专题73+临界知识问题+玩转压轴题玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品.docx

专题73+临界知识问题+玩转压轴题玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品.docx

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专题73+临界知识问题+玩转压轴题玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品

一．方法综述

对于临界知识问题，其命题大致方向为从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力，多与函数、平面向量、数列联系考查。

另外，以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，是近几年高考试卷的热点之一，常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等。

二．解题策略

类型一定义新知型临界问题

【例1】用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1,2}，B＝{x|（x2＋ax）·（x2＋ax＋2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C（S）等于（　　）

A．1B．3C．5D．7

【答案】B

【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。

对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。

但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。

【举一反三】设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：

a∧b＝，a∨b＝若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则（）

A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2

【答案】C

【解析】不妨设a≤b，c≤d，则a∨b＝b，c∧d＝c．

若b<2，则a<2，∴ab<4，与ab≥4矛盾，∴b≥2．故a∨b≥2．

若c>2，则d>2，∴c＋d>4，与c＋d≤4矛盾，∴c≤2．故c∧d≤2．

本题选择C选项．

类型二高等数学背景型临界问题

【例2】设S是实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：

①集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中真命题是________．（写出所有真命题的序号）

【答案】①②

【举一反三】【辽宁省沈阳市郊联体2018届上学期期末】定义行列式运算，将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小值为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】函数的图象向左平移n（n＞0）个单位，

所得图象对应的函数为y=2cos（x+n+），根据所得函数为偶函数，可得n+=kπ，k∈z，

则n的最小值为，故选：

D．

类型三立体几何中的临界问题

立体几何的高考题中，最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等，除此之外，还有可能涉及到与立体几何相关的临界知识，如立体几何与其他知识的交汇，面对这些问题，需要有较强的分析判断能力及思维转换能力，还需要我们对这些问题作一些分析归类，加强知识间的联系，才能让所学知识融会贯通.

【例3】【河南省南阳市一中2018届第六次考试】点为棱长是的正方体的内切球球面上的动点，点满足，则动点的轨迹的长度为__________．

【答案】

【举一反三】【江西省抚州市临川区一中2018届上学期质检】已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于、两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】

依题意，当点为线段的中点时，由题意可知，截面为四边形，从而当时，截面为四边形，当时，该截面与正方体的上底面也相交，所以截面为五边形，故线段的取值范围是，故选B．

三．强化训练

1．【上海市长宁、嘉定区2018届一模】对任意两个非零的平面向量和，定义，其中为和的夹角．若两个非零的平面向量和满足：

①；②和的夹角；③和的值都在集合中．则的值为（）．

A．B．C．D．

【答案】B

2．【北京市西城区2017—2018第一学期期末】设为空间中的一个平面，记正方体的八个顶点中到的距离为的点的个数为，的所有可能取值构成的集合为，则有（）

A．，B．，C．，D．，

【答案】D

【解析】

当为面时，A,C,,到面的距离相等，即，排除C;

取E,F,G,H为，的中点，记为时，点，六个点到面的距离相等，即，排除A,B．

故选D．

3．【湖南师大附中2018届上学期月考】狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若，则称为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数，给出下面4个命题：

①对任意，都有；②对任意，都有；③对任意，都有，；④对任意，都有．其中所有真命题的序号是（）

A．①④B．②③C．①②③D．①③④

【答案】D

（x）≥0恒成立，∴对任意a，b∈（-∞，0），都有，故④正确，故正确的命题是①③④，故选D．

4．【北京市朝阳区2018届第一学期期末】如图，为等边三角形，四边形为正方形，平面平面．若点为平面内的一个动点，且满足，则点在正方形及其内部的轨迹为（）

A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．一段圆弧D．一条线段

【答案】D

【解析】在空间中，存在过线段中点且垂直线段的平面，平面上点到两点的距离相等，记此平面为，平面与平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．故点在正方形及其内部的轨迹为一条线段，选A．

5．【湖南省株洲市2018届教学质量统一检测】已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱，分别交于三点，若为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（）

