二次函数动点问题解答方法技巧含详细答案外国语Word文件下载.docx
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抛物线中特殊直角梯形底边上移动
考查难点
探究相似三角形
探究三角形面积函
数关系式
探究等腰三角形
①菱形性质
①求直线解析式
①求抛物线顶点坐标
②特殊角三角函数
②四边形面积的表
②探究平行四边形
考
③求直线、抛物线解析式
示
③探究动三角形面积是定
④相似三角形
③动三角形面积函
值
点
⑤不等式
数④矩形性质
④探究等腰三角形存在性
①菱形是含60°
的特殊菱形;
①观察图形构造特
①直角梯形是特殊的(一底
△AOB是底角为30°
的等腰三
征适当割补表示面
角是45°
)
角形。
积
②点动带动线动
②一个动点速度是参数字母。
②动点按到拐点时
③线动中的特殊性(两个交
③探究相似三角形时,按对应角
间分段分类
点D、E是定点;
动线段PF
特
不同分类讨论;
先画图,再探究。
③画出矩形必备条
长度是定值,PF=OA)
④通过相似三角形过度,转化相
件的图形探究其存
④通过相似三角形过度,转
似比得出方程。
在性
化相似比得出方程。
⑤利用a、t范围,运用不等式
⑤探究等腰三角形时,先画
求出a、t的值。
图,再探究(按边相等分类
讨论)
共同点:
①特殊四边形为背景;
②点动带线动得出动三角形;
③探究动三角形问题(相似、等腰三角形、面积函数关系式);
④求直线、抛物线解析式;
⑤探究存在性问题时,先画出图形,再根据图形性质探究答案。
二次函数的动态问题(动点)
1.如图,已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是
A(4,0),B(
2,0),E(0,8).
(1)求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式;
(2)设抛物线C1的顶点为M,抛物线C2与x轴分别交
于C,D两点(点C在点D的左侧),顶点为N,四边形
MDNA的面积为S.若点A,点D同时以每秒1个单位
的速度沿水平方向分别向右、向左运动;
与此同时,点M,
点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向
上运动,直到点
A与点
D重合为止.求出四边形
MDNA
的面积S与运动时间t之间的关系式,并写出自变量t的取值范围;
(3)当t为何值时,四边形MDNA的面积S有最大值,并求出此最大值;
(4)在运动过程中,四边形
MDNA能否形成矩形?
若能,求出此时
t的值;
若不能,请说
明理由.
[解]
(1)点A(4,0),点B(2,0),点E(0,8)关于原点的对称点分别为D(4,0),C(2,0),
F(0,8).
设抛物线C2的解析式是
yax2
bx
c(a
0),
16a
4b
c
0,
则4a
2b
8.
a
1,
解得b
6,
所以所求抛物线的解析式是
y
x2
6x8.
(2)由
(1)可计算得点
M(3,1),N(31),.
过点N作NH
AD,垂足为H.
当运动到时刻t时,AD
2OD
8
2t,NH
12t
.
根据中心对称的性质
OA
OD,OM
ON,所以四边形
MDNA是平行四边形.
所以S
2S△ADN.
所以,四边形MDNA的面积S
(8
2t)(1
2t)
4t2
14t
8.
因为运动至点
A与点D重合为止,据题意可知
0≤t
4
所以,所求关系式是
S
8,t的取值范围是0≤t
4.
(3)S
4t
7
81,(0≤t
4).
所以t
时,S有最大值
81.
提示:
也可用顶点坐标公式来求.
(4)在运动过程中四边形
MDNA能形成矩形.
由
(2)知四边形MDNA是平行四边形,对角线是
AD,MN,所以当AD
MN时四边形
MDNA是矩形.
所以OD
ON.所以OD2
ON2
OH2
NH2
所以t2
20.解之得t1
62,t2
6
2(舍).
所以在运动过程中四边形
MDNA可以形成矩形,此时
t62.
[点评]本题以二次函数为背景,结合动态问题、存在性问题、最值问题,是一道较传统的压
轴题,能力要求较高。
2.(06福建龙岩卷)如图,已知抛物线
3x2
c与坐标轴交于
A,B,C三点,
点A的横坐标为
1,过点C(0,3)的直线y
3
3与x轴交于点Q,点P是线段BC上
x
4t
的一个动点,PH
OB于点H.若PB
5t,且0
t
1.
(1)确定b,c的值:
b_____,c
_____;
(2)写出点B,Q,P的坐标(其中Q,P用含t的式子表示):
B(___,),Q(___,),P(___,___);
(3)依点P的变化,是否存在t的值,使△PQB为等腰三角形?
若存在,求出所有t的值;
若不存在,说明理由.
