全国研究生数学建模E题论文一等奖文档格式.docx

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摘要

针对问题一，根据木板尺寸、木条宽度，首先确定木条根数为19根，接着，根据桌子是前后左右对称的结构，我们只以桌子的四分之一为研究对象，运用空间几何的相关知识关系，推导并建立了几何模型。

接着用MATLAB软件编程，绘制出折叠桌动态变化过程图。

然后求出折叠桌各木条相对桌面的角度、各木条长度、各木条的开槽长度等数据，相关结果见表1。

然后建立相应的三维坐标系，求出桌角各端点坐标，绘出桌角边缘线曲线图，并用MATLAB工具箱作拟合，求出桌角边缘线的函数关系式，并对拟合效果做分析（见表3）。

针对问题二，在折叠桌高度、桌面直径已知情况下，综合考虑桌子稳固性、加工方便、用材最少三个方面因素，我们运用材料力学等相关知识，对折叠桌作受力分析，确定稳固性、加工方便、用材最少三个方面因素间的相互制约关系，建立非线性优化模型。

用lingo软件编程，求出对于高70cm，桌面直径80cm的折叠桌，平板尺寸172.24cm×

80cm×

3cm、钢筋位置在桌腿上距离铰链46.13cm处、各木条的开槽长度（见表3）、最长木条（桌脚）与水平面夹角71.934°

。

针对问题三，对任意给出的桌面边缘线（f（x）），不妨假定曲线是对称的（否则，桌子的稳定性难以保证），将对称轴上n等份，依照等份点沿着木板较长方向平行的方向下料，则这些点即是铰接处到木板中垂线（相对于木板长方向）的距离。

然后修改问题二建立的优化模型，用lingo软件编程，得到最优设计加工参数（平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等）。

最后，我们根据所建立的模型，设计了一个桌面边缘线为椭圆的折叠桌，并且给出了8个动态变化过程图（见图10）和其具体设计加工参数（见表5）。

最后，对所建立的模型和求解方法的优缺点给出了客观的评价，并指出了改进的方法。

关键字：

折叠桌曲线拟合非线性优化模型受力分析

一、问题重述

1.1引言

创意平板折叠桌注重于表达木制品的优雅和设计师所想要强调的自动化与功能性。

为了增大有效使用面积。

设计师以长方形木板的宽为直径截取了一个圆形作为桌面，又将木板剩余的面积切割成了若干个长短不一的木条，每根木条的长度为平板宽到圆上一点的距离，分别用两根钢筋贯穿两侧的木条，使用者只需提起木板的两侧，便可以在重力的作用下达到自动升起的效果，相互对称的木条宛如下垂的桌布，精密的制作工艺配以质朴的木材，让这件工艺品看起来就像是工业革命时期的机器。

1.2问题的提出

围绕创意平板折叠桌的动态变化过程、设计加工参数，本文依次提出如下问题：

（1）给定长方形平板尺寸（120cm×

50cm×

3cm），每根木条宽度（2.5cm），连接桌腿木条的钢筋的位置，折叠后桌子的高度（53cm）。

要求建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，并在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。

（2）折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。

对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。

对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。

（3）给出软件设计的数学模型，可以根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状，并根据所建立的模型给出几个设计的创意平板折叠桌。

要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

一、模型假设

（1）忽略实际加工误差对设计的影响；

（2）木条与圆桌面之间的交接处缝隙较小，可忽略；

（3）钢筋强度足够大，不弯曲；

（4）假设地面平整。

三、符号说明

符号

意义

D?

?

LWNT?

HRR?

木条宽度（cm）

缝宽木板长度（cm）木板宽度（cm）第n根木条木条根数

木板从外起第1个木条的长度（cm）木板从外起第n个木条的长度（cm）

桌子高度（cm）桌子半径（cm）桌子直径（cm）桌子厚度（cm）

第n根木条到木板边沿的距离（cm）第n根木条顶点位置到圆面轴线径向距离（cm）

第n根木条与水平面的夹角（度）第n根木条开槽长度（cm）

四、问题分析

4.1问题一分析

题目要求建立模型描述折叠桌的动态变化图，由于在折叠时用力大小的不同，我们不能描述在某一时刻折叠桌的具体形态，但我们可以用每根木条的角度变化来描述折叠桌的动态变化。

