整理因式分解竞赛题含答案.docx
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整理因式分解竞赛题含答案
因式分解(竞赛题)含答案
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因式分解
一、导入:
有两个人相约到山上去寻找精美的石头,甲背了满满的一筐,乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头。
甲就笑乙:
“你为什么只挑一个啊?
"乙说:
“漂亮的石头虽然多,但我只选一个最精美的就够了。
”甲笑而不语,下山的路上,甲感到负担越来越重,最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下,到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头!
启示:
人生中会有许多的东西,值得留恋,有的时候你应该学会去放弃。
二、知识点回顾:
1.运用公式法
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:
(1)a2—b2=(a+b)(a—b);
(2)a2±2ab+b2=(a±b)2;
(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);
(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).
下面再补充几个常用的公式:
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;
(6)a3+b3+c3—3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab—bc-ca);
(7)an—bn=(a—b)(an—1+an—2b+an—3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数;
(8)an-bn=(a+b)(an-1—an—2b+an-3b2-…+abn-2-bn—1),其中n为偶数;
(9)an+bn=(a+b)(an—1-an—2b+an-3b2-…—abn-2+bn-1),其中n为奇数.
运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.
三、专题讲解
例1分解因式:
(1)-2x5n—1yn+4x3n—1yn+2-2xn—1yn+4;
(2)x3-8y3-z3—6xyz;
解
(1)原式=-2xn—1yn(x4n-2x2ny2+y4)
=—2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]
=—2xn-1yn(x2n-y2)2
=—2xn—1yn(xn-y)2(xn+y)2.
(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz—2yz).
例2分解因式:
a3+b3+c3—3abc.
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6).
分析我们已经知道公式
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
的正确性,现将此公式变形为
a3+b3=(a+b)3—3ab(a+b).
这个
式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导.
解原式=(a+b)3—3ab(a+b)+c3—3abc
=[(a+b)3+c3]—3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)2-c(a+b)+c2]—3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab—bc-ca).
说明公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如:
我们将公式(6)变形为
a3+b3+c3—3abc
显然,当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc;当a+b+c>0时,则a3+b3+c3—3abc≥0,即a3+b3+c3≥3abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立.
如果令x=a3≥0,y=b3≥0,z=c3≥0,则有
等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.
※※变式练习
1分解因式:
x15+x14+x13+…+x2+x+1.
分析这个多项式的特点是:
有16项,从最高次项x15开始,x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式an-bn来分解.
解因为
x16-1=(x—1)(x15+x14+x13+…x2+x+1),
所以
说明在本题的分解过程中,用到先乘以(x-1),再除以(x—1)的技巧,这一技巧在等式变形中很常用.
2.拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.
例3分解因式:
x3-9x+8.
分析本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧.
解法1将常数项8拆成—1+9.
原式=x3—9x—1+9
=(x3—1)—9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8).
解法2将一次项-9x拆成-x—8x.
原式=x3—x-8x+8
=(x3—x)+(—8x+8)
=x(x+1)(x—1)—8(x—1)
=(x—1)(x2+x—8).
解法3将三次项x3拆成9x3—8x3.
原式=9x3-8x3—9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x—1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8).
解法4添加两项-x2+x2.
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x—8)(x—1)
=(x-1)(x2+x—8).
说明由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.
※※变式练习
1分解因式:
(1)x9+x6+x3—3;
(2)(m2-1)(n2—1)+4mn;
(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x—1)4;
(4)a3b—ab3+a2+b2+1.
解
(1)将—3拆成-1—1-1.
原式=x9+x6+x3-1—1-1
=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)
=(x3—1)(x6+x3+1)+(x3—1)(x3+1)+(x3—1)
=(x3—1)(x6+2x3+3)
=(x—1)(x2+x+1)(x6+2x3+3).
(2)将4mn拆成2mn+2mn.
原式=(m2-1)(n2—1)+2mn+2mn
=m2n2-m2—n2+1+2mn+2mn
=(m2n2+2mn+1)—(m2—2mn+n2)
=(mn+1)2—(m—n)2
=(mn+m—n+1)(mn-m+n+1).
(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2—1)2.
原式=(x+1)4+2(x2—1)2—(x2—1)2+(x-1)4
=[(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x—1)4]—(x2—1)2
=[(x+1)2+(x-1)2]2-(x2—1)2
=(2x2+2)2-(x2—1)2=(3x2+1)(x2+3).
(4)添加两项+ab-ab.
原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab—ab
=(a3b-ab3)+(a2—ab)+(ab+b2+1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)
=a(a-b)[b(a+b)+1]+(ab+b2+1)
=[a(a-b)+1](ab+b2+1)
=(a2—ab+1)(b2+ab+1).
说明(4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式.这道题目使我们体会到
拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验.
3.换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰.
例4分解因式:
(x2+x+1)(x2+x+2)—12.
分析将原式展开,是关于x的四次多项式,分解因式较困难.我们不妨将x2+x看作一个整体,并用字母y来替代,于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了.
解设x2+x=y,则
原式=(y+1)(y+2)—12=y2+3y-10
=(y-2)(y+5)=(x2+x—2)(x2+x+5)
=(x—1)(x+2)(x2+x+5).
