4寒假课程北师大版初二数学 第4讲角平分线教师版.docx

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4寒假课程北师大版初二数学第4讲角平分线教师版

第四讲角平分线

知识讲解：

考点一利用尺规作已知角的角平分线

1已知：

∠AOB

求作：

∠AOB的角平分线

作法：

1、以O为圆心，以适当的长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

2、分别以D、E为圆心，以大于

DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.

3、作射线OC,射线OC即为所求.

2作图原理：

利用“SSS”判定三角形全等，两三角形全等其对应角相等.

【例1】如图，已知∠AOB．小明按如下步骤作图：

（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于点E．

（2）分别以D，E为圆心，大于

DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．

（3）画射线OC．

根据上述作图步骤，下列结论正确的是（）

A．射线OC是

的平分线B．线段DE平分线段OC

C．点O和点C关于直线DE对称D．OE=CE

【答案】A．

【练习1.1】已知：

直线AB及其上一点P．求作：

直线MN，使得MN⊥AB于P．

作法：

【答案】作∠AOB的角平分线.

【练习1.2】用三角板可按下面方法画角平分线：

在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理．

【答案】△PMO≌△PNO,可证∠AOP=∠POB，则OP为∠AOB的角平分线.

考点二角平分线的性质与判定

1.角平分线的性质

角平分线上的点到角两端的距离相等

∵OP平分∠AOB,PM⊥OA,PN⊥OB,∴PM=PN

2.角平分线的判定

角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

∵PM⊥OA,PN⊥OB,PM=PN,∴OP平分∠AOB.

【例题】

1.已知：

如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上的一点，EB=EC，∠1=∠2．

求证：

AD平分∠BAC．

2．如图，已知点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内的一点，且AB=AD，BC=DC，

CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别是E、F．求证：

CE=CF．

【答案】

1、证明：

∵EB=EC，∴∠EBC=∠ECB 

又∵∠1=∠2，∴∠ABC=∠ACB

∴AB=AC 

在△BAE和△CAE中 

∴△BAE≌△CAE（SSS）

∴∠BAE=∠CAE

2、∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，

∴△ABC≌△ADC（SSS）．

∴∠DAC=∠BAC．

又∵CE⊥AD，CF⊥AB，

∴CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．

【随堂练习】

1．•永州）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（　　）

A．有且只有1个

B．有且只有2个

C．组成∠E的角平分线

D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）

2．•丹东模拟）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（　　）

A．

B．2C．3D．2

3．•威海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，BD平分∠ABC，E是AB中点，连接DE，则DE的长为（　　）

A．

B．2C．

D．

4．春•山亭区期末）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（　　）

A．1B．2C．3D．4

5．•遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（　　）

A．3B．4C．6D．5

6．•威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（　　）

A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°

7．•德州）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：

①OA=OD；

②AD⊥EF；

③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；

④AE+DF=AF+DE．

其中正确的是（　　）

A．②③B．②④C．①③④D．②③④

8．（2011•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　）

A．11B．5.5C．7D．3.5

9．•朝阳）如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：

①∠AFE=∠AEF；

②AD垂直平分EF；

③

；

④EF一定平行BC．

其中正确的是（　　）

A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④

10．春•澧县期末）如图：

在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；

说明：

（1）CF=EB．

（2）AB=AF+2EB．

11．春•启东市校级月考）如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：

PM=PN．

12．秋•营山县期中）四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°

求证：

2AE=AB+AD．

13．秋•临沭县期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．

求证：

AD是△ABC的角平分线．

14．秋•江阴市期中）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

（1）说明BE=CF的理由；

（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．

15．春•成都校级月考）

（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有相等关系DE=DF，AE=AF．

（2）如图2，在

（1）的情况下，如果∠MDN=∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+　　　　　　=2AF，请加以证明．

（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=6，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN=120°，ND∥AB，求四边形AMDN的周长．

16．秋•日照期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是28cm2，AB=16cm，AC=12cm，求DE的长．

