科大校内数学建模论文A题Word文档下载推荐.docx
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不同学年的不同课程号的成绩可能是全校内选择该课程的学生的成绩（总体），也可能是只选取了部分选择该课程的班级学生的考试成绩（一个样本），在此文中一致认定为是选取的全校选择该课程的学生总体的考试成绩。
假设五：
不同课程之间是相互独立的，即不同科目的考试成绩是独立的；
不同课程的学习难易程度对不同班级的学生差别不明显。
3、符号说明
N（μ,σ^2）:
表示样本数据服从均值为μ，方差为σ^2的正态分布；
H:
方差已知时，正态总体均值的假设检验的返回值；
P：
假设检验的P值；
CI：
显著性水平α=0.05时，对应的置信区间；
H0：
假设检验的原假设；
H1：
备择假设；
μi：
选取的不同课程的考试成绩的均值；
S:
样本的标准差；
：
总体的方差；
n:
样本数量；
:
选取的独立样本变量；
经过模型转换后学生的考试成绩；
学生的课程学分绩点；
教师同时教多门课程时的评价指标；
不同课程的权重；
不同课程对应的学分；
学生在某课程下经过标准分绩点转换后的该课程的考试成绩；
i=课程号182,184,194,197，...；
j=1,2,……,n；
4、问题的分析与模型的建立
4.1针对同一学年的同一门课程，分析不同学院、不同班级和不同教师之间的差异
首先在这里，我确定选取了2010——2011学年的课程号为182的科目成绩进行分析，可以认为大量的学生成绩近似服从了正态分布模型，所以我先求出了182号课程样本总体的均值和方差；
然后分析了不同学院、不同班级的考试成绩的均值和方差；
最后分析了同一个老师不同班级和不同老师之间的考试成绩的均值和方差。
因为附件1给的重要的数据只有学生的考试成绩，所以我把比较不同班级的考试成绩的均值和方差作为评估指标是合适的，并且满足假设后的题目要求，可以分析出各班的成绩差异和老师的教学质量的差异。
4.2针对同一学年的成绩数据，分析不同学院、不同班级和不同课程之间是否具有可比性。
在此文中，我仍然选取的是2010——2011学年的课程号为182,184,194,197来进行分析。
这时我选择标准分绩点转换法。
4.2.1参数模型估计
因为选择上述课程的学生数量较多，仍认为每个科目的考试成绩近似服从正态分布模型，在不同班级之间认为学生对不同科目的学习理解能力大致也服从一个正态分布，那么不同课程之间考试成绩的方差在一个很小的范围区间变动，近似认为相等，来比较方差未知但认为相等时，2个课程成绩正态分布的样本均值，以判断不同课程是否具有可比性。
4.2.2非参数模型估计
经过偏斜度和峰度的计算验证，有的课程成绩并不满足近似服从正态分布的拟合检验。
那么此时可以不再用参数估计模型来比较不同课程；
可以用秩和检验来验证2个总体的差异是否明显。
4.2.3标准分绩点转换法
学生成绩分布不是正态分布，我们通过课程总体的μ，σ将班级考试成绩转换成正态分布型，称为标准分绩点转换。
标准分的转换计算公式：
；
（*）
由数理统计理论可知，原来不是正态分布的学生科目的考试成绩，经过上式的转换后学生的标准分的均值为0，方差为1，服从标准正态分布N（0,1）。
转换后的学生标准分不改变原来的排名位置，但其中心同一致性的移向同一水平，使得比较同一门课程多位教师授课的教学质量和不同课程之间的标准分具有一定的可比性。
4.3建立合适的数学模型，对教师的教学质量做出合理的评价。
因为附件1只给出了学生在不同课程的考试成绩，那么就只能建立以学生成绩是否优异为评价指标的模型。
现在高校里通用的学分绩点制，来考察学生的综合学习成绩，本文给出了标准分型的课程绩点表示法，来重新统计分析学生的考试成绩分布情况，比较同一门课程多位教师授课的教学质量。
5、模型的分析与求解
5.1问题1的分析求解
5.1.1针对2010-2011学年的182号课程，不同学院不同班级的成绩
图5-12010——2011学年182号课程的不同班级的平均成绩
图5-2182号课程1——234班方差排序描点绘图
表5-12010-2011学年课程号182，不同学院、班级的成绩数据
2010-2011学年课程号182的同一门课，不同学院教师班级的成绩数据
班级号
人数
平均分
方差
标准差
教师编号
1
34
71.7941
249.4412
15.7937
48
2
32
71.4375
319.8024
17.883
3
31
75.3226
386.8258
19.6679
4
36
68.1667
510.3143
22.5901
21
33
78.4545
108.3807
10.4106
42
22
73.875
201.4032
14.1917
23
78.1875
141.0605
11.8769
24
73.4706
306.7415
17.514
41
73.0625
168.3831
12.9763
69
68.9118
349.7193
18.7008
29
43
73
159.0968
12.6134
44
70.6061
