高中三角函数常见题型与解法.docx
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高中三角函数常见题型与解法
三角函数的题型和方法
一、思想方法
1、三角函数恒等变形的基本策略。
(1)常值代换:
特别是用“1”的代换,如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
(2)项的分拆与角的配凑。
如分拆项:
sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角:
α=(α+
β)-β,β=-等。
22
(3)降次与升次。
即倍角公式降次与半角公式升次。
(4)化弦(切)法。
将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切)。
(5)引入协助角。
asinθ+bcosθ=a2b2sin(θ+),这里协助角所在象限由a、b的符号确立,角的值由tan=b确立。
a
(6)全能代换法。
巧用全能公式可将三角函数化成tan的有理式。
2
2、证明三角等式的思路和方法。
(1)思路:
利用三角公式进行假名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。
(2)证明方法:
综合法、剖析法、比较法、代换法、相消法、数学概括法。
3、证明三角不等式的方法:
比较法、配方法、反证法、剖析法,利用函数的单一性,利用正、余弦
函数的有界性,利用单位圆三角函数线及鉴别法等。
4、解答三角高考题的策略。
(1)发现差别:
察看角、函数运算间的差别,即进行所谓的“差别剖析”。
(2)找寻联系:
运用有关公式,找出差别之间的内在联系。
(3)合理转变:
选择适合的公式,促进差别的转变。
二、注意事项
对于三角函数进行恒等变形,是三角知识的综合应用,其题目种类多样,变化仿佛复杂,办理这种问
题,注意以下几个方面:
1、三角函数式化简的目标:
项数尽可能少,三角函数名称尽可能少,角尽可能小和少,次数尽可能
低,分母尽可能不含三角式,尽可能不带根号,能求出值的求出值。
2、三角变换的一般思想与常用方法。
注意角的关系的研究,既注意到和、差、倍、半的相对性,如
1
()()22.也要注意题目中所给的各角之间的关系。
22
注意函数关系,尽量异名化同名、异角化同角,如切割化弦,互余互化,常数代换等。
熟习常数“1”的各样三角代换:
1sin2cos2sec2tan2cossecsincos0tan2sin等。
246
注意全能公式的利害:
它可将各三角函数都化为tan的代数式,把三角式转变为代数式.但常常代
2
数运算比较繁。
熟习公式的各样变形及公式的范围,如
sinα=tanα·cosα,1cos2cos2,1costan等。
2sin2
利用倍角公式或半角公式,可对三角式中某些项进行起落幂办理,如1cos2sin2,
2
22
1sinsincos,1sinsincos等.从右到左为升幂,这种变形有益用根式的化
2222
简或通分、约分;从左到右是降幂,有益于加、减运算或积和(差)互化。
3、几个重要的三角变换:
sinαcosα可凑倍角公式;
1±cosα可用升次公式;
1±sinα可化为1
cos
2
,再用升次公式;
asinbcos
a2
b2
sin
(此中tan
b)这一公式应用宽泛,娴熟掌握。
a
4、单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示,四种三角函数
y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=
cotx的图像都是“平移”单位圆中的三角函数线获得的,所以应娴熟掌握三角函数线并能应用它解决一些
有关问题.
5、三角函数的图像的掌握表此刻:
掌握图像的主要特色(极点、零点、中心、对称轴、单一性、渐
近线等);应该娴熟掌握用“五点法”作图的基来源理以及迅速、正确地作图。
6、三角函数的奇偶性结论:
①函数
+φ是奇函数
k
k
Z
。
y=sin(x)
②函数y=sin(x+φ)是偶函数
k
2
k
Z
。
③函数y=cos(x+φ)是奇函数
k
2
k
Z
。
④函数y=cos(x+φ)是偶函数
k
kZ
。
7、三角函数的单一性
三、典型例题与方法
题型一三角函数的观点及同角关系式
此类题主要观察三角函数引诱公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必需的分类议论以及三角函
数值符号的正确选用。
1、三角函数的六边形法例。
2、几个常用关系式:
(1)
,三式知一求二。
2
(2)1
sin
1sin
。
2
(3)当x0,时,有sinxxtanx。
2
3、引诱公式(奇变偶不变,符号看象限)。
4、
。
5、熟记关系式
sin
x
cos
x
cosx
;cosx
sin
x
。
4
4
4
4
4
【例1】记cos(
80)
k,那么tan100
(
)
A、
1
k2
B、﹣
1
k2
C、
k
k
k
k
k2
D、﹣
1
1k2
解:
sin80o
1
cos280o
1
cos2(
80o)
1k2
tan100
tan80
osin80o
1
k2
.。
应选B
cos80o
k
评注:
本小题主要观察引诱公式、同角三角函数关系式,并突出了弦切互化这一转变思想的应用。
同时娴熟掌握三角函数在各象限的符号。
【例2】cos300
(
)
A、
3
1
1
3
B、-
C、
D、
2
2
2
2
解:
cos300
cos36060
cos60
1
2
评注:
本小题主要观察引诱公式、特别三角函数值等三角函数知识。
练习:
1、sin585°的值为()
2
B、
2
3
3
A、
C、
2
D、
2
2
2
2、以下关系式中正确的选项是()
A、sin110cos100sin1680B、sin1680sin110cos100
C、sin110sin1680cos100D、sin1680cos100sin110
3、若sin
4
0,则cos
.
tan
5
1
4、“
2k(k
Z)”是“cos2
”的()
6
2
A、充足而不用要条件
B、必需而不充足条件
C、充足必需条件
D、既不充足也不用要条件
5、若cos
2sin
5,则tan
(
)
A、1
B、2
C、
1
D、2
2
2
题型二化简求值
这种题主要观察三角函数的变换。
解此类题应依据考题的特色灵巧地正用、逆用,变形运用和、差、倍角公式和引诱公式,进行化简、求值。
【例3】已知
为第三象限的角,
cos2
3
2)
。
则tan(
5
4
解:
为第三象限的角
2k
<<
3
2k
2
4k
2
<2
<4k
3
(K
Z)
又cos2
3
<0,
sin2
4
5
5
tan2
sin2
4
cos2
3
tan
tan2
1
4
1
tan(
2
)
4
3
4
.
4
1
tan
tan2
1
7
4
3
评注:
此题主要观察了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵巧运用。
是一道综合性较强的题目。
【例4】已知tan
2
,求
(1)cos
sin
;
(2)sin2
sin.cos2cos2
的值。
sin
cos
sin
cos
sin
1
1
tan
1
2
cos
32
2;
解:
(1)
sin
sin
1
tan
1
2
cos
1
cos
2
2
sin2
sin
cos2cos2
(2)sin
sin
cos
2cos
sin2
cos2
sin2
sin
2
2
22
4
2
cos2
cos
sin2
1
2
1
3
cos2
评注:
利用齐次式的结构特色(假如不具备,经过结构的方法获得),进行弦、切互化,就会使解题过程
简化。
练习:
1、已知tan
2,则sin2
sincos
2cos2
4
5
3
4
A、
B、
C、
D、
3
4
4
5
2、函数f(x)
sinxcosx最小值是(
)
A、-1
1
C、
1
D、1
B、
2
2
3、“sin
1”是“cos2
1”的(
)
2
2
A、充足而不用要条件
B、必需而不充足条件
C、充要条件
D、既不充足也不用要条件
题型三
函数
的图像及其性质