

用一ｌ眦去换ｅ５≥蹦中的算即得ｌ似≥二！

（当且仅

四１５年第１期

中学数学研究

・４１・

当ｘ：

上时取等号），于是，易得ｅｘ（１眦＋互）≥４

应用举例

（２０１０年全国卷文科２１题）设函数八石）＝菇（ｅ。

蹦（—二＋三）＝１，又因为上面两个不等式中的等号

一１）一口石２．

ｅ石

ｅ石

不能同时取到，所以ｅ３（１眦＋三）＞ｌ（石＞０），所以

（１）当口＝÷时，求八算）的单调区间；（２）若当

菇≥０时都有火龙）≥０，求实数。

的取值范围．

命题得证．

３

背景研究

点评：

第（２）问的命制是以八戈）＝ｅ。

在戈＝０处

．，２

．，“

函数不等式ｅ。

≥搿＋１看似平凡其实很不平凡，的泰勒展开式ｅ。

＝ｌ＋ｘ＋务＋…＋着＋…为背景，

它的左边是超越函数（指数函数），右边是多项式函

首先得到不等式ｅ。

≥１＋戈（戈≥０），然后隐掉ｚ前面数（一次函数），它反映了指数函数和一次函数之间

的系数１，改成求参数口的范围，故答案为口≤１．

的关系，其深刻的背景是高等数学中的泰勒公式，根另外，我们再来看看２０１０年全国卷理科２１题：

据公式以菇）＝ｅ４在菇＝０处的展开式为八菇）＝

设函数八菇）＝ｅ５—１一戈一眦２，

删州０）．石＋筹。

”・＋等∥”・，

（１）当ｏ＝Ｏ时，求八菇）的单调区间；（２）若当

舅≥０时都有火石）≥０，求实数ｎ的取值范围．

即ｅ。

叫¨＋筹＋．一＋着＋．一，所ｗ≥¨Ｌ

点评：

本题的命制也是以八戈）＝ｅ。

在戈＝０处

．，２

．，“

同样，根据泰勒公式以菇）＝ｅ。

在戈＝１处的展开式

的泰勒展开式ｅ５＝１＋戈＋身＋…＋暑＋…为背

为八ｚ）：

八１）＋厂（１）．（戈一１）＋鼍兽．（戈一１）ｚ

景，首先得到不等式ｅ。

≥ｌ＋戈＋等，（菇≥ｏ），然后

Ⅳ２

＋…十号乎。

（菇一１）“＋…，即ｅ。

＝ｅ＋ｅ（菇一１）

隐掉戈ｚ前面的系数丢，改成求参数Ⅱ的范围，故答案＋寺（菇一１）２十…＋着（ｘ一１）“＋…，所以ｅ。

≥ｅ茗‘

为。

≤丢．

ｔ●｝警ｔｔｔｔ—；Ｉｔｔ玺●｝●｝●｝●｝ｔ●；—ｊｔ●｝ｔＩＩｔ＇｝●ｊ●；Ｉ●；—｝●；Ｉ●；●｝●ｉ●｝●；謦Ｉ●ｊ●；●ｊｔ●ｊ—｝

一道猜想不等式的又一初等证明

湖北省宜都市一中

（４４３３００）刘宜兵廖华

题目

设ｏ，６，ｃ是正数，ｎ是正整数，求证：

口

６

＋

贝。

三ｉ一・＝王三半，古一－＝

），

以ｎ＋（３ｎ一１）６号ｃ号√口“＋（３“一１）６丁ｃ丁

钆ｎ＋（３ｎ一１）口号ｃ手√６“＋（３４—１）口丁ｃｊ

掣，专一学，

ｚ

口

‘

’

６“

’ｚ”

ｃ“

√ｃ“＋（３“一１）口丁６丁

可＝＝＝兰，＿二ｉ≥ｌ・

其中菇，ｙ，彳∈（Ｏ，１）且（ｊｉ一１）（ｊ了一１）（ｊＬ．一

ｘ

二

文［１］给出了该不等式的极限证明．文［２］用

ｊ）

拉格朗日条件极值法给出了证明．这两种方法都不

１）＝（３“一１）３．下面证明戈＋），＋ｚ≥１．用反证法：

易理解，文［３］中我们给出一个初等证明．本文再用

若存在一组戈，），，ｚ∈（ｏ，１），满足戈＋ｙ＋ｚ＜１．则寺

反证法给出一个新的证明．

证明：

先设菇＝ｉ＝二＝兰＝彳，，，＝

一１：

毕＞堕业等上蔓，因为（戈＋ｙ＋ｚ）“

√口”＋（３“一１）６丁ｃ丁

展开后（不合并同类项）共有３８项，而戈，ｙ，ｚ每个字６

ｃ

母在展开式中都出现ｎ・３”１次．（如将（菇＋ｙ＋ｚ）２

√６“＋（３“一１）口丁ｃ丁活了歹ｊ霄ｉ产一万了歹ｊ霄万√ｃ８＋（３“一１）ｏｊ６

２

襄开为＃＋，２＋≠＋％ｙ＋ｘｙ＋％ｚ＋％ｚ＋ｙｚ＋ｙｚ共

万方数据