196.7462
14.0266
45
69.6129
168.1118
12.9658
46
35
75.9143
152.6101
12.3535
47
64.5938
246.7651
15.7088
75.3333
218.7292
14.7895
111
75.6389
233.4373
15.2787
51
112
76.4545
118.1307
10.8688
25
151
72.1471
317.5838
17.8209
152
37
68.4595
306.4575
17.5065
171
59.5833
320.7643
17.9099
172
55.3333
458.2292
21.4063
181
77.6061
321.7462
17.9373
182
80.6667
349.6667
18.6994
231
75.6667
234.8
15.3232
65
232
70.7647
162.3066
12.74
233
72.8333
237.2286
15.4022
234
75.2778
154.3778
12.4249
运用数理统计知识，求出182号课程总体的均值
=
=72.7875,
=16.4773,
^2=271.50;
从图5-1和图5-2可以看出，大部分班级的成绩平均值在围绕总体均值μ0上下浮动，变化不太大，而有几个班的成绩波动较大。
由于班级人数都大于30，所以应用相关统计理论进行假设检验：
原假设H0:
抽检的班级的均分μ=
;
备择假设H1：
抽检的班级的均分μ≠
标准差σ已知,拒绝域为
取
n为每个班级检验时的人数，表格中已列出；
，则检验统计量
（平均分≥总体均值的班级不必再检验，这里只给出低于70分的）
表5-2部分较低均分的班级的假设检验结果
均值低于70的班级均值的假设检验（α=0.05）
H值
P概率值
置信区间
0.0924
62.78
73.55
0.1702
63.37
74.45
0.0049
58.89
70.3
0.1101
63.15
73.77
≈0
54.2
64.97
49.71
60.96
那么当H=0时，接受原假设，即认为抽查到的班级的成绩均值与总体是相等的，达到了平均水平；
当H=1时，拒绝原假设，即认为抽查到的班级的成绩平均与总体不等，没达到平均水平。
结论1：
如班级号47,171,172班的平均分与总体均值存在差异较大,并且方差波动很大，因此不能认为上述班级的考试成绩达到了课程总体的平均水平。
5.1.2针对2010-2011学年的182号课程，不同教师情况下各班的成绩
检验原理与5.1.1所述相同，原假设与备择假设，检验统计量等都参见上文。
表5-3不同教师所教班级的正态均值假设检验
班级编号
P值
原假设结论
备注
学院编号
1--4
0.3859
68.7492
74.3485
接受
A
21--24
0.0267
73.1562
78.798
拒绝
高于均值分数
B
231--234
0.5204
70.9666
76.3855
C
171--182
0.00095
65.3249
70.8825
低于均值分数
D
41、44、45、47
0.023
66.6228
72.3304
E
42、43、46、48
0.7195
70.5093
76.0877
F
112、151、152
0.717
69.0359
75.3679
G
0.3595
69.9623
80.5782
H
同理当H=0时，接受原假设，即认为抽查到的教师所教的班级成绩均值与总体是相等的，达到了平均水平；
当H=1时，拒绝原假设，即认为抽查到的教师所教的班级成绩平均与总体不等，高于或低于总体评均水平。
结论2：
结论3：
5.2问题2（是否有可比性）的分析求解
5.2.1不同课程总体的参数模型法
认为所选取的课程182,184,194,197成绩之间相互独立，分别是近似的正态分布，学生考试成绩的方差认为相等，都是σ^2，那么原假设H0:
μ1=μ2=μ3=μ4；
μ1,μ2,μ3,μ4两两不全相等
统计量选择
；
其中
显著性水平α=0.05。
用软件的检验如下，
表5-4不同课程正态总体的样本均值检验
课程号
182、184
0.6936
182、194
182、197
184、194
184、197
194、197
当H=0时，可接受原假设；
当H=1时，拒绝原假设；
结论4：
在不同班级学生对不同课程的学习能力认为均等，且考试成绩总体的方差近似相同的假设下，不同学院的班级在不同课程整体上的考试成绩均值不相同，即不具有可比性，这与人的常识是一致的。
（182与184第一次的检验因为它们人数相差众多，不具有参考价值）
5.2.2不同课程总体的非参数模型法
当所选课程成绩并不满足较为严格的服从正态分布的拟合检验。
表5-5所选的4个课程的正态分布的拟合情况
正态分布拟合程度指标
学生数
偏斜度
峰度
1068
-0.9923
3.7646
正态分布偏斜度为0
184
2879
-1.0615
4.2366
194
-0.4856
2.555
197
2850
-0.9281
3.9385
表5-6所选的4个课程的秩和检验
