自动控制原理复习资料 卢京潮版.docx

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自动控制原理复习资料卢京潮版

第二章：

控制系统的数学模型

§2.1引言

·系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。

·建模方法

·本章所讲的模型形式

§2.2控制系统时域数学模型

1、线性元部件、系统微分方程的建立

（1）L-R-C网络

──2阶线性定常微分方程

（2）弹簧—阻尼器机械位移系统

分析A、B点受力情况

由

解出

代入B等式：

得：

──一阶线性定常微分方程

（3）电枢控制式直流电动机

电枢回路：

┈克希霍夫

电枢及电势：

┈楞次

电磁力矩：

┈安培

力矩方程：

┈牛顿

变量关系：

消去中间变量有：

（4）X-Y记录仪（不加内电路）

消去中间变量得：

─二阶线性定常微分方程

即：

2、线性系统特性──满足齐次性、可加性

线性系统便于分析研究。

在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。

非线性元部件微分方程的线性化。

例：

某元件输入输出关系如下，导出在工作点处的线性化增量方程

解：

在处线性化展开，只取线性项：

令

得

3、用拉氏变换解微分方程

（初条件为0）

复习拉普拉斯变换的有关内容

1复数有关概念

（1）复数、复函数

复数

复函数

例：

（2）复数模、相角

（3）复数的共轭

（4）解析：

若F（s）在s点的各阶导数都存在，称F（s）在s点解析。

2拉氏变换定义

3几种常见函数的拉氏变换

1.单位阶跃：

2.指数函数：

3.正弦函数：

4　拉氏变换的几个重要定理

（1）线性性质：

（2）微分定理：

零初始条件下有：

例1：

求

例2：

求

解：

（3）积分定理：

（证略）

零初始条件下有：

进一步有：

例3：

求L[t]=?

解：

例4：

求

解：

（4）位移定理

实位移定理：

例5：

解：

虚位移定理：

（证略）

例6：

求

例7：

例8：

（5）终值定理（极限确实存在时）

证明：

由微分定理

取极限：

　∴有：

证毕

例9：

求

例10：

拉氏变换附加作业

一．已知f（t）,求F（s）=?

二．已知F（s）,求f（t）=?

5.拉氏反变换

（1）反变换公式：

（2）查表法——分解部分分式（留数法，待定系数法，试凑法）

微分方程一般形式：

的一般表达式为：

（I）

其中分母多项式可以分解因式为：

（II）

的根（特征根），分两种情形讨论：

I：

无重根时：

（依代数定理可以把表示为：

）

即：

若可以定出来，则可得解：

而计算公式：

（Ⅲ）

（Ⅲ′）

（说明（Ⅲ）的原理，推导（Ⅲ′））

●例2：

求

解：

●例3：

，求

解：

不是真分式，必须先分解：

（可以用长除法）

●例4：

解法一：

（）

解法二：

II：

有重根时：

设为m阶重根，为单根.则可表示为：

其中单根的计算仍由

（1）中公式（Ⅲ）（Ⅲ′）来计算.

重根项系数的计算公式：

（说明原理）

●例5求

解：

3.用拉氏变换方法解微分方程

●例：

解：

举例说明拉氏变换的用途之一—解线性常微分方程，引出传函概念。

如右图ＲＣ电路：

初条件：

输入

依克西霍夫定律：

L变换：

依（＊）式可见，影响ＣＲ电路响应的因素有三个：

分析系统时，为在统一条件下衡量其性能

输入都用阶跃，初条件影响不考虑

3:

系统的结构参数　――只有此项决定系统性能

零初条件下输入/出拉氏变换之比（不随输入形式而变）

§2-3线性定常系统的传递函数——上述ＣＲ电路的结论适用于一般情况

一般情况下：

线性系统的微分方程：

简单讲一下：

传递函数的标准形式：

I:

为首1多项式型：

II:

为尾1多项式型：

开环增益的意义：

一般情况下：

首1型：

（1）

尾1型：

（2）

由

（1）式：

（3）

比较

（1）

（2）:

（4）

首1型多用于根轨迹法中.

尾1型多用于时域法，频域法中.

一.传递函数定义：

条件：

定义：

有关概念：

特征式，特征方程，特征根

零点——使的s值

极点——使的s值

：

传递函数，增益，放大倍数→

结构图——系统的表示方法

G（s）分子分母与相应的微分方程之间的联系：

完全取决于系统本身的结构参数

注

（1）为何要规定零初始条件？

分析系统性能时，需要在统一条件下考查系统：

输入：

都用阶跃输入.

初条件：

都规定为零——为确定一个系统的起跑线而定.

则系统的性能只取决于系统本身的特性（结构参数）

（2）为何初条件可以为零？

1）我们研究系统的响应，都是从研究它的瞬时才把信号加上去的.

2）绝大多数系统，当输入为0时，都处于相对静止状态.

3）零初始条件是相对的，常可以以平衡点为基点（如小扰动为线性化时）

（3）零初条件的规定，并不妨碍非零初条件时系统全响应的求解.

可以由G（s）回到系统微分方程，加上初条件求解.

二.传递函数的性质：

1.G（s）:

复函数，是自变量为s的有理真分式（m≤n）均为实常数.

m

1）.实际系统都存在惯性，从微分方程上反映出来，即C（s）的阶次比R（s）阶次高.反映到G（s）上即有分母阶次n≥分子阶次m.

2）.反证法：

设m>n则：

说明：

2.G（s）:

只与系统本身的结构参数有关与输入的具体形式无关.