首先，我们知道折叠桌前后左右对称，我们可以运用几何知识求出四分之一木条的角度变化。

最后，根据初始时刻和最终形态两种状态求出桌腿木条开槽的长度。

篇二：

2015年全国研究生数学建模比赛E题解答

参赛密码

（由组委会填写）

第十二届“中关村青联杯”全国研究生

数学建模竞赛

参赛队号

队员姓名

题目数控加工刀具运动的优化控制

摘要：

本文基于计算机数控系统的工作原理，建立了刀具运动的优化控制模型，目的在于寻求机床刀具在单个坐标轴方向上的运动合理控制，从而增强机床运行的平稳性。

主要运用了S型曲线的加减速控制方法，建立了通用模型，该模型可通过已经设定的刀具加工路径，得出机床运动过程中任意一点的速度，从而验证所设定的符合加减速控制原理，得到最优的数控加工刀具的路径。

在该通用模型中，机床控制的加速度和速度都是连续变化的，因此通过渐变控制使机床运动按S型曲线式平稳变化，保证了速度的光顺及加速度的连续，提高了机床运动的平稳性，运用该模型，可以帮助寻找最优刀具路径，从而实现数控刀具加工的优化。

论文中主要采用了力学分析建模、直线插补法建模和最优化方法建模。

在直线插补模型中，不论运行轨迹是直线还是曲线，刀具的运行都是按阶梯形路径行走，用步长乘以步数即可求得刀具的运行长度。

并且每一步长的增量均为分辨率?

x,?

y,?

z，并且每个增量的长度均为分辨率的整数倍。

根据此原理，采用直线插补法，建模可画出刀具沿轨迹的路径变化，在模型中输入刀具起点坐标和终点坐标即可求得刀具沿路径运行的长度。

对于问题一：

根据问题二的相关提示，我们设定加工线型分别为正方形和八边形即转角分别为90°

和135°

，然后根据S型曲线的减加速控制方法，建立了力学分析模型，再运用牛顿第二定理和受力分析可得出速度变化特征。

分别对刀

具在拐角为90°

处进行受力分析得到结果：

转角为90°

时的合力

1.414F2>

0.765F2（135°

转角处的合力），所以当刀具经过90°

转角时，速度变化大于135°

转角的速度。

对于问题二：

由于问题一建立的模型是根据问题二设定的，再加上附录的提示，问题一所建立的通用模型可直接套用在问题二上，所以我们依据题目要求和模型特点，讨论了圆弧半径的变化对算法效率的影响，继而用该通用模型和已知路径各点间的路程（运动距离）S，计算出对应的速度V，然后与表格中的已知速度V’进行核对，从而检验了所给的加工路径，V’越接近V，则路径越符合加减速数控机床的运动平稳。

通过讨论，我们得到结论：

在1点到11点的运动路径下，半径的变化范围是r∈[0,L]。

当半径r越大，则S越小，所运用的计算情况2

越简单，计算时间越短，计算效率越高；

当半径r越小，则S越大，所运用的计算情况越复杂，计算时间越长，计算效率越低。

对于问题三：

我们在模型二的基础上考虑了瞬时启动加速度及瞬时启动速度，所以在模型中加入了瞬时启动加速度运动段，丰富了模型的通用性之后，依照问题二的检验步骤，检验了加工路径示例。

此情况下，节点1以瞬时起始速度0.13m/min运动至2.3192×

10?

3cm时提高到0.19m/min,然后保持0.19m/min的速度匀速运行到节点2，然后从节点2以速度0.19m/min运行到0.27881cm处速度加至1.26m/min，然后保持1.26m/min的速度一直运行到节点5。

从节点5至节点11的运动轨迹及速度与前半段路径对称。

对于问题四：

在问题一、问题二、问题三的基础上，我们去掉了S型加减速控制方法阶段中的第二阶段（匀加速阶段）和第六阶段（匀减速阶段），满足精度和速度的要求，建立了模型，并大量搜取相关计算机数控加工同的文献，讨论了该模型对提高机床运行平稳性的优缺点。

讨论优点结果为S曲线加减速可以克服直线加减速方法的缺点，保证了加速度和速度的连续，满足了系统的稳定性和加减速的要求。

缺点有三，首先使用S型加减速方法时速度的变化相当快，但由于存在加速度突变从而产生冲击，因此不适用于高速数控系统；

其次对于传统普通的S型曲线加减速法，其通过对加速阶段及减速阶段进行平滑处理来减少机床的冲击，然而其加减速阶段存在突变以及加加速并不连续，从而使机床柔性受到限制；

最后，由于其参数比较多，计算相对复杂，不能满足高性能数控实时性的要求。

关键词：

直线插补法最优化模型S型曲线加减速数控加工

1.问题重述

1.1问题背景

近年来，随着计算机技术的发展，数字控制技术已经广泛应用于工业控制的各个领域，尤其是机械制造业中，普通机械正逐渐被高效率、高精度、高自动化的数控机械所代替。

这种高速高效高精度的技术即被称为数控加工技术，高速加工要求机床各运动轴都能够在极短的时间内达到高速运行状态并实现高速准停，研究开发数控加工刀具运动满足高速、高精度要求的、有效柔性加减速控制方法，已成为现代高性能数控系统研究的重点。