秩和检验
样本数
备注：
p值很小近似为0
全部学生成绩
0.2943
当P≈0，H=1时，两个总体差别显著，分布的不一致很明显。
结论5：
六组秩和检验后的结果对比，虽然182与184号课程的成绩分布有一定的相似性，但因为选择该科的总班级数和学生人数差别很大，所以不具有参考价值，最后结论认为4个课程的不同班级考试成绩没有可比性。
5.2.3使用标准分绩点转换法
经查阅后发现，存在一名教师在不同学院班级教授多门课程的现象，经过标准分绩点向标准正态分布转换，则转换后的不同班级不同课程之间是具有可比性的。
在这里仅以42和48两位教师举例，得出了不同班级关于182,184两门课程的期望和标准差。
μ值较大的表示原来班级对应的课程的成绩较高，σ较小表明分值较为趋向集中，波动范围越小。
表5-7不同的班级、教师，不同科目在标准分绩点转换后比较
不同的学院、班级、教师，不同科目在标准分绩点转换后比较
教师号
σ
μ
课程182班级号
班级
课程184班级编号
0.632
0.344
266272a
52
0.2395
0.946
1.063
0.0415
266270b
61
0.5065
0.753
0.721
0.3278
266277c
87
0.5466
0.524
0.862
0.066
266275d
90
0.06
0.9874
0.959
-0.0603
262675e
8
-0.5881
1.26
1.086
-0.0819
262670f
18
-0.3584
1.156
1.194
0.1539
262677g
-0.0692
1.282
1.371
-0.2805
262672h
12
-0.5825
1.472
结论6：
b班182课程平均成绩比184课程平均成绩要低；
c班182课程平均成绩比184课程平均成绩要低；
d班182课程平均成绩比184课程平均成绩要略高一点；
对于同样的老师48，e班182课程平均成绩比184课程平均成绩要高；
f班182课程平均成绩比184课程平均成绩要高；
g班182课程平均成绩比184课程平均成绩要高；
h班182课程平均成绩比184课程平均成绩要高；
42号教师所教的a,b,c,d四个班的184课程比48号教师所教的e,f,g,h四个班的182课程的成绩要好；
42号教师所教的c班的182课程比48号教师所教的e,f,g,h四个班中的任意一个的184课程的成绩要好；
......
因此总体上来说对于182和184号课程，教师42的教学成绩都要比较好于48号；
5.3教学质量评估的数学建模
5.3.1为什么采用标准分型的绩点表示法
本题附件只提供了学生的学习成绩，故建立的模型只能是以学生的考试成绩为向导来建立教师的教学质量评价指标。
对于某一门课程的学生群体的考试成绩，由于采用百分制形式，而在高校规定里低于60分是不及格，需要重修的。
在前面的论述以及和相关的拟合图中可以看出，成绩分布并非严格的正态分布，大多数人的成绩集中在60-85之间。
班级学生的考试成绩平均分可以反映出一定的教学质量，但有时只拿简单的平均分来评估教师的教学质量是片面的；
而过去使用的4分制（或5分制）绩点表示法（称为段-点型），是把100分离散成5个相应的等级段，与绩点相对应，这样因为绩点跨度大，在一定程度上有失公允，这里不予采用。
另外，国内还有大多高校采用的点-点型的绩点表示法如下
表5-8点-点型学分绩点换算
点-点的绩点表示法
百分制
<
60
60-69
70-79
80-89
90-100
等级
不及格
及格
中
良
优
绩点
1.0-1.9
2.0-2.9
3.0-3.9
4.0-5.0
与上述2种方法相区别的是，标准分的绩点表示法：
标准分法是连续的，前2种方法都是将考试成绩离散，必然带有误差；
其中Xi表示某课程学生的考试成绩，μi是该课程教学群体内的平均值，σi表示该课程教学群体内的标准差。
那么学生在标准分绩点转换下的考试成绩
。
由统计知识可知，因为
和
是正的线性关系，所以绩点转换后学生成绩的均值μG=10×
μ（
）+70,因此我们也可以只考察成绩向量
的均值来作比较就可以了。
5.3.2单课程评价（某一教师只教一门课程）
采用标准分型的绩点转换后的μ值和σ值得大小作为评价教师教学质量的一个指标，μ值越大表明教师所教的班级转换之前的考试成绩的平均分期望越高，间接表明教师教学质量越好。
这是可以信赖的一个较为均衡的简单指标值。
表5-9课程182标准分转换后的μ（yi）指标
标准分转换后的数据
所教班级
转换后μ
转换后σ
样本量
-0.0752
1.1632
都是4个班作为整体
0.1936
0.8405
0.0539
0.8528
-0.2843
1.3221
41,44,45,47
-0.201
0.8589
从表5-8看出，μ的大小排序为0.1936>
0.0539>
-0.0752>
-0.201>
-0.2843；
也即教师号42>
65>
48>
69>
2；
结论就是教师的教学质量42>
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