说明本题也可将x2+x+1看作一个整体,比如今x2+x+1=u,一样可以得到同样的结果,有兴趣的同学不妨试一试.
例5分解因式:
(x2+3x+2)(4x2+8x+3)—90.
分析先将两个括号内的多项式分解因式,然后再重新组合.
解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)—90
=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90
=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90.
令y=2x2+5x+2,则
原式=y(y+1)-90=y2+y—90
=(y+10)(y—9)
=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)
=(2x2+5x+12)(2x+7)(x—1).
说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础.
※※变式练习
1。
分解因式:
(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.
解设x2+4x+8=y,则
原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)
=(x2+6x+8)(x2+5x+8)
=(x+2)(x+4)(x2+5x+8).
说明由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式.
1.双十字相乘法
分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.
例如,分解因式2x2-7xy—22y2—5x+35y—3.我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为
2x2—(5+7y)x—(22y2-35y+3),
可以看作是关于x的二次三项式.
对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为
即:
—22y2+35y-3=(2y—3)(-11y+1).
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以,原式=[x+(2y-3)][2x+(—11y+1)]
=(x+2y-3)(2x-11y+1).
上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图:
它表示的是下面三个关系式:
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy—22y2;
(x-3)(2x+1)=2x2—5x—3;
(2y—3)(-11y+1)=—22y2+35y—3.
这就是所谓的双十字相乘法.
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是:
(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.
例1分解因式:
(1)x2—3xy-10y2+x+9y-2;
(2)x2—y2+5x+3y+4;
(3)xy+y2+x-y—2;
(4)6x2—7xy-3y2-xz+7yz—2z2.
解
(1)
原式=(x-5y+2)(x+2y—1).
(2)
原式=(x+y+1)(x-y+4).
(3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解.
原式=(y+1)(x+y-2).
(4)
原式=(2x-3y+z)(3x+y—2z).
说明(4)中有三个字母,解法仍与前面的类似.
2.求根法
我们把形如anxn+an—1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,如
f(x)=x2—3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,
当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)
f
(1)=12—3×1+2=0;
f(-2)=(-2)2—3×(—2)+2=12.
若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根.
定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a.
根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x)要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根.
定理2
的根,则必有p是a0的约数,q是an的约数.特别地,当a0=1时,整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数.
我们根据上述定理,用求多项式的根来确定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式分解.
例2分解因式:
x3-4x2+6x-4.
分析这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根,必是-4的约数,逐个检验—4的约数:
±1,±2,±4,只有
f
(2)=23—4×22+6×2—4=0,
即x=2是原式的一个根,所以根据定理1,原式必有因式x—2.
解法1用分组分解法,使每组都有因式(x-2).
原式=(x3-2x2)-(2x2—4x)+(2x—4)
=x2(x—2)—2x(x-2)+2(x—2)
=(x-2)(x2-2x+2).
解法2用多项式除法,将原式除以(x-2),
所以
原式=(x—2)(x2-2x+2).
说明在上述解法中,特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数,反之不成立,即—4的约数不一定是多项式的根.因此,必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证.
※※变式练习
1。
分解因式:
9x4-3x3+7x2—3x—2.
分析因为9的约数有±1,±3,±9;-2的约数有±1,±
为:
所以,原式有因式9x2-3x-2.
解9x4-3x3+7x2—3x—2
=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2
=x2(9x3—3x—2)+9x2-3x-2
=(9x2—3x—2)(x2+1)
=(3x+1)(3x-2)(x2+1)
说明若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式,如上题中的因式
可以化为9x2—3x-2,这样可以简化分解过程.
总之,对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式(x—a),那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式,这样,我们就可以继续对g(x)进行分解了.
3.待定系数法
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛,这里介绍它在因式分解中的应用.
在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法.
例3分解因式:
x2+3xy+2y2+4x+5y+3.
分析由于
(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),
若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式,应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决.
解设
x2+3xy+2y2+4x+5y+3
=(x+2y+m)(x+y+n)
=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,
比较两边对应项的系数,则有
解之得m=3,n=1.所以
原式=(x+2y+3)(x+y+1).
说明本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下.
※※变式练习
1.分解因式:
x4—2x3—27x2-44x+7.
分析本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7的约数),经检验,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没有一次因式.如果原式能分解,只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式.
解设
原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,
所以有
由bd=7,先考虑b=1,d=7有
所以
原式=(x2—7x+1)(x2+5x+7).
说明由于因式分解的唯一性,所以对b=-1,d=—7等可以不加以考虑.本题如果b=1,d=7代入方程组后,无法确定a,c的值,就必须将bd=7的其他解代入方程组,直到求出待定系数为止.
本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式.但利用待定系数法,使我们找到了二次因式.由此可见,待定系数法在因式分解中也有用武之地.
四、巩固练习:
1.分解因式:
(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2).
分析本题含有两个字母,且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变,这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式,经常令u=x+y,v=xy,用换元法分解因式.
解原式=[(x+y)2-xy]2—4xy[(x+y)2-2xy].令x+y=u,xy=v,则
原式=(u2—v)2-4v(u2—2v)
=u4—6u2v+9v2
=(u2—3v)2
=(x2+2xy+y2-3xy)2
=(x2-xy+y2)2.
五、反思总结