17．春•蓬溪县校级月考）如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．

（1）求证：

BD=CE；

（2）若AB=6cm，AC=10cm，求AD的长．

【答案】

1、【解答】解：

作∠E的平分线，

可得点P到AB和CD的距离相等，

因为AB=CD，

所以此时点P满足S△PAB=S△PCD．

故选D．

2、【解答】解：

过点P作PB⊥OM于B，

∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，

∴PB=PA=3，

∴PQ的最小值为3．

故选：

C．

3、【解答】解：

如图，过D作AB垂线交于K，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD=∠ABD

∵∠C=∠DKB=90°，

∴CD=KD，

在△BCD和△BKD中，

∴△BCD≌△BKD，

∴BC=BK=3

∵E为AB中点

∴BE=AE=2.5，EK=0.5，

∴AK=AE﹣EK=2，

设DK=DC=x，AD=4﹣x，

∴AD2=AK2+DK2

即（4﹣x）2=22+x2

解得：

x=

∴在Rt△DEK中，DE=

=

，

故选：

A．

4、【解答】解：

∵垂线段最短，

∴当PQ⊥OM时，PQ有最小值，

又∵OP平分∠MON，PA⊥ON，

∴PQ=PA=2，

故选B．

5、【解答】解：

如图，过点D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，

∴DE=DF，

由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

∴

×4×2+

×AC×2=7，

解得AC=3．

故选：

A．

6、【解答】解：

∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，

∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°，

故A选项正确，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABO=

∠ABC=

×50°=25°，

在△ABO中，

∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°，

∴∠DOC=∠AOB=85°，

故B选项错误；

∵CD平分∠ACE，

∴∠ACD=

（180°﹣60°）=60°，

∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°，

故C选项正确；

∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，

∴AD是△ABC的外角平分线，

∴∠DAC=

（180°﹣70°）=55°，

故D选项正确．

故选：

B．

7、【解答】解：

如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，

∴①不正确；

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠EAD∠FAD，

在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD（AAS），

∴AE=AF，DE=DF，

∴AE+DF=AF+DE，

∴④正确；

在△AEO和△AFO中，

，

∴△AE0≌△AF0（SAS），

∴EO=FO，

又∵AE=AF，

∴AO是EF的中垂线，

∴AD⊥EF，

∴②正确；

∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，

∴四边形AEDF是矩形，

又∵DE=DF，

∴四边形AEDF是正方形，

∴③正确．

综上，可得

正确的是：

②③④．

故选：

D．

8、【解答】解：

作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，

∵DE=DG，

∴DM=DG，

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，

∴DF=DN，

在Rt△DEF和Rt△DMN中，

，

∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），

∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，

∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，

S△DNM=S△EDF=

S△MDG=

×11=5.5．

故选B．

9、【解答】解：

①∵三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，

∴∠ADE=∠ADF，DF=DE，

∴AF=AE，

∴∠AFE=∠AEF，故正确；

②∵DF=DE，AF=AE，

∴点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，

∴AD垂直平分EF，故正确；

③∵S△BFD=

BF•DF，S△CDE=

CE•DE，DF=DE，

∴

；故正确；

④∵∠EFD不一定等于∠BDF，

∴EF不一定平行BC．故错误．

故选A．

10、【解答】证明：

（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DE=DC，

∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．

∴CF=EB；

（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴CD=DE．

在△ADC与△ADE中，

∵

∴△ADC≌△ADE（HL），

∴AC=AE，

∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．

11、【解答】证明：

∵BD为∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

在△ABD和△CBD中，

，

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴∠ADB=∠CDB，

∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，

∴PM=PN．

12、【解答】证明：

过C作CF⊥AD于F，

∵AC平分∠BAD，

∴∠FAC=∠EAC，

∵CE⊥AB，CF⊥AD，

∴∠DFC=∠CEB=90°，

∴△AFC≌△AEC，

∴AF=AE，CF=CE，

∵∠ADC+∠B=180°

∴∠FDC=∠EBC，

∴△FDC≌△EBC

∴DF=EB，

∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE

∴2AE=AB+AD

13、【解答】证明：

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴Rt△BDE和Rt△DCF是直角三角形．

，

∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），

∴DE=DF，

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AD是角平分线．

14、【解答】

（1）证明：

连接BD，CD，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，

∵DG⊥BC且平分BC，

∴BD=CD，

在Rt△BED与Rt△CFD中，

，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴BE=CF；

（2）解：

在△AED和△AFD中，

，

∴△AED≌△AFD（AAS），

∴AE=AF，

设BE=x，则CF=x，

∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，

∴5﹣x=3+x，

解得：

x=1，

∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．

15、【解答】

（1）证明：

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠AED=∠AFD=90°，

在△ADE和△ADF中，

，

∴△ADE≌△ADF（AAS），

∴DE=DF，AE=AF；

（2）解：

AM+AN=2AF；

证明如下：

由

（1）得DE=DF，

∵∠MDN=∠EDF，

∴∠MDE=∠NDF，

在△MDE和△NDF中，

，

∴△MDE≌△NDF（ASA），

∴ME=NF，

∴AM+AN=（AE+ME）+（AF﹣NF）=AE+AF=2AF；

（3）由

（2）可知AM+AN=2AC=2×6=12，

∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于D，

∴∠BAD=∠CAD=30°，

∵ND∥AB，

∴∠ADN=∠BAD=30°，

∴∠CAD=∠ADN，

∴AN=DN，

在Rt△CDN中，DN=2CN，

∵AC=6，

∴DN=AN=

×6=4，

∵∠BAC=60°，∠MDN=120°，

∴∠CDE=∠MDN，

∴DM=DN=4，

∴四边形AMDN的周长=12+4×2=20．

16、【解答】∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，

∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=

AB×DE+

AC×DF

∴S△ABC=

（AB+AC）×DE

即

×（16+12）×DE=28，

故DE=2（cm）．

17、【解答】

（1）证明：

连接BP、CP，

∵点P在BC的垂直平分线上，

∴BP=CP，

∵AP是∠DAC的平分线，

∴DP=EP，

在Rt△BDP和Rt△CEP中，

，

∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），

∴BD=CE；

（2）解：

在Rt△ADP和Rt△AEP中，

，

∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），

∴AD=AE，

∵AB=6cm，AC=10cm，

∴6+AD=10﹣AE，

即6+AD=10﹣AD，

解得AD=2cm．

出门检测

1．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，那么　①BD=FC；②∠ABD=∠FCA；③BC=2CE；④CE=FE．其中正确的结论的个数（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【答案】B

2.已知：

如图，A、B、C、D四点在∠MON的边上，AB＝CD，P为∠MON内一点，并且△PAB的面积与△PCD的面积．

【答案】相等

3.如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE=AB，点P是BE上任一点，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M，求证：

PM+PN=

AC．

【答案】提示：

过B作BQ⊥AC，交AC于点Q，过P作PH⊥BQ，交BQ于点H.

易证MP=QH.利用ASA证明

即可

4.已知：

如图，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点,并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．

【答案】在线段AC上截取AG=AE，根据SAS证明

通过倒角得

5.四边形ABCD是正方形，P为BC上任意一点，

，求证：

.

【答案】延长CB到E，使得BE=DQ,根据SAS得出

则EP=BP+DQ,再根据倒角，得出AP=EP.

课后作业

1.在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则ΔABD的面积是（）

A．

B．

C．mnD．2mn

【答案】B.

2.已知：

在ΔABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE交于点O，过O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、OM、ON的大小关系为_____．

【答案】OP=OM=ON.

3.已知：

如图8－7，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法）

【答案】作∠CBA的角平分线.

4.已知：

四条直线两两相交，相交部分的线段构成正方形ABCD．试问：

是否存在到至少三边所在的直线的距离都相等的点？

若存在，请找出此点，这样的点有几个？

若不存在，请说明理由．

【答案】存在，共有5个，作角分线.

5.已知：

A、B、C、D四点在∠MON的边上，AB＝CD，P为∠MON内一点，并且△PAB的面积与△PCD的面积相等．求证：

射线OP是∠MON的平分线．

【答案】过点P向OM、ON作垂线.

6.在ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若△BCD与△BCA的面积比为3∶8，求△ADE与△BCA的面积之比．

【答案】1:

4.

7.如图所示，BD=DC,DE⊥BC,交∠BAC的平分线于E，EM⊥AB,EN⊥AC,求证：

BM=CN

【答案】连接BC、EC