数理逻辑发展教案Word格式.docx
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出了数学（主要是算术）中的主要概念和定理。
逻辑演算的发展：
甘岑（G.Gentzen）的自然推理系统（NaturalDeductionSystem），逻辑演算的元理论：
公理的独立性、一致性、完全性等。
各种各样的非经典逻辑的发展：
路易斯（Lewis,1883~1964）的模态逻辑，实质蕴涵怪论和严格蕴涵、相干逻辑等，卢卡西维茨的多值逻辑等。
4.集合论的发展
看待无穷集合的两种观点：
实无穷与潜无穷
康托尔（G.Cantor,1845~1918）：
以实无穷的思想为指导，建立了朴素集合论
外延原则（集合由它的元素决定）和概括原则（每一性质产生一集合）。
可数集和不可数集，确定无穷集合的本质在于集合本身能与其子集一一对应。
能
与正整数集合对应的集合是可数的，否则是不可数的。
证明了有理数集是可数的，使用对角线法证明了实数集合是不可数的。
超穷基数和超穷序数
朴素集合论的悖论：
罗素悖论
公理集合论的建立：
ZFC系统
6.第三次数学危机与逻辑主义、直觉主义与形式主义
集合论的悖论使得人们觉得数学产生了第三次危机，提出了数学的基础到底是什么这样的问题。
罗素等的逻辑主义：
数学的基础是逻辑，倡导一切数学可从逻辑符号推出，《数学原理》一书是他们这一思想的体现。
为解决悖论产生了逻辑类型论。
布劳维尔（Brouwer,1881~1966）的直觉主义：
数学是心灵的构造，只承认可构造的数学，强调构造的能行性，与计算机科学有重要的联系。
坚持潜无穷，强调排中律不能用于无．
穷集合。
海丁（Heyting）的直觉主义逻辑。
希尔伯特（D.Hilbert）的形式主义：
公理化方法与形式化方法，元数学和证明论，提倡将逻辑演算和数学证明本身形式化，把用普通的语言传达的内容上的数学科学变为用数学符号和逻辑符号按一定法则排列的一堆公式。
为了消除悖论，要数学建立在公理化基础上，将各门数学形式化，构成形式系统，并证明其一致性，这是希尔伯特的数学纲领。
7.数理逻辑的发展初期
哥德尔（Godel,1906~1978）不完全性定理：
一个足够强大的形式系统，如果是一致的则不是完全的，即有的判断在其中是不可证的，既不能断定其为假，也不能证明其为真。
各种计算模型：
哥德尔的递归函数理论，邱吉尔的演算，图灵机模型
这些计算模型是计算机科学的理论基础，是计算机的理论模型。
三、预备知识
1.集合的基本概念
set）：
集合是数学中最基本的概念之一，不能以更简单的概念来定义（define）·
集合（，只能给出它的描述（description）。
一些对象的整体就称为一个集合，这个整体的每个对象称为memberelement）。
或该集合的一个元素（abc等表示集合的元素A,B,C·
用大写字母等表示集合，用小写字母,,
aaa属于集合A的元素，或说A表示：
是集合·
Aaaa不属于集合A的元素，或说表示：
不是集合·
AA·
集合中的元素是无序的，不重复的。
通常使用两种方法来给出一个集合：
列元素法：
列出某集合的所有元素，如：
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}表示所有小于10的自然数所构成的集合
abz}表示所有小写英文字母所构成的集合,…,·
B={,
性质概括法：
使用某个性质来概括集合中的元素，如：
A={n|n是小于10的自然数}
C={n|n是质数}表示所有质数所构成的集合
集合由它的元素所决定，换句话说，两个集合A和B相等，记为A=B，如果A和Baa属于集合B。
属于集合A当且仅当具有相同的元素，即subsetaa也属于则，如果属于集合A）：
说集合A是集合B的子集，记为AB·
子集（propersubset）（，如是集合。
说集合AB的真子集且。
因此集合BA=B当且仅当ABBA果AB且A不等于B（AB）。
emptyset）：
约定存在一个没有任何元素的集合，称为空集，记为，有时也用{}·
空集（。
）为什么（来表示。
按子集的定义，空集是任何集合的子集．
powerset）：
集合A的幂集，记为P（A）（，是A的所有子集所构成的集合，即：
幂集
P（A）={B|BA}
例如，A={0,1}，则P（A）={{},{0},{1},{0,1}}
显然，对任意集合A，有P（A）和AP（A）