在本文中，我们考虑加工刀具在数控机床所提供的精度、速度、加速度等限制条件下，对机床刀具在各坐标轴方向上的运动进行建模并合理控制，进而优化其加工效率。

1.1.1计算机数控系统工作原理及难点：

原理为首先通过计算机组成的数控编程系统对读入的零件信息进行存储和译码等处理后通过输入装置将它们传输给加工控制系统，然后由数控系统对输入的指令进行信息处理和轨迹插补计算出数控机床各坐标轴方向上刀具运动的控制信息，进而通过机床驱动以及机床运动将刀具在各坐标轴方向上的运动合成为刀具实际加工轨迹和速度控制，加工出所需的工件。

难点之一为数控机床加工刀具在三个坐标轴方向的运动实行分别控制，导致加工刀具的运动轨迹与工件几何形状之间存在误差；

第二为每一直线段对应的坐标增量长度必须为分辨率的整数倍，从而导致加工刀具运动方向受限制，并影响加工刀具在三个坐标轴方向上的速度、加速度；

第三机床需运动平稳、速度光滑、加速度连续。

1.2问题提出

本文需解决的问题：

问题一：

设加工型线为折线，建立模型分析讨论刀具通过指定折点时的速度变化。

问题二：

设加工型线是由直线段和圆弧段（相切或不相切）组成的连续曲线，在不考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度的情况下讨论圆弧半径的变化对算法效率的影响，并应用所建立的模型指定加工路径示例进行检验。

问题三：

在问题二的基础上，在考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度的情况下讨论圆弧半径的变化对算法效率的影响，并应用所建立的模型指定加工路径示例进行检验。

问题四：

结合前3问，分析S型曲线的加减速控制方法的优缺点，在满足精度和速度要求的条件下，建立能提高机床运行平稳性的优化控制运动模型。

2.模型的假设

假设1：

不考虑五轴控制，假设数控机床对加工刀具在三个坐标轴方向运动，对此三轴实行分别控制，且它们之间相互协调；

假设2：

假设在S型曲线运动过程中，速度V不大于机床最大速度Vmax，加速度a不大于机床最大加速度amax，加加速度为常量Jconst。

假设3：

假设在此S型速度控制曲线中加速度每次都是从0增加，最后又降

为0。

假设4：

假设不考虑刀具尺寸大小及刀具磨损，加工刀具抽象为一点。

假设5：

加工刀具行走的路线是一系列首尾相接的直线段,机床运动平稳，速度光滑、加速度连续等。

3.符号说明

4.问题分析

数控技术作为先进制造技术（如柔性制造技术，计算机集成制造系统）的基础，国家投入了大量的人力、财力进行公关开发，其关键技术已取得了重大进展，实现了多坐标联动，攻克了交流全数字伺服和主轴驱动技术，“九五”期间实现了数控机床产业攻关目标。

几何造型和道具运动轨迹是实施数控加工的两大关键技术，其中零件数控加工准确性只有在合理的刀具轨迹的前提下才能予以保证。

刀具轨迹的生成是复杂零件数控加工中重要的内容之一，刀具轨迹规划是否合理不仅直接关系到切削效率、加工质量及加工成本，而且还影响机床的动力性能及刀具的使用寿命。

此题研究的是数控加工刀具运动的优化控制问题，数控加工对单个坐标运动的控制方法有多种，其中，从数控系统的控制角度看，要实现高速度加工，必须采用加减速控制。

为了在运动的开始和结束时，系统自动进行加减速，以保证平稳启动和停止，并且在速度变化时也能自动的加减速，使进给速度平稳变化数控机床进给传统系统设计应尽量采用S型加减速。

本题在数控系统保证加工精度的条件下，使用加减速控制技术对加工路径段间加减速过程进行控制，即选用基于S型曲线的加减速控制方法，将加减速过程分为7个阶段：

加加速、匀加速、减加速、匀加速、加减速、匀减速，减减速七个阶段，在启动时间加速度逐渐增大，当达到最大加速度时，以匀加速运动，在到达额定速度之前，加速度逐渐减小。

并且每个阶段时间的变化规律已给出，提高进给速度，减小速度跳变，提高加工效率。

针对问题一：

加工型线为折线，结合问题二我们首先分析刀具路线为与题二相似的正方形，在正方形直角处画出一条与正方形相邻竖边和横边内夹角为135?