输入变时，C（s）=G（s）R（s）变，但G（s）本身并不变化

但G（s）与输入、输出信号的选择有关.r（t）,c（t）选择不同，G（s）不同.（见前CR电路.）

3.G（s）与系统的微分方程有直接联系

4.→G（s）是系统单位脉冲响应的拉氏变换

5.G（s）与系统相应的零极点分布图对应

G（s）的零极点均是复数，可在复平面上表示：

若不计传递函数，G（s）与其零极点分布图等价.

例：

G（s）系统零极点分布图系统性能

若当系统参数发生变化时，分析其特性：

1）用解微分方程法十分繁琐——一个元部件参数改变，影响，得反复解

2）若掌握了零极点分布与系统性能之间的规律性，则当某个元部件的参数改变时，变化，零极点位置变化，系统性能的变化规律就能掌握了，这样，我们可以有目的地改变某些参数，改善系统的性能，且免除了解微分方程的烦恼。

——这是为什么采用G（s）这种数模的原因之一。

三.采用传递函数的局限：

1.G（s）原则上不反映C（0）≠0时的系统的全部运动规律.（虽然由G（s）转到微分方程，可以考虑初条件的影响。

）

2.G（s）只适用于单输入，单输出系统。

3.G（s）只适用于线性定常系统——由于拉氏变换是一种线性变换.

例：

传递函数是古典控制理论中采用的数学模型形式，经常要用。

（典型元部件传递函数略讲，重点以伺服电机引出结构图的概念）

例1已知某系统，当输入为时，输出为

求：

1）系统传递函数

2）系统增益？

3）系统的特征根及相应的模态？

4）画出系统对应的零极点图；

5）系统的单位脉冲响应

6）系统微分方程；

7）当时，系统响应

解1）

①

2）由①式，增益K=1

3）由①式：

特征根模态

4）零极点图见右

5）

6）－隐含零初始条件

－不受零初始条件限制

7）对上式进行拉氏变换，注意代上初条件

例2系统如右图所示

已知方框对应的微分方程为

求系统的传递函数

解：

对相应的微分方程进行拉氏变换

①

又由运算放大器特性，有

②

①×②有

4.典型元部件的传递函数

1.电位器（无负载时）

2.电桥式误差角（位置）检测器

3.自整角机

注自整角机与电桥式误差检测器功能相同，只是有以下几点区别

1）前者工作于交流状态，后者直流

2）自整角机无摩擦，精度高

3）自整角机可以大于

4.测速发电机

1）直流测速发电机

——楞次定律

2）交流发电机

5.电枢控制式直流电动机（结构同发电机）

楞次定律：

克希霍夫：

安培定律：

牛顿定律：

利用前四个方程中的三个消去中间变量得出：

时间常数

传递系数

同一系统输入输出量选择不同有不同形式的传递函数

若分别对每一个方程分别求传递函数，则可构成以下结构图：

——分析问题的角度不同，同一系统可以有不同形式的结构图，但彼此等价。

此图清楚的表明了电动机内部各变量间的传递关系，经简化后可得上面形式结构图

6.两相交流伺服电动机

堵转力矩：

机械特性：

牛顿定律：

利用前两式消去可得：

分别各式进行拉氏变换得：

方框图

7.齿轮系：

传动比

负载轴上的粘滞阻尼，惯量向电机轴上的折算：

对于电机轴:

为负载轴转矩⑴

对于负载轴：

⑵

在啮合点：

又有：

（4）

利用4式中的3个,消去中间变量:

一般地，有多级齿轮转动时：

可见：

由于一般减速器总有

∴越靠近电机轴的惯量、粘滞摩擦，对电机轴的影响越大，

远离电机轴的负载影响则较小

若一级减速比很大，则负载轴的影响可以忽略不计

8.调制器，解调器用于

1）交、直流元件协调工作时

2）交流元件，但工作频率不同时

调制：

把直流或低频信号驮在交流元件的工作频率上的过程

解调：

把驮在交流元件频率上的有用低频（或直流）信号取出来的过程

一般不考虑调制、解调器的动态过程，认为其传函为1

5.典型环节

依上讨论可见：

输入输出信号选择不同，同一元部件可以有不同的传递函数。

不同的元部件可以有相同形式的传递函数

1.环节——把传函形式相同的元部件归并在一起的分类——具有抽象性，概括性。

如，电位器，自整角机，测速发电机等等。

同属比例环节。

2.典型环节及其传递函数

序号

微分方程

环节名称

传递函数

例

1

比例环节

电位器，放大器，自整角机

2

惯性环节

CR电路，交、直流电动机

3

振荡环节

R-L-C电路，弹簧质块阻尼系统

4

积分环节

减速器

5

微分环节

测速发电机

6

一阶复合微分环节

7

二阶复合微分环节

注:

1）环节与部件并非一一对应，有时一个环节可代表几个部件，有时一个部件可表成几个环节

2）任一个系统的传递，可以视为典型环节的组合

如：

6.负载效应问题：

传递函数要在系统正常工作，考虑负载影响条件下推导出来

例如①右电网络，当两级相联时：

用算子法：

（1）

②当两级断开时：

第一级：

第二级：

而

（2）

比较

（1）

（2），可见两式不等。

∵当两级相联时，后级有分流，对前级有负载影响。

2典型环节及其传递函数

序号

微分方程

环节名称

传递函数

例

1

比例环节

电位器，放大器，自整角机

2

惯性环节

CR电路，交、直流电动机

3

振荡环节

R-L-C电路，弹簧质块阻尼系统

4

积分环节

减速器

5

微分环节

测速发电机

6

一阶复合微分环节

7

二阶复合微分环节

五、求时须注意的问题——负载效应

要在系统正常工作的条件下考虑其传递函数，把后一级对前一级的负载效应考虑进去。

例：

如右电路，求

解1当成整体看：

回路I：

⑴

回路II:

⑵

节点A:

⑶

电容：

⑷

电容：

⑸

⑵→⑷：

⑹