离散数学复习提纲14章docxWord文档下载推荐.docx

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真值表法2：

若1Qa（P—Q）为真，贝I」1Q,P—Q为真,所以Q为假，P为假，所以「P为真。

法3：

若「P为假，则P为真，再分二种情况：

①若Q为真，贝'

JiQU（P-Q）为假

②若Q为假，则P-Q为假,则1Qa（P-Q）为假根据①②，所以Qa（P—Q）蕴涵P。

）

5.利用基本等价式证明下列命题公式为恒真公式。

（（PtQ）a（QtR））t（PtR）

（（PvQ）A-!

（-.Pa（iQviR）））V（iPa-hQ）v（-.PaiR）（an:

1、证明：

=（（「PvQ）a（->

QvR））->

（iPvR）

=-i（（「PvQ）a（-,QvR））v（-,PvR）

=（Pa-iQ）v（Qa-iR）v-iPvR

=（（Pa^Q）\z->

P）v（（Qa^R）vR）

=（1a（「Qv-P））v（（QvR）Al）

=—iQv—iPvQvR

=（-iQvQ）v-iPvR

=1v—iPvR

=1

（（PvQ）A-.（-iPa（「QsR）））v（「P—Q）v（-.Pa-iR）

=（（PvQ）A（Pv（QaR）））V（-,Pa（-.Qv^R））

=（Pv（QaQaR））v（-,Pa（「QgR））

=（Pv（QaR））v-.（Pv（QaR））

=1）

6.用形式演绎法证明：

｝蕴涵P—S

证明:

（1）

rPyQ

规则P

（2）

P—Q

规则Q

（3）

「QvR

（4）

QtR

（5）

PtR

（2）（4）

（6）

RtS

（7）

PtS

（5）（6））

7.用形式演绛法证明：

（A\/3）t（C/\D）,（D\/F）t£

蕴涵AtE

（an：

、证明:

（改（AaB）为（AvB）,（DaF）为（DvF））

⑵AVB

规则Q

（1）

（3）（AvB）^（CaD）

（4）Ca£

>

规则Q

（2）（3）

（5）D

规则Q（4）

（6）DvF

规则Q（5）

（7）（DvF）tE

⑻E

规则Q（6）（7）

（9）A^E

规则Q

（1）（8））

（PA-iQ）,-iQVR,-iR

蕴涵IP

（1）A

规则D

8.1

（1）-|QVR

9.某案涉及甲、

R

（PA-iQ）

PVQ

P）

乙、

丙、丁四个，根据已有线索，已知：

若甲、乙均未作案，

若丙、丁均未作案，若甲与乙同时作案，若乙少内•同时作案，

则丙、丁也均氷作案；

则甲、乙也均未作案；

则丙与丁冇一人R只冇一人作案;

则甲与丁同吋作案或同未作案。

办案人员山此得出结论：

甲是作案者。

这个结论是否正确？

为什么?

对问题中的四个简单命题用Pl,P2,P3,P4分别表示甲，乙，内,

T■作案，则

办案人员的推理如下：

前提：

1）-nPlA-1P2^-.P3A-.P4

2）-.P3a->

P4->

-1P1a-.P2

3）P1aP2->

（-,P3aP4）v（P3a-«

P4）

4）P3aP4^（^Pla-,P2）v（PlaP2）

结论：

Pio

（^P1a^P2^P3a^P4）a（「P3人a（P1aP2^（^P3aP4）v（P3a^P4））a（P3aP4->

（^Pla-,P2）v（PlaP2））->

Pl

不是永真式，比如：

Pl取假，P2取真，P3取假，P4取真时，上式为假

所以P1不是前提的有效结论，

所以甲是作案者的结论是错误的）

课丿口习题：

p8：

1,5

pl9：

7

p23：

6,7,8

p39：

4

p47：

4,5

第二章谓词逻辑

1.设个体域D={1,2,5）,F（x）：

xW2,G（x,y）：

xNy,消去

（Vx）（F（x）T（3y）G（y,x））中的量词,并讨论其真值。

2.所有的主持人都很有风度。

李明是个学生并且是个节口主持人。

因此有些学生是很有风度。

请用谓词逻辑中的推理理论证明上述推理。

（个体域：

所有人的集合）

3.设M（x）:

x是数，L（x9y）:

x小于y,将“不存在最小的数。

”符号化。

「（lc）（Vy）（M（x）/\M（y）TL（x,）；

））））

4.利用一阶逻辑的基木等价式，证明：

（Vx）（Vy）（F（x）->

G（y））=（3x）F（x）t（Vy）G（y）

VxVy（F（x）tG（y））=Vx（F（x）—>

VyG（y））

=Vx（-iF（x）vVyG（y））

=Vx（「F（x））vVyG（y）

=—i3xF（x）vVyG（y）

=3xF（x）—>

VyG（y））

5.（Vx）（F（x）f-|A（x））,（Vx）（A（x）VB（x）,（3x）-]B（x）蕴涵（3x）-）F（x）（an:

（1）3x-]B（x）

（2）-iB（c）

（3）Vx（A（x）VB（x））

（4）A（c）VB（c）

（5）A（c）

（6）Vx（F（x）f-iA（x））

（7）F（c）1A（c）

（8）-iF（c）

（9）3x-|F（x））

6.符号化下列命题并推证其结论：

没有不守信用的人是可以信赖的，有些可以信赖的人是受过教育的人，因此，有些受过教育的人是可守信用的。

令M（x）：

x是守信用的;

J（x）：

x是受过教冇的；

D（x）：

x是可以信赖的

13x（-1M（x）AD（x））,（3xD（x）

AJ（x））有效结论:

3x（J（x）AM（x））

证明：

1）（3xD（x）AJ（x））

前提

2）3xD（x）AJ（y）

代替规则

3）3xD（x）

合取

4）D（c）

EI规则

5）J（y）

6）VzJ（z）

UG规则

7）J（c）

UI规则

8）-|3x（-|M（x）AD（x））

前提规则

9）Vx-i（-1M（x）AD（x））

等价

10）Vx（M（x）v-|D（x））

11）M（c）v-iD（c）

12）M（c）

13）M（c）AJ（c）

14）3x（J（x）AM（x））

EG规则）

7•在一阶逻辑中，构造下面的证明：

撐3TGW）,巴）结论：

玉®

1）Vx（F（x）—>

G（x））

2）F（a）->

G（a）

3）F（a）

4）G（a）

5）3G（x））

8.设解释I为：

（1）定义域D={-2,3,6}；

（2）F（x）：

x<

3；

G（x）：

x>

5o

在解释I下求公式（3x）（F（x）vG（x））的真值。

（3x）（F（x）vG（x））

=（F（-2）vG（-2））v（F（3）vG（3））v（F（6）vG（6））

=（1vO）7（1vO）v（Ovl）

9.不存在能表示成分数的无理数。

冇理数都能表示成分数。

因此，冇理数都不是无理数。

（an:

F（x）：

x为无理数，G（x）：

x为有理数，H（x）：

x能表示成分数）

10.设个体域为集合{a,b,c},试消去下列公式中的量词。

（1）（Vx）P（x）A（Vx）Q（x）

（2）（Vx）（P（x）-Q（x））

课后习题：

p59：

1,2

p62：

3,6

p65：

2,3

p72：

1,4

p75：

1

p79：

第三章集合论

1.设〈A,<

）是偏序集，A={1,2,3,4,5,6,8},S是整除关系，请画出<

A,<

）的哈斯图。

写出A中的极大元，极小元和最大元，最小元。

2.设A={1,2,3},求A上所有等价关系。

3.设全集E=N,有下列子集A={1,2,8,10}B={nln2<

509neN}

C={{/?

I汕J以被3整除，且料<

2H],D={nI2,,iv6,且i,neN]

求1）^u（CnD）2）B-（4cC）3）（〜

Au（CnD）={1,2,8,10};

B-（AnC）=B;

（^4nB）uD={3,4,5,6,7,8,16,32}）

4.设集合A={O,l},B={a"

c},试求：

1）AXB2）A2xB3）p（A）xA

AxB={（O,d）,（OQ,（O,c）,（l,a）,（l,b）,（l,c）};

A2xB={（0,0,a）,（0,1,a）,（1,0,q）,（1,1,a）,（0,0,b）,（0,1,b）9（1,0,b）,（1,1,b）

（0,0,c）,（0,1,c）,（1,0,c）,（1,1,c）}

q（A）xA={（0,O）,（{O},O）,（{1},O）,（{O,1},O）,（0,1）,（{O},1）,（{1},1）,（{O,1},1）}）

5.一个年级170人■!

