17年初中数学竞赛辅导综合试题及答案.docx
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17年初中数学竞赛辅导综合试题及答案
2017年初中数学竞赛辅导综合试题及答案
2017年初中数学竞赛辅导综合试题 一、选择题 1、已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一 a2b2c2?
?
个公共根，则的值为bccaabA、0B、1 2 C、2D、3 a2?
b22、设a,b是整数，方程x+ax+b=0的一根是4?
23，则的值为 abA、2B、0C、-2D、-13、正实数a1,a2,….，a2011满足a1+a2+…..+a2011=1,P=3a1?
1?
3a2?
1?
.....?
3a2011?
1，则 Y设 A、p>2012B、p=2012 DC、p kAO于A、B两点，与反比例函数y?
的图象相交于C、 FxECD两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂 足为E、F，连接CF、DE，有下列结论：
①△CEF（4题）与△DEF的面积相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF； k④AC=BD；⑤△CEF的面积等于，其中正确的个 2NDC数有 A、2B、3C、4D、55、如图，正方形ABCE的边长为1，点M、N分别在BC、CD M 上，且△CMN的周长为2，则△MAN的面积的最小值为A、2?
1 B、22?
2 C、22 D、22?
1 A（5题） BX 二、填空题 ）1?
201，1则6、已知实数x，y满足（x?
x2?
2011）（y?
y2?
2013x2-2y2+3x-3y-2012= 7、已知实数a,b,c满足a+b+c=10,且 abc11114?
?
?
?
?
则的b?
cc?
aa?
ba?
bb?
cc?
a17值是 L 8、如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O、A、B、C、D，E，若直线L经过点M，且将多边形OABCDE分割成面积相等的 1 AYBCDM·X OE 两部分，则直线L的函数表达式是 9、如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交AE、AF于点M、N，若EG=4，GF=6，BM=32，则MN B MA ND 的长为 EGF C10、已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1，B1D1相较于点O，以 点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系， 以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为 三、解答题 11、边长为整数的直角三角形，若其两直角边边长是方程x2-（k+2）x+4k=0的两根，求k的值，并确定直角三角形三边之长。
12、如图1，等腰Rt△CEF的斜边CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，CF>BC，取线段AE的中点M。
求证：
MD=MF,MD⊥MF（6分） 若Rt△CEF绕点C顺时针旋转任意角度，其他条件不变。
中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理。
FADFAD MM BBCEC（图2）E 2 13、黄冈市三运会期间，武穴黄商有一种姚明牌运动装每件的销售价y与时间x之间的函数关系式对应的点都在如图所Y（元）B示的图象上，该图象从左至右，依次是线段AB、线段C30BC、线段CD，而这种运动装每件的进价Z与时 D120A间x之间的函数关系式为Z=?
写出每件的销售价y与时间x之间的函数关系式； 1116X（周）16设每件运动装销售利润为w，写出w与时间x之间的函数关系式；求该运动装第几周出销时，每件运动装的销售利润最大？
最大利润为多少？
14.如图1所示，已知：
点A在双曲线C：
y=上，直线l1：
y=﹣x+2，直线 l2与l1关于原点成中心对称，F1，F2两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为B，P是曲线C上第一象限内异于B的一动点，过P作x轴平行线分别交l1，l2于M，N两点． 求双曲线C及直线l2的解析式；求证：
PF2﹣PF1=MN=4； 如图2所示，△PF1F2的内切圆与F1F2，PF1，PF2三边分别相切于点Q，R，S，求证：
点Q与点B重合．，B，则A、B两点间的距离公式为AB= ．） 3 15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．求证：
△ABC≌△EBF； 试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理；若AB=1，求HG?
HB的值． 16.已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFDG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°． 如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．求证：
△CAE∽△CBF； 若BE=1，AE=2，求CE的长； 如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且 = =k时，若BE=1，AE=2，CE=3， 求k的值； 如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系． 4 答案 解：
ax2+bx+c=0
（1）bx2+cx+a=0
（2）cx2+ax+b=0 （3）
（1）-
（2），得（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）=0 （a-b）x2-[（a-b）-（a-c）]x+（c-a）=0x（a-b）（x-1）-（c-a）（x-1）=0（x-1）[x（a-b）-（c-a）]=0 x=1是方程的解，又方程
（1）和方程
（2）恰有一个公共实数根，则此根为x=1同理，
（1）和（3）、
（2）和（3）同样解得公共实数根为x=1，代入
（1），得 a+b+c=0c=-（a+b） a2b2c2a3?
b3?
c3a3?
b3?
