最新运筹学胡运权版第三章运输问题课后习题答案.docx

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最新运筹学胡运权版第三章运输问题课后习题答案

P66:

8•某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点出售，各工厂Ai,A，A3的生产量、各销售点Bi，B2,B3,B4的销售量（假定单位为t）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t）示于下表中，问如何调运才能使总运费最小？

解：

一、该运输问题的数学模型为:

34

minz八'、•q乂耳=4x1112x124x1311x142x21

i4j4

10x223x239x248x315x3211x336X34

%

+X12

+X13

+X14

=16

X21

+X22

+X23

+X24

=10

X31

+X32

+X33

+X34

=22

X11

+X21

+X31

=8

X12

+X22

+X32

=14

X13

+X23

+X33

=12

X14

+X24

+X34

=14

Xij

X0,

i=1.

2,3;

j=1,2,3,4

X11

XI2

X13

X14

X21

X22

X23

X24

X31

X32

X33

X34

（1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

I

1

1

1

1

1

I

1

1

1丿

7旳2

可以证明

约束矩阵的秩为

r（A）=

:

6.

从而基变量的个数为

6.

二、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案）

1.最小元素法

思想：

优先满足运价（或运距）最小的供销业务。

销地

产地

Bi

—

1

1

-

B2

B3

B4

产量

Ai

4

12

4

11

16

A2

8

|2

10

3

9

10

82

~厂

1

1

A3

；8

5

11

6

22

1

1

1

销量

8

14

12

14

48

销地

产地

—=1

Bi

B4

产量

Ai

4

；12

10

1

11

166

10

L

A

2-

J

1-0-

1

9-

_1_n

A2

8

10

9-

10

8

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A3

8

14

5

8

6

220

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14

销量

8

―

14

10

146

48

③

④

①

⑤

②

产地

销地

B1

Bl

1

1

B3!

1

1

1

B4

1

产量

A1

4

12

4

11

160

—

1

10

1

1

6

1

1

1

10

⑥

2_

1

3

-J9

T\2

8

TlU

3

9

8

1UXJ

II

2

1

I

1

1

②

A3

8

14

—

1

1

5

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8

|6

220

1

・■■丄■■■■

1

1

I

i

«

14

⑤

销量

8

14-

10

14；0

48

①

④

⑥T

1

此时得到一个初始调运方案（初始可行解）：

X13=10,X14=6,X21=8,X23=2,X32=14,X34=8,

其余（非基）变量全等于零。

此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等

于m+n-仁3+4-仁6）.

总运费为（目标函数值）

34

z-二CjXj

ij=1

=104611822314586=246

2.伏格尔（Vogel）法

伏格尔法的基本思想：

运输表中各行各列的最小运价与次小运价之差值（罚数）应尽可能地

小。

或者说：

优先供应罚数最大行（或列）中最小运费的方格，以避免将运量分配到该行（或该列）次小运距的方格中。

销地

产地

B1

B2

B3

B4

产量

行差额

A1

4

12

4

11

16

0

A2

2

10

3

9

10

1

A3

8

5

11

6

22

1

销量

8

14

12

14

48

列差额

2

5

1

3

销地

产地

B1

B2

B3

B4

产量

行差额

A1

4

—

12

4

11

16

0

A2

2

10

3

9

10

1

A3

8

14

~1

5

11

6

228

14

1~2

1

销量

8

14

12

14

48

列差额

2

5

1

3

①

产地

销地

B1

1

B2；

1

B3

B4

产量

行差额

A1

4

12

4

11

16

0

~1~

1

1

A2

2

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9

10

1

1

1

1

A3

8

J5

11

6

0

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1

1

1

8

22

14

'~1

销量

8

14'

1

12

14

48

列差额

2

51

1

3

①

②

销地

产地

Bi丨

||

II

I

B2

B3丨

ii

ii

ii

B4

产量

行差额

⑤

Ai

4

12

12

4

11

164

12

7

1

1

1

1

A2

2

I10

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「8

2

8

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1II

1

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1

1

I

A3

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14

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r

1

1

1

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r

11

*

8

22

14

1

销量

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1

14

12!

L

14

48

列差额

2!

1

5

1!