complementset的元素所构成A，是那些不属于集合集合A的补集，记为·
补集（A）：
xx的情况下讨论集合的补集。
全集A={。
通常来说，是在存在一个全集|UA}的集合，即U是所讨论的问题域中所有元素所构成的集合。
xxxunion，集合的并可|B}A：
集合A和B的并AB定义为：
AB={或者·
集合的并（）,A都是集合，它们的并定义为：
推广到多个集合，设A,A,…n21i存在某个}，使得xAAA…A={x|in21xxintersectionx，集合A而且B的并AB定义为：
AB={B}|·
集合的交（）：
集合A和都是集合，它们的交定义为：
A,…,A的交也可推广到多个集合，设An12i}，都有xAAA…A={x|对所有的in21xdifferencexxAB={B}|。
A而且·
集合的差（）：
集合A和B的差AB定义为：
2.关系和函数的基本概念bbaaorderedpair的有序对，BA,是两个元素，·
有序对（是两个集合，）：
设A和B和baaab},{}}记为<
,，定义为集合>
{{。
abbababaa可以证明<
>
>
=<
设<
当且仅当>
和<
,>
是两个有序对，112112221bab（=且如何证=）。
221aaan是元素，A,…,,A·
有序对可推广到个元素，设A,A,…是集合，AA,nnn221112aaaannorderedtupleaaa注意这是一>
<
,…,>
为，,,…,>
（定义有序元组-）<
nnn-11122ninductiven定义归纳个（），将有序元组的定义归结为有序-1元组的定义。
aaabbbababa=>
当且仅当,…,且>
=,且…,…,且·
显然有<
nnn22211112b。
=ncartesianproduct）：
两个集合A和B·
集合的笛卡尔积（的笛卡尔积AB定义为：
ababB}AB={<
A,且>
|
abc}，B={1,2}A={，则：
,·
例如，设aabbcc,2>
},2>
<
2>
1>
AB={<
1>
笛卡尔积可推广到多个集合的情况，集合A,A,…,A的笛卡尔积定义为：
n21aaaaaaA}且且={<
,…,A>
|且…AAA…Annn22112211nrelationnn元关系R为集,AA,…·
集合之间的关系（,A）：
定义之间的一个个集合n21aaaa,
，若<
A<
…,,…,A>
A,A合A,A,…的笛卡尔积AA…A的一个子集。
设nnn11121n2221aaaaa间具有关系R，否则称它们不具有关系R，则称。
特别地：
,…,…,,>
Rn22n1n元关系。
为A上的=…=A=A时，称R·
当A=An21nbinaryrelation）。
间的一个二元关系（R为A与A·
当=2时，有RAA，称2211aaaaaaaa。
通常研究得最多的是>
R>
R则简记为）记为R，否则（即<
R这时若<
,22112121n元关系的许多性质可从二元关系的性质扩充而得到。
如果没有特别指明的话，二元关系，R是一个二元关系。
说R是一个关系则是指n上满足某种性质的子集。
R是集合·
当A=1时，这时可认为上的二元关系：
R是A·
关系的一些性质：
设aareflexiveaRA有。
说R是自反的（），如果对任意的aairreflexiveaRR是反自反的（，如果对任意的）。
A有·
说
abbasymmetricbaR（·
说R是对称的则），如果对任意的,有若A。
Raabantisymmetricbaba=
则R且R有若A,如果对任意的，）（是反对称的R说·
b。
transitiveabcabbcac。
则），如果对任意的且,,RA有若R·
说R是传递的（Requivalence），如果R是自反的、对称的和传递的。
·
说R是等价关系（functionmappingf是A和B：
定义集合A到·
集合之间的函数（B，或说映射的函数）xyfxzfyz。
因此函数是A和>
及=,B>
的笛卡尔积AB的一个子集，且满足若<
之间,则ff:
AB。
为到B的函数的一个特殊的二元关系。
通常记集合Afdomainf）定义为：
的定义域（·
函数）dom（:
ABfxyxyf}<
）={,|存在某个Bdom（使得frangef）定义为：
（·
函数）ran（:
AB的值域
fyxxyf}>
|存在某个A使得ran（）={<
xyfyfxyxfimagexy在函数）>