（a?
b）3?
?
?
?
bccaababcabc?
a?
b?
a?
b?
3ab?
3ab?
3ab（a?
b）3abc?
?
?
3abcabcabc333322 解：
x?
4?
23?
?
3?
1?
2?
3?
1 把x?
3?
1代入原方程得 4?
23?
a3?
a?
b?
04?
（a?
2）3?
a?
b?
0?
3?
1+（3?
1）a?
b?
0 ?
2 因为因a,b是整数,所以?
a?
b?
4也是整数,要使4?
（a?
2）3?
a?
b?
0必须使3的系数为0则有:
a?
2?
0，得a?
2, ?
a?
b?
4?
0，得b?
?
2 5
利用极值法当a1?
1，则其它值都为0，得出函数的最小值，进而得出函数的取值范围 解：
正数a1，a2，…，a2011，满足a1?
a2?
?
a2011?
1 ∴a1，a2，…，a2011中最大数小于等于1 P?
3a1?
1?
3a2?
1?
?
3a2011?
1，要使此式子最小只要a1，a2，…，a2011中一个为1即可 ∴当a1?
1，则其他都为0 P?
3a1?
1?
3a2?
1?
?
3a2011?
1?
2?
1?
1?
?
?
1?
2012 ∵a1，a2，…，a2011都是正实数 ∴P?
2012 k），则F．x解：
设点D的坐标为． ∵B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，∴OA2= = =3， ∴A2． 同理可得A3… ∴An． 故答案为：
．11. 解：
设直角边为a，b，则a+b=k+2，ab=4k，因为方程的根为整数， 故△=2-16k为完全平方数。
设（k+2）2-16k=n2∴k2-12k+4=n2∴（k-6）2-n2=32 ∴（k+n-6）（k-n-6）=1×32=2×16=4×8∵k+n-6>k-n-6 ∴?
?
k?
6?
n?
32?
k?
6?
n?
16?
k?
n?
6?
32?
k?
6?
n?
1或?
?
k?
6?
n?
2或?
?
k?
n?
6?
1解得k451?
2，k2?
15,k3?
12当k2?
15时，a+b=17,ab=60 8 ∴a=15，b=12，c=13；当k3?
12时，a+b=14,ab=48∴a=6，b=8，c=1012. 9 13、 ?
20?
2（x?
1）（1?
x?
6且x为整数）?
2x?
18（1?
x?
6且x为整数）?
?
y?
?
30即y?
?
30 ?
30?
2（x?
11?
?
2x?
52?
?
1?
220?
2x?
（x?
8）?
14?
8?
1?
w?
?
30?
?
8?
?
12?
8x?
14（1?
x?
6且x为整数）?
?
1化简得w?
?
x2?
2x?
26?
8?
12?
8x?
4x?
48?
12x?
14时∵1≤x≤6 ∴当x=6时，w有最大值，最大值为811②当w?
x2?
2x?
26?
（x?
8）2?
18 88①当w?
10
1∵6≤x≤11，故当x=11时，w有最大值，最大值为19 811③当w?
x2?
4x?
48时，即w?
（x?
16）2?
16 88∵12≤x≤16∴当x=12时，w有最大值为18 1综上所述，当x=11时，w有最大值为19 81答：
该运动装第11周出售时，每件利润最大，最大利润为19 814.如图1所示，已知：
点A在双曲线C：
y=上，直线l1：
y=﹣x+2，直线 l2与l1关于原点成中心对称，F1，F2两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为B，P是曲线C上第一象限内异于B的一动点，过P作x轴平行线分别交l1，l2于M，N两点． 求双曲线C及直线l2的解析式；求证：
PF2﹣PF1=MN=4； 如图2所示，△PF1F2的内切圆与F1F2，PF1，PF2三边分别相切于点Q，R，S，求证：
点Q与点B重合．，B，则A、B两点间的距离公式为AB= ．） 【分析】利用点A的坐标求出a的值，根据原点对称的性质找出直线l2上两点的坐标，求出解析式； 设P，利用两点距离公式分别求出PF1、PF2、PM、PN的长，相减得出结论； 利用切线长定理得出 ，并的结论PF2﹣PF1=4得出PF2﹣PF1=QF2 ﹣QF1=4，再两点间距离公式求出F1F2的长，计算出OQ和OB的长，得出点Q与点B重合． 14.【解答】解：
解：
把A代入y=中得：
a=×=2， 11 ∴双曲线C：
y=， ∵直线l1与x轴、y轴的交点分别是、，它们关于原点的对称点分别是、，∴l2：
y=﹣x﹣2设P， F1得：
PF1=+=x﹣4x+∴PF1=， 2 22 2 2 2 ﹣+8， ∵x+﹣2=∴PF1=x+﹣2，∵PM∥x轴 =＞0， ∴PM=PE+ME=PE+EF=x+﹣2，∴PM=PF1， 同理，PF2=+=，∴PF2=x++2，PN=x++2 因此PF2=PN， ∴PF2﹣PF1=PN﹣PM=MN=4， △PF1F2的内切圆与F1F2，PF1，PF2三边分别相切于点Q，R，S， 2 2 2 2 ∴ ?
