空间几何体的结构特征及三视图与直观图教案.docx

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空间几何体的结构特征及三视图与直观图教案

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

适用学科

数学

适用年级

高二

适用区域

新课标

课时时长（分钟）

60

知识点

柱、锥、台、球的结构特征

简单祝贺体的结构特征

三视图

直观图

教学目标

1、通过本课训练，进一步理解和掌握简单几何体与三视图和直观图的有关概念、常见题型及解法；

2、培养和训练学生识别、选择、作图、运用及空间想象的能力。

教学重点

柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质

教学难点

柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质

教学过程

一、复习预习

教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容

二、知识讲解

考点/易错点1多面体的结构特征

多面体

结构特征

棱柱

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等

棱锥

有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形

棱台

棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分

考点/易错点2旋转体的形成

几何体

旋转图形

旋转轴

圆柱

矩形

任一边所在的直线

圆锥

直角三角形

一条直角边所在的直线

圆台

直角梯形

垂直于底边的腰所在的直线

球

半圆

直径所在的直线

考点/易错点3简单组合体

简单组合体的构成有两种基本形式：

一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．

考点/易错点4平行投影与直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°（或135°），z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

考点/易错点5三视图

几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

三、例题精析

【例题1】

【题干】如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（　　）

A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

【答案】B

【解析】如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补（若为正四棱锥则成立）．故仅命题B为假命题．

【例题2】

【题干】

（1）如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的（　　）

（2）

如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为（　　）

A．2　　　　　　　　　　B．4

C.D．2

【答案】D.D

【解析】

（1）由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A

（2）依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为2，的矩形，故其面积是2

【例题3】

【题干】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（　　）

A．2＋　　　　　　　　　　B.

C.D．1＋

【答案】A

【解析】恢复后的原图形为一直角梯形

S＝（1＋＋1）×2＝2＋

【例题4】

【题干】已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．

【解析】建立如图所示的坐标系xOy′，

△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，OC为△ABC的高．

把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，

则点C′变为点C，且OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变．

已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，

由正弦定理得

＝，

所以OC′＝a＝a，

所以原三角形ABC的高OC＝a.

所以S△ABC＝×a×a＝a2.

四、课堂运用

【基础】

1．如图，在下列四个几何体中，其三视图（正视图、侧视图、俯视图）中有且仅有两个相同的是（　　）

A．②③④　　　　　　　　B．①②③

C．①③④D．①②④

解析：

选A　①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．

2．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（　　）

解析：

选C　C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.

5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是（　　）

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．钝角三角形

解析：

选B　由斜二测画法知B正确．

3．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．（填入所有可能的图形前的编号）

①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．

解析：

如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△ABE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图（四边形ABCD）是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.

答案：

①②③

4．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为，其正视图（主视图）和侧视图（左视图）是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．

解析：

由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E、F分别是AD、BC的中点，连接AO，易得AO＝，而PA＝，于是解得PO＝1，所以PE＝，故其正视图的周长为2＋2.

答案：

2＋2

【巩固】

1．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为（　　）

A．2B．3

C.D．4

解析：

选A　当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2.

2．已知：

图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．

解：

图1几何体的三视图为：

图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．

3．已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．

（1）画出该三棱锥的直观图；

（2）求出侧视图的面积．

解：

（1）三棱锥的直观图如图所示．

（2）根据三视图间的关系可得BC＝2，

∴侧视图中

VA＝

＝＝2，

∴S△VBC＝×2×2＝6.

【拔高】

1．有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是（　　）

A．1B.

C.D.

解析：

选D　如图所示是棱长为1的正方体．

当投影线与平面A1BC1垂直时，

∵面ACD1∥面A1BC1，

∴此时正方体的正投影为一个正六边形．设其边长为a，则a＝，

∴a＝.

∴投影面的面积为6××2＝.

此时投影面积最大，故D正确．

2．已知正三棱柱ABC－A′B′C′的正视图和侧视图如图所示，设△ABC，△A′B′C′的中心分别是O，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度（x可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为S（x），则函数S（x）的最大值为________；最小正周期为________．

（说明：

“三棱柱绕直线OO′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角．）

解析：

由题意可知，当三棱柱的一个侧面在水平面内时，该三棱柱的俯视图的面积最大．此时俯视图为一个矩形，其宽为×tan30°×2＝2，长为4，故S（x）的最大值为8.当三棱柱绕OO′旋转时，当A点旋转到B点，B点旋转到C点，C点旋转到A点时，所得三角形与原三角形重合，故S（x）的最小正周期为.

答案：

8　

课程小结

1.正棱柱与正棱锥

（1）底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：

①侧棱垂直于底面；②底面是正多边形．

（2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：

①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，②底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．

2．对三视图的认识及三视图画法

（1）空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．

（2）在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．

（3）三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．

3．对斜二测画法的认识及直观图的画法

（1）在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”

（2）按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：

S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．

课后作业

【基础】

1．有下列四个命题：

①底面是矩形的平行六面体是长方体；

②棱长相等的直四棱柱是正方体；

③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；

④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．

其中真命题的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

选A　命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形（非正方形），底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．

2．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是（　　）

解析：

选B　由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正确．

3．一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为（　　）

A．2＋B．1＋

C．2＋2D．4＋

解析：

选D　依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋×2×＝4＋.

4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

解析：

结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为×2×2sin60°×2－××2×2sin60°×1＝.

答案：

【巩固】

1．如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝，且