«

120名学生学英语，80名学牛学徳语，60名学生学H语，50名学生

既学英语又学徳语，25名学生既学英语又学日语，30名学生既学徳语又学tl语，还有10名学生同时学习三种语言。

试问：

有多少名学生这三种语言都没有学习？

设E为全集，A为学英语学生的集合，B为学徳语学生的集合，C为学日语学生的集合。

由公式，

IAuBuCI=IAI+IBI+ICI-IAnBI-IBnCI-IAnCI+IAnBnCI

可得:

IAuBl>

CI=120+80+60-50-30-25+10

=165

所以，这三种语言都没有学习的学生为170-165=5人。

6.A={a,b,c,d},R）,R2是A上的关系，其中R|={（a,a）,（a,b）,（b,a）,（b,b）,（c,c）,（c,d）,（d,c）,（d,d）},R2={（a,b）,（b,a）,（a,c）,（c,a）,（b,c）,（c,b）,（a,a）,（b,b）,（c,c）}。

（1）写出R|和R2的关系矩阵，并画出Ri和R2的关系图；

（2）判断它们是否为等价关系，是等价关系的求A中各元素的等价类。

）&

为等价关系

等价类Mi={a,b},M2={c,d}

R2不为等价关系

r（/?

）,5（/?

）,t（R）,并分别画出它们的关系图。

厂（/?

）={（Q,d）,9,b）,（c,c）,（a,b）,（b,d）,（b,c）};

$（/?

）={（a,b）,（仇a）,（b,c）,（c,b）};

『（/?

）={（a,a）,（a,b）,@,a）,（a,c）,（Z?

b）,（b,c）}・

它们的关系图:

8.设集合A={2,3,4,6,8,12,24},R为A上的整除关系，

（1）画出偏序集（A,R）的

哈斯图；

（2）写出集合A屮的最大元、最小元、极大元、极小元：

（3）写出A的子集

B={2,3,6,12}的上界、下界、最小上界、最大下界。

（1）半序集（A,R）的哈斯图如卜所示:

（2）集合A中的最大元是24,无最小元，极大元是24,极小元是2与3。

（3）集合B的上界是12与24,无下界，最小上界是12,无最人下界。

9・设集合A={a,b,c,d,e},R={（a,b）,（a,c）,（a,d）,（a,e）,（b,e）,（c,e）,（d,e）}U/人，试画出偏序集（A,R）的哈斯图，并写出A的授大元，授小元，极大元和极小元。

（A,<

）的哈斯图为:

a为A的极小元，也是最小元;

e为A的极大元，也是最大元。

11.设R是集合A上的二元关系，证叭R是传递的，当且仅当t（R）=RO

若R是传递的，又有RR,对于任何包含R的传递

关系，都冇，所以R满足传递闭包定义中

的全部条件，即t（R）=Ro

反Z,若t（R）=R,由传递闭包含定义中的条件1可得

R是传递的。

12.设集合A={0,123,4,5},A上的关系R={（0,0）,（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（3,1）（3,2）,（3,3）,（4,4）,（4,5）,（5,4）,（5,5）},则R在A上构成的等价类是？

13.设集合A={1,2,3}，/?

为A上的二元关系,R={（1,2X3,1X23）}则心）是?

{（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（3,1）,（3,2）,（3,3）}）

14.设R是一个二元关系，设S={<

a,b>

I存在某个C,使va,c>

GR且vc,b>

WR},证明R是一个等价关系，则S也是一个等价关系。

1、证明:

（1）・・・R是自反,

・••若有xWA就有<

x,x>

eR

<

GS

・・・s是自反的。

（2）因有Va,b>

es

月•存在c,使Va,C>

ER且Vc,b>

WR

•・・R是对称的

・・・Vc,a>

eR,<

b,c>

・・・Vb,a>

•'

•S是对称的

（3）设Va,b>

<

WS

则存在d,0使<

&

d>

d,b>

b,e>

e,c>

•・・R是传递的

・・・Va,b>

A<

a,c>

ES

即S是传递的

因此得证S是等价关系。

p85：

5,6

p95：

3,4

p99：

p!

04：

2,4

pl09：

2,5,7

pll3：

4,6

pll9：

1,6,8

pl27：

2,

7

p130：

1,

4

pl35：

3,

4,

39：

5

45：

6

-i

笫四章函数

1.设映射cr：

z■:

BtCq,了都是双射，求证（nr）

pl51：

1,3,4,6

pl56：

2,3,4

pl64：

2