PF2﹣PF1=QF2﹣QF1=4 又∵QF2+QF1=F1F2=4，QF1=2∴QO=2， ∵B，∴OB=2=OQ， 所以，点Q与点B重合． ﹣2， 15.解；证明：
∵∠ABC=90°，∴∠EBF=90°，∵DF⊥AC，∴∠ADF=90°， ∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°，∴∠C=∠BFE， 12 在△ABC与△EBF中，， ∴△ABC≌△EBF； BD与⊙O相切，如图1，连接OB证明如下：
∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，∵∠ABC=90°，AD=CD，∴BD=CD，∴∠C=∠DBC，∵∠C=∠BFE，∴∠DBC=∠OBF，∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°，∴∠DBO=90°，∴BD与⊙O相切； 解：
如图2，连接CF，HE，∵∠CBF=90°，BC=BF，∴CF=BF， ∵DF垂直平分AC， ∴AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，∴BF=， ∵△ABC≌△EBF，∴BE=AB=1，∴EF= = ， ∵BH平分∠CBF，∴ ， ∴EH=FH， ∴△EHF是等腰直角三角形，∴HF= EF= ， ∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF，∴△BHF∽△FHG，∴ ， 2 ∴HG?
HB=HF=2+． 16.解；证明：
∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，∴ ， ∴∠ACB=∠ECF=45°， 13 ∴∠ACE=∠BCF，在△CAE和△CBF中， ， ∴△CAE∽△CBF． 解：
∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE=∠△CBF，又∵∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBF+∠CBE=90°，∴∠EBF=90°，又∵∴∴ 2 ， ，AE=2，， 2 2 ∴EF=BE+BF=∴EF=， 22 ∵CE=2EF=6，∴CE=． 如图②，连接BF，，∵ = =k， =3， ∴BC=a，AB=ka，FC=b，EF=kb，∴AC=CE=∴ = ，∠ACE=∠BCF， ，， 在△ACE和△∠BCF中， ， ∴△ACE∽△∠BCF，∴ 又∵AE=2，∴ ， ，∠CAE=∠CBF， 14 ∴BF=， ∵∠CAE=∠CBF，∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBE+∠CBF=90°，∴∠EBF=90°，∴EF2 =BE2 +BF2 =1， ∵ ， ∴=，CE=3， ∴EF=， ∴1， ∴， 解得k=±，∵= =k＞0，∴k= ． ∵∠DAB=45°，∴∠ABC=180°﹣45°=135°， 在△ABC中，根据余弦定理，可得AC2 =AB2 +BC2 ﹣2AB?
BC?
cos135°=2 = 在△ACE和△∠BCF中， ， ∴△ACE∽△∠BCF，∴ ，∠CAE=∠CBF， 又∵AE=n， 15 ∴， ∵∠CAE=∠CBF，∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBE+∠CBF=90°，∴∠EBF=90°，∴EF=BE+BF，∴ 2 2 2 2 2 ， 2 ∴m+n=p， 即m，n，p三者之间满足的等量关系是：
m+n=p 222 16
∴， ∵∠CAE=∠CBF，∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBE+∠CBF=90°，∴∠EBF=90°，∴EF=BE+BF，∴ 2 2 2 2 2 ， 2 ∴m+n=p， 即m，n，p三者之间满足的等量关系是：
m+n=p 222 16
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