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空间中地垂直关系带答案

空间中的垂直关系专题训练

知识梳理

一、线线垂直:

如果两条直线于一点或经过后相交于一点,并且交角为,则称这两条直线互相垂直.

二、线面垂直:

1.定义:

如果一条直线和一个平面相交,并且和这个

平面内的_________________,则称这条直线和这个平

面垂直.也就是说,如果一条直线垂直于一个平面,那么他就和平面内任意一条直线都.直线l和平面

α互相垂直,记作l⊥α.

2.判定定理:

如果一条直线与平面内的直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.

推论①:

如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也于这个平面.

推论②:

如果两条直线同一个平面,那么这两条直线平行.

3.点到平面的距离:

长度叫做点到平面的距离.

三、面面垂直:

1.定义:

如果两个相交平面的交线与第三个平面,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线,就称这两个平面互相垂直.平面α,β互相垂直,记作

α⊥β.

2.判定定理:

如果一个平面经过另一个平面的___________,则这两个平面互相垂直.

3.性质定理:

如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于直线垂直于另一个平面.

四、求点面距离的常用方法:

1.直接过点作面的垂线,求垂线段的长,通常要借助于某个三角形.

2.转移法:

借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.

3.体积法:

利用三棱锥的特征转换位置来求解.

 

题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质

例1.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:

(1)CD⊥AE;

(2)PD⊥平面ABE.

【变式1】已知:

正方体ABCD﹣A1B1C1D1,AA1=2,E为棱CC1的中点.

(Ⅰ)求证:

B1D1⊥AE;

(Ⅱ)求证:

AC∥平面B1DE.

【解答】(Ⅰ)连接BD,则BD∥B1D1,∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD.

∵CE⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴CE⊥BD.

又∵AC∩CE=C,∴BD⊥面ACE.∵AE⊂面ACE,∴BD⊥AE,∴B1D1⊥AE.﹣﹣﹣(5分)

(Ⅱ)证明:

取BB1的中点F,连接AF、CF、EF.∵E、F是C1C、B1B的中点,

∴CE∥B1F且CE=B1F,∴四边形B1FCE是平行四边形,∴CF∥B1E.∵正方形BB1C1C中,E、F是CC、BB的中点,∴EF∥BC且EF=BC

又∵BC∥AD且BC=AD,∴EF∥AD且EF=AD.∴四边形ADEF是平行四边形,可得AF∥ED,∵AF∩CF=C,BE∩ED=E,

∴平面ACF∥平面B1DE.又∵AC⊂平面ACF,∴AC∥面B1DE.

【变式2】如图,已知四棱锥P﹣ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,点E、G分别是CD、PC的中点,点F在PD上,且PF:

FD=2:

1.

(Ⅰ)证明:

EA⊥PB;

(Ⅱ)证明:

BG∥面AFC.

【解答】(Ⅰ)证明:

因为面ABCD为菱形,且∠ABC=60°,所以△ACD为等边三角形,

又因为E是CD的中点,所以EA⊥AB.又PA⊥平面ABCD,所以EA⊥PA.

而AB∩PA=A

所以EA⊥面PAB,所以EA⊥PB.

(Ⅱ)取PF中点M,所以PM=MF=FD.连接MG,MG∥CF,所以MG∥面AFC.

连接BM,BD,设AC∩BD=O,连接OF,

所以BM∥OF,所以BM∥面AFC.

而BM∩MG=M

所以面BGM∥面AFC,所以BG∥面AFC.

 

【变式3】如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=,AA1=2.

(1)证明:

AA1⊥BD

(2)证明:

平面A1BD∥平面CD1B1;

(3)求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积.

【解答】

(1)证明:

∵底面ABCD是正方形,∴BD⊥AC,又∵A1O⊥平面ABCD且BD⊂面ABCD,∴A1O⊥BD,又∵A1O∩AC=O,A1O⊂面A1AC,AC⊂面A1AC,

∴BD⊥面A1AC,AA1⊂面A1AC,∴AA1⊥BD.

(2)∵A1B1∥AB,AB∥CD,∴A1B1∥CD,又A1B1=CD,∴四边形A1B1CD是平行四边形,

∴A1D∥B1C,同理A1B∥CD1,∵A1B⊂平面A1BD,A1D⊂平面A1BD,CD1⊂平面CD1B1,B1C⊂平面CD1B,且A1B∩A1D=A1,CD1∩B1C=C,∴平面A1BD∥平面CD1B1.

(3)∵A1O⊥面ABCD,∴A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高,

在正方形ABCD中,AO=1.在Rt△A1OA中,AA1=2,AO=1,

∴A1O=,∴V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD•A1O=•()2•=

∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为.

【变式4】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=BC=AC=AA1=4,

点F在CC1上,且C1F=3FC,E是BC的中点.

(1)求证:

AE⊥平面BCC1B1

(2)求四棱锥A﹣B1C1FE的体积;

(3)证明:

B1E⊥AF.

【解答】

(1)∵AB=AC,E是BC的中点,

∴AE⊥BC.