[解]
(1)
9
C
b
P
(2)B(4,0)
AOQHBx
Q(4t,0)
P(44t,3t)
(3)存在t的值,有以下三种情况
①当PQPB时
QPH
OB,则GHHB
1
②当PBQB时
得44t5t
③当PQQB时,如图
解法一:
过Q作QD
BP,又PQQB
则BD
BP
5t
22
又△BDQ∽△BOC
BDBQBOBC
244t
45
D
OB
Q
32
57
解法二:
作Rt△OBC斜边中线OE
则OE
BC
5
BE,BE
,
2
此时△OEB∽△PQB
BE
OB
BQ
PB
E
O
24
44t5t
B
解法三:
在Rt△PHQ中有QH2
PH2
PQ
4)2
(3t)2
4t)2
(8t
(4
57t2
32t
HQ
t32,t0(舍去)
又Q0t1
当t
或
4或32
时,△PQB为等腰三角形.
解法四:
数学往往有两个思考方向:
代数和几何,有时可以独立思考,有时需要综合运用。
代数讨论:
计算出△PQB三边长度,均用t表示,再讨论分析
Rt△PHQ
中用勾股定理计算
PQ长度,而
PB、BQ
长度都可以直
接直接用
t表示,进行分组讨论即可计算。
[点评]此题综合性较强,涉及函数、相似性等代数、几何知识,
1、2
小题不难,第
3小题
是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论,需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检
验,在本题中若求出的
t值与题目中的0t
1矛盾,应舍去
3.如图1,已知直线y
1x与抛物线y
1x2
6交于A,B两点.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)求线段AB的垂直平分线的解析式;
(3)如图2,取与线段AB等长的一根橡皮筋,端点分别固定在A,B两处.用铅笔拉着这
根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动,动点P将与A,B构成无数个三角形,
这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?
如果存在,求出最大面积,并指出此时P点
的坐标;
如果不存在,请简要说明理由.
A
图1
图2
x1
[解]
(1)解:
依题意得
解之得
y1
y2
A(6,3),B(
4,2)
(2)作AB的垂直平分线交x轴,y轴于C,D两点,交AB于M(如图1)
由
(1)可知:
OA35OB25y
AB55
OM
1ABOB
EO
过B作BE⊥x轴,E为垂足
M
第26题
由△BEO∽△OCM,得:
OC
OM,OC
5,
OE
同理:
OD
5,
5,,
,5
设CD的解析式为y
kx
b(k
0)
k
0k
AB的垂直平分线的解析式为:
2x
(3)若存在点P使△APB的面积最大,则点
P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交
点的直线
xm
上,并设该直线与
x轴,
轴交于
G,H
两点(如图
).
yxm
y1x26
xm60
Q抛物线与直线只有一个交点,
1(m6)
0,
m
25
23
P1,
在直线GH:
y
1x
中,
H
,,
G
GH
设O到GH的距离为d,
g
1g
GHd
OGOH
5d
d55
QAB∥GH,
P到AB的距离等于O到GH的距离d.
另解:
过P做PC∥y轴,PC交AB于C,当PC最大时△PBA在AB边上的高h最大(h
与PC夹角固定),则S△PBA最大→问题转化为求PC最大值,设P(x,),C
(x,
),从而可以表示PC长度,进行极值求取。
最后,以PC为底边,分别计算S△PBC和S△PAC即可。
[点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题,有一定的能力要求,第
3小
题是一个最值问题,解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。
4.如图①,正方形ABCD的顶点
A,B的坐标分别为
,,,,顶点,
在第一象
01084
限.点P从点A出发,沿正方形按逆时针方向匀速运动,同时,点
Q从点E
4,0
出发,沿
x轴正方向以相同速度运动.当点
P到达点C时,P,Q两点同时停止运动,设运动的时
间为t秒.
(1)求正方形ABCD的边长.
(2)当点P在AB边上运动时,△OPQ的面积S(平方单位)与时间
t(秒)之间的函数
图象为抛物线的一部分(如图②所示)
,求P,Q两点的运动速度.
(3)求
(2)中面积S(平方单位)与时间t(秒)的函数关系式及面积
S取最大值时点P
的坐标.
(4)若点P,Q保持
(2)中的速度不变,则点P沿着AB边运动时,∠OPQ的大小随着
时间t的增大而增大;
沿着BC边运动时,∠OPQ的大小随着时间
t的增大而减小.当点P
沿着这两边运动时,使∠OPQ
90o的点P有
个.
(抛物线
4ac
yax
bxca0的顶点坐标是
2a
4a
s
28
AP
20
OE
10t
图①
图②
[解]
(1)作BFy轴于F.
QA010,,B8,4,
FB8,FA6.
AB10.
(2)由图②可知,点P从点A运动到点B用了10秒.
又QAB1010,101.
P,Q两点的运动速度均为每秒
1个单位.
(3)方法一:
作PG
y轴于G,则PG∥BF.
GA
AP
FA
,即
AB
10
3t.
OG
QOQ
t,
1OQOG
1t410
即S
t2
19
20.
≤
≤10
,且0
19时,S有最大值.
此时GP
76
,OG
31
15
(8分)
点P的坐标为
方法二:
5时,OG
7,OQ
63
9,SOGgOQ
设所求函数关系式为
at2
bt
Q抛物线过点
,,,
1028
100a10b2028,
25a
5b
63.