的斜线，刀具沿着此路径展开S型曲线加减速变化，在直角点和135?

点

篇三：

2015年数学建模B题全国一等奖论文

基于供求匹配率的出租车资源配置模型

为分析不同时空出租车资源的供求匹配程度，引入出租车资源供求匹配率这一指标，指标的定义为城市中实际运行的出租车辆数与居民出行需要的出租车辆数之比，反映城市中实际运行的出租车辆数与居民出行需要的出租车辆数之间的差异。

计算得出成都2013年出租车供求匹配率为0.7766，表示供不应求。

居民出行需要的出租车辆数与居民人均日出行次数、城市总人口数量、居民出行选择乘坐出租车的比例有关，也与每辆出租车日均载客次数、每单载客人数和车辆满载率有关。

对于居民人均日出行次数，利用十五个国内大中城市的数据，将十二个城市经济指标聚类分析选出每类指标中典型的经济指标，建立居民人均日出行次数与这些典型经济指标间的多元线性回归方程，而与居民出行需要的出租车辆数相关的其他指标可查阅文献或年鉴获得。

分析成都市每天6:

00-8:

30，11:

00-12:

30,13:

30-14:

30,17:

00-18:

30四个时间段得供求匹配率分别为0.4111，0.5678,0.6062,0.5631，结果显示供不应求。

得到大连、北京、广州、武汉、南京、成都、杭州、深圳八座城市的出租车资源供求匹配率分别为1.0936、0.8827、0.9430、0.7040、0.7049、0.7666、0.6583、0.5252，表明只有大连的出租车资源是供大于求，而其余七座城市为供小于求。

为了分析各公司的出租车补贴方案对缓解打车难是否有帮助，定性分析出租车日均载客次数、出租车满载率随打车软件对出租车司机每单补贴金额的变化趋势，分别建立阻滞增长模型，进而分析打车软件对出租车司机每单补贴金额的变化对所建指标的影响。

得到的结论为：

对于使用打车软件的乘客来说，出租车补贴方案能够缓解打车难的问题；

而对于不使用打车软件的乘客来说，出租车补贴方案则不能缓解打车难的问题。

针对打车软件服务平台的最优补贴问题，综合考虑乘客、出租车司机和打车软件公司三方的满意度，利用熵值法确定这三方各自满意度的权重，将三方满意度加权之和作为综合满意度，进而以综合满意度为目标函数，以打车软件对出租车司机每单补贴金额为控制变量，以补贴金额设置的范围为约束条件建立优化模型。

遍历所有可能的方案得到最优补贴方案为对出租车司机每单补贴9元,综合满意度为0.5710。

聚类分析；

回归分析；

灰色预测；

阻滞增长模型；

熵值法；

最优化

随着经济的发展，近年来，人们对出行的要求不断提高，城市出租车以其方便、快捷、舒适和私密性的特点成为越来越多人的出行选择。

但是，国内各大城市交通问题日趋严重，“打车难”也是人们关注的一个社会热点问题。

数据显示，包括上海、杭州等众多大城市，出租车非高峰期的空驶率始终在30%上下徘徊，而高峰期却打不到车。

这与众多市民反映的打车难背后所隐藏的强烈需求看似形成了一个矛盾。

究其原因，最主要的莫过于司机与乘客需求信息不对称，缺乏及时沟通交流的平台。

随着“互联网+”时代的到来，有多家公司依托移动互联网建立了打车软件服务平台，实现了乘客与出租车司机之间的信息互通，同时推出了多种出租车的补贴方案，吸引了越来越多的司机和乘客使用打车软件。

然而，打车软件同时也导致出租车行业乱象丛生，存在马路扬招成功率降低、乘客怕司机接到大单拒载、司机分心忙于抢单影响行车安全等问题。

请你们搜集相关数据，建立数学模型研究如下问题：

试建立合理的指标，并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度。

分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助？

如果要创建一个新的打车软件服务平台，你们将设计什么样的补贴方

案，并论证其合理性。

二、问题分析

“打车难”是人们关注的一个社会热点问题。

但是，在北京也不是无论何时何地都难打到车。

打车难往往出现在特殊时间和地点：

上班高峰的住宅区，下班高峰的商务区，凌晨和深夜的郊区或偏僻地点，遇到雨雪天气?