1

3

③①④

IlI

销地

产地

B1

B2

B3

B4

产量

行差额

A1

1

4

12

12

4

1

1

160

12

7

A

4

2

10

9

1Q0.

6

8

2

8

A3

5

—1

6

CC0

L

14

r\

]

r"

为

22

14

1

销量

8

14

12

14（

48

列差额

2

5

—

1

3

③

①

④

⑥

此时得到一个初始调运方案（初始可行解）：

X13=12,X14=4,X21=8,X24=2,X32=14,X34=8

其余（非基）变量全等于零。

此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等

于m+n-仁3+4-仁6）。

总运费为（目标函数值）：

34

Z=、「、「CjXj=124411822914586=244三、解的最优性检验

1•闭回路法（以下的闭回路都是顺时针方向）

看非基变量的检验数是否满足：

Gj_0.

（1）首先对用最小元素法所确定的初始基本可行解进行检验。

参见前面的计算结果，可知

非基变量分别为：

Xii,X12，X22,X24，X31,X33。

产地

销地

B1

B2

B3

B4

产量

A1

X11

4

12

10

4

6

11

16

厂

A2

1

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2

10

1

II

2

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1

A3

8

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8

6

22

销量

8

14

12

14

48

5i=C11+C23-（C13+C21）=4+3—4+2）=1

销地

产地

B1

B2

B3

B4

产量

A1

4

X12厂.

12

一10-

4

6

1

1

11

16

A2

8

2

1r

1

1

10

2

3

1

1

1

1

9

10

A3

8

14-

<_C

L1斗

」

8

6

22

销量

8

14

12

14

48

（712=Cl2+C34-（Cl4+C32）=12+6-11+5）=2

产地

销地

B1

B2

B3

B4

产量

A1

4

12

10

4

6

1

11

16

|!

|j

A2

8

2

X22.

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2

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1

1

1

1

A3

8

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———^―=

一一—

11

1

__||

8

6

22

销量

8

14

12

14

48

C22=C22+Cl3+C34-（C23+C14+C32）=10+4+6-（3+11+5）=20T9=1

销地

产地

Bi

B2

B3

B4

产量

Ai

X11

4

12

10

6

-11

16

T

1

1

1

A2

8

2

10

2

13

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!

9

10

l_

A3

8

14

5

11

8

6

22

销量

8

14

12

14

48

C24=C24+C13-（C14+C23）=9+4—11+3）=-1

销地

产地

B1

B2

B3

B4

产量

A1

4

12

10

厂4

6

-|11

16

1

li

1

1

A2

8

2

10

2

ri-

3

II

19

10

T

1

1

1

1

A3

X31

8!

14

5

11

8

I6

22

1

jj

销量

8

14

12

14

48

c31=C31+C14+C23-（C34+C13+C21）=8+11+3—（6+4+2）=22-12=10

销地

产地

B1

B2

B3

B4

产量

A1

4

12

10

厂.4一

6

-111

16

1

L

1

A2

8

2

10

2

!

3

!

9

10

厂

1

1

1

A3

8

14

5

X33

V十-

8

」6

22

销量

8

14

12

14

48

C33=C33+C14-（C13+C34）=11+11—4+6）=12

由于024=C24+C13-（C14+C23）=9+4-11+3）=-1<0,所以当前方案不是最优方案。

（2）然后对用伏格尔法所确定的初始基本可行解进行检验。

参见前面的计算结果，可知非

基变量分别为：

Xu,X12，X22,X23,X31,X33。

（伏格尔法）

产地

销地

Bi

B2

B3

B4

产量

Ai

X11

4

12

12

4

4

11

16

L

A2

8'

2

10

3

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:

9

10

H

-■

-——

1

A3

8

14

5

11

8

6

22

销量

8

14

12

14

48

（711=C11+C24-（Cl4+C21）=4+9-11+2）=0

销地

产地

B1

B2

B3

B4

产量

A1

4

X12

7

12

12

4

4

11

16

—

1

A2

8

2

1

1

1

1

10

3

2

!