在三棱柱ABC﹣A1B1C1,中,BB1∥AA1,

∴BB1⊥平面ABC,

∵AE⊂平面ABC,

∴BB1⊥AE,….(2分)

又∵BB1∩BC=B,….(3分)

BB1,BC⊂平面BB1C1C,

∴AE⊥平面BB1C1C,….(4分)

(2)由

(1)知,即AE为四棱锥A﹣B1C1FE的高,在正三角形ABC中,AE=AB=2,…

在正方形BB1C1C,中,CE=BE=2,CF=1,∴=﹣﹣S△CFE=4×=11.…(6分)

∴=•AE==…(7分)

(3)证明:

连结B1F,由

(1)得AE⊥平面BB1C1C,∵B1E⊂平面BB1C1C,∴AE⊥B1E,….(8分)在正方形BB1C1C,中,B1F==5,B1E==2,EF==,∵B1F2=B1E2+EF2,∴B1E⊥EF….(9分)

又∵AE∩EF=E,….(10分)AE,EF⊂平面AEF,∴B1E⊥平面AEF,….(11分)

∵AF⊂平面AEF,∴B1E⊥AF.….(12分)

【变式5】如图,四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,BC=PD=2,E为PC的中点,G在BC上,且CG=CB

(1)求证:

PC⊥BC;

(2)求三棱锥C﹣DEG的体积;

(3)AD边上是否存在一点M,使得PA∥平面MEG?

若存在,求AM的长;否

则,说明理由.

【解答】

(1)证明:

∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥BC.又∵ABCD是正方形,∴BC⊥CD.

又∵PD∩CD=D,∴BC⊥平面PCD.又∵PC⊂平面PCD,∴PC⊥BC.

(2)∵BC⊥平面PCD,

∴GC是三棱锥G﹣DEC的高.

∵E是PC的中点,

∴S△EDC=S△PDC==×(×2×2)=1.VC﹣DEG=VG﹣DEC=GC•S△DEC=××1=.

(3)连结AC,取AC中点O,连结EO、GO,延长GO交AD于点M,则PA∥平面MEG.

证明:

∵E为PC的中点,O是AC的中点,∴EO∥PA.又∵EO⊂平面MEG,PA⊄平面MEG,

∴PA∥平面MEG.

在正方形ABCD中,∵O是AC的中点,BC=PD=2,CG=CB.

∴△OCG≌△OAM,∴AM=CG=,∴所求AM的长为.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

 

【变式6】如图所示,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BB1⊥底面A1B1C1,A1B1⊥B1C1且A1B1=BB1=B1C1,D为AC的中点.

(Ⅰ)求证:

A1B⊥AC1

(Ⅱ)在直线CC1上是否存在一点E,使得A1E⊥平面A1BD,若存在,试确定E

点的位置;若不存在,请说明理由.

【解答】(Ⅰ)证明:

连接AB1

∵BB1⊥平面A1B1C1

∴B1C1⊥BB1

∵B1C1⊥A1B1且A1B1∩BB1=B1

∴B1C1⊥平面A1B1BA

∴A1B⊥B1C1.又∵A1B⊥AB1且AB1∩B1C1=B1

∴A1B⊥平面AB1C1∴A1B⊥AC1

(Ⅱ)存在点E在CC1的延长线上且CE=2CC1时,A1E⊥平面A1BD.设AB=a,CE=2a,∴,∴,,DE=,∴,∴A1E⊥A1D…

∵BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,∴BD⊥平面ACC1A1,又A1E⊂平面ACC1A1∴A1E⊥BD.又BD∩A1D=D,∴A1E⊥平面A1BD

 

【变式7】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,点D是AB的中点.

(1)求证:

AC⊥BC1;

(2)求证:

AC1∥平面CDB1.

【解答】证明:

(1)因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱,

所以C1C⊥平面ABC,所以C1C⊥AC.

又因为AC=3,BC=4,AB=5,

所以AC2+BC2=AB2,

所以AC⊥BC.

又C1C∩BC=C,所以AC⊥平面CC1B1B,所以AC⊥BC1.

(2)连结C1B交CB1于E,再连结DE,由已知可得E为C1B的中点,又∵D为AB的中点,∴DE为△BAC1的中位线.∴AC1∥DE。

又∵DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1.

【变式8】如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=2AC=2BC,D是AA1的中点,CD⊥B1D.

(1)证明:

CD⊥B1C1;

(2)平面CDB1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

【解答】

(1)证明:

由题设知,直三棱柱的侧面为矩形,

由D为AA1的中点,则DC=DC1,

又AA1=2AC,可得DC12+DC2=CC12,

则CD⊥DC1,

而CD⊥B1D,B1D∩DC1=D,

则CD⊥平面B1C1D,

由于B1C1⊂平面B1C1D,

故CD⊥B1C1;

(2)解:

(1)知,CD⊥B1C1,

且B1C1⊥C1C,则B1C1⊥平面ACC1A1,设V1是平面CDB1上方部分的体积,

V2是平面CDB1下方部分的体积,则V1=VB1﹣CDA1C1=SCDA1C1•B1C1=וB1C13=B1C13,

V=VABC﹣A1B1C1=AC•BC•CC1=B1C13,则V2=V﹣V1=B1C13=V1,

故这两部分体积的比为1:

1.

【变式9】如图所示,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,已知底面是边长为2的正方形,高为1,点E在B1B上,且满足B1E=2EB.

(1)求证:

D1E⊥A1C1;

(2)在棱B1C1上确定一点F,使A、E、F、D1四点共面,并求此时B1F的长;

(3)求几何体ABED1D的体积.

【解答】(Ⅰ)证明:

连结B1D1.因为四边形A1B1C1D1为正方形,

所以A1C1⊥B1D1.

在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,DD1⊥平面A1B1C1D1,

又A1C1⊂平面A1B1C1D1,所以DD1⊥A1C1.

因为DD1∩B1D1=D1,DD1⊂平面BB1D1D,B1D1⊂平面BB1D1D,所以A1C1⊥平面BB1D1D.

又D1E⊂平面BB1D1D,所以D1E⊥A1C1.…(4分)

(Ⅱ)解:

连结BC1,过E作EF∥BC1交B1C1于点F.

因为AD1∥BC1,所以AD1∥EF.

所以A、E、F、D1四点共面.即点F为满足条件的点.又因为B1E=2EB,所以B1F=2FC1,所以.…(8分)

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