“互联网+”时代的出租车资源配置是一个十分复杂的社会问题。

要想准确得出合理的资源配置方案难以实现，同时也难以准确收集大量出租车的各项数据如出租车的每天跑单数，收费，拒载情况等，以及不同城市不同城区不同时间居民的出行行为特征数据。

为了建立合理的指标，分析不同时空出租车资源的供求匹配程度，首先从城市居民出行对出租车的需求量入手，分析与需求量有关的主要指标，如城市居民出行量。

为分析城市居民出行量与城市经济指标的相关性，先将这些指标进行聚类分析，继而得出每类最具代表性的经济指标，再将最具代表性的经济指标与居民出行总量进行回归分析，得到多元线性回归模型，从而预测居民的出行总量。

通过查阅文献可以确定居民出行选择出租车作为出行方式的比例从而，计算得出城市的出租车运输量的需求量。

然后根据供需平衡法预测出城市出租车需求量。

将城市实际出租车数量与城市出租车需求数量作比，得到衡量出租车资源的供求匹配程度的指标即供求匹配率。

对未来城市的出租需求量进行灰色关联预测，得到未来城市的出租需求量，通过计算不同城市的出租车需求量，进行不同时空的出租车资源供求匹配的分析。

对于各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助问题，由于难以得到各公司不同时间的补贴方案对居民打车难度的实际影响效果数据，我们从公司对每单的补贴金额入手，分析每单补贴金额范围为0～15元，认为补贴金额再高对公司利益有较大损失。

司机的每日跑单数为平均每台出租车每天接单数，有效载客率等效为里程利用率。

以每单补贴金额为自变量，司机的每日跑单数和有效载客率为因变量，建立阻滞增长模型，基于前面的供求匹配率关系式算出不同每单补贴金额对应的供求匹配率这一指标。

为一个新的打车软件服务平台设计合理的补贴方案，我们基于已建立的模型计算出租车单车日均载客次数、有效载客率与打车软件平台对每单补贴金额的关系式。

综合考虑每单补贴金额对出租车司机、乘客、打车软件平台三方各自的满意度，利用熵值法求出三方满意度的权重，继而将三方的标准化数据乘以权重得出综合满意度，比较得出最优的补贴方案。

三、模型假设

1．假设城市中的黑车现象对居民出行没有造成影响；

2．假设所研究的城市没有发生严重的自然灾害和社会动荡；

3．假设所研究的城市政府对出租车行业的政策基本不变；

4．假设司机和乘客都是为自身利益考虑，即经济人假设；

5．假设参考文献中的数据来源可靠，真实可信。

四、符号说明

符号含义，单位

P出租车供求匹配率

M市民出行需要的出租车辆数，辆

N城市实际运行的出租车辆数，辆

Y市民日均出行次数，次/日

W城市总人口数量，人

η市民选择打车出行的比例

s出租车单车日均载客次数，次/车日

λ出租车单车日均每次载客人数，人/车次

μ出租车满载率

vi城市的第i个经济指标

RPearson相关系数

w打车软件每单对司机的补贴钱数，元

x每辆出租车每天接单的数量，单

y出租车每天的满载率

五、模型建立与求解

5.1建模前的准备

由参考文献[2]可得到现有指标体系见表1。

5.2问题一：

建立评价出租车资源供求匹配程度的指标

为评价出租车资源的“供求匹配”程度，引入出租车资源的供求匹配率这一指标，指标的定义为城市中实际运行的出租车辆数与市民出行需要的出租车辆数之比，即

NP?

（1）M

其中，引入P表示出租车资源的供求匹配率，M表示市民出行需要的出租车辆数，N表示城市中实际运行的出租车辆数。

市民出行需要的出租车辆M的意义是指这些出租车辆能够恰好满足市民打车出行的需求，即城市出租车资源供求平衡时的车辆数。

供求匹配率P反映了城市中实际运行的出租车辆数与市民出行需要的出租车辆数之间的差异。

供求匹配率P＝1为出租车资源供求平衡状态，供求匹配率P越接近1，则说明城市出租车资源供求匹配程度越高，出租车数量配置越合理；

当供求匹配率P大于1时，表明城市中现有的出租车数量超过市民出行需要的数量，会增加出租车的空驶率，造成出租车司机的收益降低；

当供求匹配率P小于1时，表明城市中现有的出租车数量少于市民出行需要的数量，需要增加出租车的数量来缓解打车难的情况。

5.2.1建立市民出行需要的出租车辆数M的预测模型

市民出行需要的出租车辆数M与市民人均日出行次数、城市总人口数量、市民出行选择乘坐出租车的比例有关，也与每辆出租车日均载客次数、每单载客人数和车辆满载率有关，具体关系式为：

市民出行需要出租车辆数=市民人均日出行次数?

城市总人口?

打车出行的比例日均每车载客次数?

日均每车每次载客人数?

车辆满载率符号表达式为：

Y?

W?

（2）s?

其中，M表示市民