9

10

1

1

A3

8

14丄

5—

'———

11

8

」6

22

销量

8

14

12

14

48

52=C12+C34-（C14+C31）=12+6-11+5）=2

销地

产地

B1

B2

B3

B4

产量

A1

4

12

12

4

4

11

16

A2

8

2

X22

——

2

9

10

1i

I||

A3

8

14

；5

11

8

；6

1

22

L.■

1

销量

8

14

12

14

48

C22=C22+C34-（C24+C32）=10+6-（9+5）=16T4=2

产地

销地

B1

B2

B3

B4

产量

A1

4

12

12

4

亠4_

11

1

16

1

1

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1

A2

8

2

10

X23

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3

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:

9

10

—1

A3

8

14

5

11

8

6

22

销量

8

14

12

14

48

C23=C23+C14-（C13+C24）=3+11_（4+9）=14-13=1

销地

产地

B1

B2

B3

B4

产量

A1

4

12

12

4

4

11

16

A

8|

f

1

2

10

r-3

2

9

10

1i

A3

X31：

8

14

5

-

11

8

6

22

销量

8

14

12

14

48

o3i=C31+C24-（C21+C34）=8+9—（2+6）=17-8=9

销地

产地

B1

B2

B3

B4

产量

A1

4

12

12

4

4

11

―I

16

1L

A2

8

2

10

:

3

2

9

10

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A3

8

14

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X33

!

.11

8

6

22

销量

8

14

12

14

48

C33=C33+Ci4-（C13+C34）=11+11_（4+6）=22-10=12

由于所有非基变量的检验数都大于零，说明当前方案是最优方案，最优解为:

X11=12,X14=4，X21=8，X24=2，X32=14，X34=8。

2位势法

（1）首先对用最小元素法所确定的初始基本可行解进行检验。

参见前面的计算结果，可知基变量分别为：

X13,X14,X21,X23，X32,X34。

产地

销地

B1

B2

B3

B4

产量

A1

4

12

10

4

6

11

16

A2

8

2

10

2

3

9

10

A3

8

14

5

11

8

6

22

销量

8

14

12

14

48

构造方程组：

广U1+V3=C13=4

U1+V4=C14=11

U2+V1=C21=2

U2+V3=C23=3

U3+V2=C32=5

U3+V4=C34=6

令自由变量ui=0,将其代入方程组，得：

U1=0,V3=4,V4=11,U3=-5,V2=10,U2=-1,Vi=3，将其代入非基变量检验数:

qj=Cij-（Ui+Vj），得：

oi1=C11-（U1+V1）=4-（0+3）=1

Of2=C12-（U1+V2）=12-（0+10）=2

（22=C22-（U2+V2）=10-（-1+10）=1

（24=C24-（U2+V4）=9一（-1+11）=-1

（31=C31-（U3+V1）=8_（-5+3）=10

C33=C33-（U3+V3）=11-（-5+4）=12

与闭回路法计算的结果相同。

（2）然后对用伏格尔法所确定的初始基本可行解进行检验。

参见前面的计算结果，可知基

变量分别为：

x13,x14,x21,x24,x32,x34o

产地

7地

B1

B2

B3

B4

产量

A1

4

12

12

4

4

11

16

A2

8

2

10

3

2

9

10

A

8

14

5

11

8

6

22

销量

8

14

12

14

48

构造方程组：

厂U1+V3=C13=4

U1+V4=C14=11

U2+V1=C21=2

]U2+V4=C24=9

U3+V2=C32=5

LU3+V4=C34=6

令自由变量U1=0,将其代入方程组，得：

U1=0,V3=4,V4=11,U3=-5,V2=10,U2=-2,V1=4，将其代入非基变量检验数:

（j=Cij-（Ui+Vj）,得：

（5f1=C11-（U1+V1）=4-（0+4）=0

Ot2=C12-（U1+V2）=12-（0+10）=2

（2=C22-（U2+V2）=10-（-2+10）=2

（3=C23-（U2+V3）=3-（-2+4）=-1

（1=C31-（U3+V1）=8-（-5+4）=9

C83=C33-（U3+V3）=11-（-5+4）=12

与闭回路法计算的结果相同。

四、解的改进（用闭回路法调整）

在使用最小元素法求得的初始方案中，由于024<0,说明当前方案不是最优，需要改进或调

整。

见表1中非基变量X24所在的闭回路，调整量为£=min{2,6}=2。

调整过程见表2：

表1

销地

产地

B1

B2

B3

B4

产量

A1

4

12

10

厂