A．B．3C．D．4

【答案】C

当时取等号．故答案为．故选C．

6．【河北省衡水市阜城中学2017-2018上学期第五次月考】定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（）

A．B．C．D．

【答案】C

7．【吉林省实验中学2018届一模】在正四棱柱中,，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

建立如图所示空间直角坐标系，

则A（2,0,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,4）,

当且仅当时，PQ取最小值，选C．

8．【陕西省西安市长安区一中2017-2018上学期期末】已知正四棱柱中，，为的中点，则直线与平面的距离为（）

A．1B．C．D．2

【答案】A

9．【河南省南阳市一中2017-2018上学期第四次月考】已知各项均不为零的数列，定义向量，，．下列命题中真命题是（）

A．若总有成立，则数列是等比数列

B．若总有成立，则数列是等比数列

C．若总有成立，则数列是等差数列

D．若总有成立，则数列是等差数列

【答案】D

10．【北京市海淀区2018届第一学期期末】已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点在底面内，点在线段上，若，则长度的最小值为_____．

【答案】

【解析】由题意得，过点作平面，垂足为，

在点在线段上，分别连接,

在直角中，，

在平面内过点作，则，即到直线的最短距离为，又，当时，此时,

所以的最小值为．

11．【广西桂林市、贺州市2018届上学期期末联考】把长和宽分别为和2的长方形沿对角线折成的二面角，下列正确的命题序号是__________．

①四面体外接球的体积随的改变而改变；

②的长度随的增大而增大；

③当时，长度最长；

④当时，长度等于．

【答案】②④

12．【山西省太原十二中2018届上学期1月月考】在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，记四棱锥的外接球与三棱锥的外接球的表面积分别为，则___．

【答案】

13．【辽宁省沈阳市郊联体2017-2018上学期期末考试】对于四面体，有以下命题：

（1）若，则过向底面作垂线，垂足为底面的外心；

（2）若，，则过向底面作垂线，垂足为底面的内心；

（3）四面体的四个面中，最多有四个直角三角形；

（4）若四面体的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为．

其中正确的命题是__________．

【答案】

【解析】对于①，设点A在平面BCD内的射影是O，因为AB=AC=AD，所以OB=OC=OD，

则点A在底面BCD内的射影是△BCD的外心，故①正确；

对于②设点A在平面BCD内的射影是O，则OB是AB在平面BCD内的射影，因为AB⊥CD，根据三垂线定理的逆定理可知：

CD⊥OB同理可证BD⊥OC，所以O是△BCD的垂心，故②不正确；

对于③：

如图：

直接三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4．故③正确；

14．【湖南师范大学附属中学2018届上学期月考】如图所示，在棱长为6的正方体中，点分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为__________．

【答案】

15．【河北衡水金卷2018届高考模拟一】如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为__________．

【答案】

【解析】，平面，设，则五棱锥的体积，，得或（舍去），当时，单调递增，故，即的取值范围是，故答案为．

16．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P＝A1Q＝x（0

①l∥平面ABCD；

②l⊥AC；

③直线l与平面BCC1B1不垂直；

④当x变化时，l不是定直线．

其中不成立的结论是________．（写出所有不成立结论的序号）

【答案】④

17．【山东省济南市长清第一中学大学科技园校区2017-2018第三次阶段性质量检测】设平面平面，、，、，直线与CD交于点，且点位于平面，之间，，，，则__________．

【答案】9

【解析】根据题意做出如下图形：

∵AB，CD交于S点 

∴三点确定一平面，所以设ASC平面为n，于是有n交α于AC，交β于DB，

∵α，β平行，∴AC∥DB，∴△ASC∽△DSB，

∴=，

∵AS=8，BS=6，CS=12，∴解得SD=9．

故答案为9

18．【湖南师范大学附属中学2017-2018上学期第二次阶段性检测】对定义在区间上的函数，若存在常数，使对任意的，都有成立，则称为区间上的“阶增函数”．已知是定义在上的奇函数，且当，．若为上的“4阶增函数”，则实数的取值范围是__________．

【答案】