小学四年级奥数第35讲 容斥原理含答案分析.docx
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小学四年级奥数第35讲容斥原理含答案分析
第35讲容斥原理
一、专题简析:
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理:
对n个事物,如果采用不同的分类标准,按性质a分类与性质b分类(如图),那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。
二、精讲精练:
例1:
一个班有48人,班主任在班会上问:
“谁做完语文作业?
请举手!
”有37人举手。
又问:
“谁做完数学作业?
请举手!
”有42人举手。
最后问:
“谁语文、数学作业都没有做完?
”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
练习一
1、五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人?
2、四年级一班有54人,订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人,订《小学生优秀作文》的有45人,每人至少订一种读物,订《数学大世界》的有多少人?
例2:
某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对?
练习二
1、五
(1)班有40个学生,其中25人参加数学小组,23人参加科技小组,有19人两个小组都参加了。
那么,有多少人两个小组都没有参加?
2、一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有32人,订阅《中国少年报》的有29人,两种报纸都订阅的有25人。
两种报纸都没有订阅的有多少人?
例3:
某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?
练习三
1、一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人,两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人?
2、一个俱乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人。
问这两种棋都会下的有多少人?
例4:
在1到100的自然数中,既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个?
练习四
1、在1到200的全部自然数中,既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个?
2、在1到130的全部自然数中,既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个?
例5:
光明小学举办学生书法展览。
学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有10幅,其他年级参展的书法作品共有多少幅?
练习五
1、科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有110件不是一年级的,有100件不是二年级的,一、二年级参展的作品共有32件。
其他年级参展的作品共有多少件?
2、六
(1)儿童节那天,学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品,其中有25幅画不是三年级的,有19幅画不是四年级的,三、四两个年级参展的画共有8幅。
其他年级参展的画共有多少幅?
三、课后作业
1、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人?
2、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛,结果3人两项比赛都获奖了,有27人两项比赛都没有获奖。
已知作文比赛获奖的有14人,问数学比赛获奖的有多少人?
3、三年级一班参加合唱队的有40人,参加舞蹈队的有20人,既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。
这两队都没有参加的有10人。
请算一算,这个班共有多少人?
4、五
(1)班做广播操,全班排成4行,每行的人数相等。
小华排的位置是:
从前面数第5个,从后面数第8个。
这个班共有多少个学生?
5、实验小学举办学生书法展,学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品,其中有28幅不是五年级的,有24幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有20幅。
一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。
一、二年级参展的书法作品共有多少幅?
第三十五周容斥原理
专题简析:
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理:
对n个事物,如果采用不同的分类标准,按性质a分类与性质b分类(如图),那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。
例1:
一个班有48人,班主任在班会上问:
“谁做完语文作业?
请举手!
”有37人举手。
又问:
“谁做完数学作业?
请举手!
”有42人举手。
最后问:
“谁语文、数学作业都没有做完?
”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析完成语文作业的有37人,完成数学作业的有42人,一共有37+42=79人,多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次,在统计做完数学作业的人数时又算了一次,这样就多算了一次。
所以,这个班语文、数作业都完成的有:
79-48=31人。
练习一
1,五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人?
2,四年级一班有54人,订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人,订《小学生优秀作文》的有45人,每人至少订一种读物,订《数学大世界》的有多少人?
3,学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人?
【答案】1.65+87-122=30(人)
2.54-45+13=22(人)
3.24-8+17=33(人)
例2:
某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对?
分析与解答:
已知答对第一题的有25人,两题都答对的有15人,可以求出只答对第一题的有25-15=10人。
又已知答对第二题的有23人,用只答对第一题的人数,加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数:
10+23=33人。
所以,两题都答得不对的有36-33=3人。
练习二
1,五
(1)班有40个学生,其中25人参加数学小组,23人参加科技小组,有19人两个小组都参加了。
那么,有多少人两个小组都没有参加?
2,一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有32人,订阅《中国少年报》的有29人,两种报纸都订阅的有25人。
两种报纸都没有订阅的有多少人?
3,某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛,结果3人两项比赛都获奖了,有27人两项比赛都没有获奖。
已知作文比赛获奖的有14人,问数学比赛获奖的有多少人?
【答案】1.40-(23+25-19)=11(人)
2.55-(32+29-25)=19(人)
3.(50-27)+3-14=12(人)
例3:
某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?
分析与解答:
要求两科竞赛同时参加的人数,应先求出至少参加一科竞赛的人数:
56-25=31人,再求两科竞赛同时参加的人数:
28+27-31=24人。
练习三
1,一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人,两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人?
2,一个俱乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人。
问这两种棋都会下的有多少人?
3,三年级一班参加合唱队的有40人,参加舞蹈队的有20人,既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。
这两队都没有参加的有10人。
请算一算,这个班共有多少人?
【答案】1.24+18-(36-4)=10(人)
2.69+52-(103-12)=30(人)
3.40+20-14+10=56(人)
例4:
在1到100的自然数中,既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个?
分析与解答:
从1到100的自然数中,减去5或6的倍数的个数。
从1到100的自然数中,5的倍数有100÷5=20个,6的倍数有16个(100÷6=16……4),其中既是5的倍数又是6的倍数(即5和6的公倍数)的数有3个(100÷30=3……10)。
因此,是6或5的倍数的个数是16+20-3=33个,既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是:
100-33=67个。
练习四
1,在1到200的全部自然数中,既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个?
2,在1到130的全部自然数中,既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个?
3,五
(1)班做广播操,全班排成4行,每行的人数相等。
小华排的位置是:
从前面数第5个,从后面数第8个。
这个班共有多少个学生?
【答案】1.140个2.87个
3.(5+8-1)×4=48(人)
例5:
光明小学举办学生书法展览。
学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有24幅
不是五年级的,有22幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有10幅,其他年级参展的书法作品共有多少幅?
分析与解答:
由题意知,24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数,22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。
24+22=46幅,这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数,从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品,即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数,再除以2,即可求出其他年级参展作品的总数。
(24+22-10)÷2=18幅。
练习五
1,科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有110件不是一年级的,有100件不是二年级的,一、二年级参展的作品共有32件。
其他年级参展的作品共有多少件?
2,六
(1)儿童节那天,学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品,其中有25幅画不是三年级的,有19幅画不是四年级的,三、四两个年级参展的画共有8幅。
其他年级参展的画共有多少幅?
3,实验小学举办学生书法展,学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品,其中有28幅不是五年级的,有24幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有20幅。
一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。
一、二年级参展的书法作品共有多少幅?
【答案】1.89件2.18幅
3.[(28+24-20)÷2-4]÷2=6(幅)