函数的单调性教学设计.docx
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函数的单调性教学设计
函数的单调性教学设计
石嘴山市第十四中学王玲
一、大纲分析
函数单调性是研究函数概念基础上学习的第一性质，依据普通高中《数学课程标准》和《数学教学大纲》，教学重点确立为:
判断或证明函数单调性的方法步骤。
又因为教学对象是高一新生，准确进行逻辑推理比较困难，所以把函数单调性的定义，判断或证明函数单调性确立为教学难点。
二、教材分析
1、教材的地位与作用
本课是人民教育出版社高中数学第一册第二章第三节的内容。
函数的单调性是函数重要性质之一，应用非常广泛，在教材中起着承上启下的作用
一方面，是初中相关内容的深化、提高，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识;
另一方面，通过对函数单调性的学习，可以利用函数单调性的定义判断某些函数的单调性及单调区间;比较两个数的大小;解方程或不等式;求函数的值域、最值等。
三、教学建议分析
研究著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”问题，充分调动学生积极性，营造亲切活跃的课堂氛围;渗透建模思想，培养学生应用数学的意识，通过实例使学生感受单调性的内涵，缩短心理距离，降低理解难度。
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四、教学目标
（1）知识目标:
使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初
步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方
法（
（2）能力目标:
通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数
学思想和方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达
能力;通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力（（3）情感目标:
通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、
严谨论证的良好思维习惯;让学生经历从具体到抽象，从特殊
到一般，从感性到理性的认知过程（
五、教学重点、难点
重点:
函数单调性的定义;判断、证明函数的单调性.难点:
归纳并抽象函数单调性的定义.
六、学法、教法分析
对学生来说，函数的单调性早已有所了解，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质。
学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，常感到乏味。
因此，在设计教案时，引导学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程，发展数学思维能力。
探究时先以基本初等函数
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22y,xy,xy,x，2y,,x，2x,0为载体，针对、，（）、、
x,0（）的图象，依据循序渐进原则，设计几个问题，学生直接回答的同时教师利用多媒体的优势，展示图象及动画，使学生理解增减函数定义。
加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理。
七、教学过程
（一）课前探究
德国有一名著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究，他经过测试，得到了以下数据:
时间刚记忆20分60分8—9小1天2天6天一个
t完毕钟后钟后时后后后后月后间隔
记忆量
10058.244.235.833.727.825.421.1（百分比）y
y以上数据表明,记忆量是时间
t间隔的函数,艾宾浩斯根据这
些数据描绘出了著名的“艾宾浩
斯遗忘曲线”，如图:
t问题1:
当时间间隔逐渐增大，
y你能看出对应的函数值有什么
变化趋势,通过这个试验，你打
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算如果对待刚学过的知识,
问题2:
“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释,
（二）新课导入
知识探究一:
2y,xy,x，2x,0问题1:
分别作出函数，，（），的图像，这两个函数图像分别是什么,二者有何共同特征,
x问题2:
如果一个函数图象，从左自右逐渐上升，那么当自变量从
y小到大依次取值时，函数值的变化情况如何,
问题3:
如图，函数在定义域I内某个区间D上的图像，对于该f（x）
区间上任意两个自变量和，当<时，与的大小关系xxxxf（x）f（x）111222
如何,
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（三）教学过程
问题4:
我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数在区间上是增函数”?
Df（x）
定义:
一般的，设函数的定义域为，If（x）
如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当IDxx12<时,都有<,那么就说函数在区间上是增函数;Df（x）xxf（x）f（x）1122
（3）知识探究二:
2y,xy,,x，2x,0问题1:
考察下列两个函数，，（），这两个函数图像分别是什么,二者有何共同特征,
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问题2:
我们把具有上述特点的函数定义为减函数，那么怎样定义“函数在区间上是减函数”Df（x）
定义:
如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，IDx1，当<时,都有>,那么就说函数在区间上是减函Df（x）xxxf（x）f（x）11222
数.
y,f（x）定义:
如果函数在区间上是增函数或减函数，则称函数Df（x）在这区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间Df（x）
2y,x思考:
如图，是函数的图像，我们
能说该函数在R上的单调的吗,为什么,
从中你又悟出了什么,（单调性是曲线的
局部性质）
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y,f（x）（4）例题讲解例1:
如图是定义在闭区间[—5,5]上的函数的
y,f（x）单调区间，以及在每一区间上，函数是增函数还是减函数,（根据图像说明一个函数的单调区间，单调区间的写法）
2y,x例2:
如何从解析说明式的角度说明函数在[0，，,）上是增函数,（利用定义确定或证明函数的单调性）
0,x,x解:
任意取，12
22x,x,（x，x）（x,x）,0有，121212
22x,x即，12
2f（x）,x[0，，,）所以在为增函数
思考:
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y,画出反比例函数的图像.这个函数x
II的定义域是什么,它在定义域上的单
调性是怎样的，证明你的结论。
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问题2:
能否将证明过程归结成几个步骤,
（指导学生学会归纳总结，形成一种技能）
f（x）利用定义确定或证明函数在给定的区间上的单调性的一般步D
骤:
分析:
实质就是比较大小
证明步骤:
xxxx1.取值:
任取，，且<;,D1122
f（x）f（x）2.作差:
>;12
3.变形:
通常是因式分解和配方;
f（x）f（x）4.定号:
判断差—的正负;21
f（x）5.结论:
指出函数在给定的区间上的单调性.D
（四）小结:
这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语;在写单调区间时不经轻易用并集的符号连结;最后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤。
（五）作业
1.课本P60页练习第1，2，3，4题。
2y,x[,,,0）2.证明函数在上是减函数。
八、教学后论
总的来说，本堂课是以学生为主体的。
给学生以较多的活动机会，可总结为四给:
（一）给学生以看的机会;
（二）给学生以想的机会;
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（三）给学生以说的机会;（四）给学生以练的机会。
这样，既调动了学生的积极性，又培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想。
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