在函数，通常记，为下的像（（），并称<
若为,为f下的原像。
nf:
AA…A元的情形：
B，意味着：
函数也可推广到n21f是AA…AB的一个子集，且·
n21xxxyfxxxzfyz。
…,·
则,,…,,,=>
且<
n22n11f:
AB是集合A到B·
函数的一些性质：
设的函数：
ftotalfunctionffpartial
（，否则称），若dom（·
说是全函数（是偏函数）=Afunction）。
下面如果没有特别指明的话，都是指全函数。
fsurjectionfmapsontof）=B，即对任意的B）,或说，如果ran（A·
说（是满射yB都有原像。
finjectionfisone-onefxfxxx，则）即对=）=，（·
说是单射，或说）如果有（（2211y，如果它有原像的话，则有唯一的原像。
B任意的．
fbijectionff既是满射，又是单射，即对任），或说·
说，如果是双射（是一一对应yxA，都有唯一的原像，同样根据全函数的定义，对于任意意的都有唯一的像。
这时可Bfinversefunctionffyxfxyf
。
显然（（以定义）=的逆函数（）=），记为当且仅当:
BA，-1-1
也是双射。
-1cardinalnumber）或说势：
集合A的基数记为·
集合的基数（|A|，且有：
对于有限集合A，令A的基数为A中元素的个数。
定义无限集合，不直接定义基数，而是通过定义两个集合之间的等势关系来刻划
equipotent），如果存在一个从A到BA和集合B是等势的（的双集合的基数或势，说集合射。
根据双射的性质，可以证明等势是集合上的一个等价关系。
enumerable），有限集和可列集统称为可数集·
称与自然数集等势的集合为可列集（
countable）。
（
设A和B是有限集合，有|P（A）|=2，|AB|=|A||B|。
|A|3.小结
下面以树的形式给出了以上主要概念之间的关系：
集合
子集集合的补、并、交、差有序对
幂集笛卡尔积
关系
关系的自反、对称、传递性函数
单射、满射、双射
4.归纳定义和归纳证明
inductivedefinition通常分为三步：
）（·
一个集合的归纳定义
归纳基：
一些基本的元素属于该集合；
归纳步：
定义一些规则（或者说操作），从该集合中已有的元素来生成该集合的新的元素；
最小化：
该集合中的所有元素都是通过基本元素以及所定义的规则生成的，换句话说，该集合是由基本元素及规则所生成的最小的集合。
N的归纳定义：
自然数集N。
0是一个自然数，即0[1].归纳基：
nnnn），即则的后继为的后继也是自然数。
记[2].归纳步：
若succ（是自然数，nNnNnn+1。
）若的后继为。
为方便起见，后面也记，则succ（
[3].最小化：
所有的自然都通过步骤[1]和[2]得到，或者说自然数集是通过步骤[1]和[2]得到的最小集合。
这种定义方式可推广到对其他一些概念的定义，例如上述多个集合的并、交、笛卡尔n元组都可通过递归的方式定义。
例如，有序对于多个集合的并可定义为：
积以及多个元素的xxxA}={A或者|A·
A2211·
归纳步：
AA…A=（AA…A）Annn-12112·
这里不需要最小化，因为这里不是定义集合。
数学归纳法：
关于自然数的许多性质都可通过数学归纳法来证明，对于性质R，如果nn+1也成立，那么性质R成立，而且如果对于它对0对所有成立的话，能够得到它对于的自然数成立。
这种证明方法的正确性本身可通过自然数的归纳定义来得到证明：
N|性质R对n·
定义集合S={n成立}
根据上面的定义有0S
nn+1S，所以S·
根据上面的定义有如果S，则是满足上面自然数集的归
NNS，而是满足这两点的最小集合，所以有中的1、2点的一个集合，而自然数集纳定义NN。
，所以显然有SS=
nnn+1））/21+2+…+*（=（·
数学归纳法举例：
使用数学归纳法证明n=0时显然成立。
当
nnnn+1））/2+*（=（·
如果对于（这称为归纳假成立，则有1+2+…
n+1也成立。
显然有：
设），现在要证对于nnnnn+1）*（1+2+…+形式系统+（+1））/2+（+1）=（
S由下列4个集合构成：
形式系统的定义：
一个形式系统
SSymbol）表；
的字母表或说符号（·
一个非空集合，称为形式系统SFS的公式，称为形式系统·
一个由中字母的有限序列（字符串）所构成的集合SSFormula）集；
（FASAxiom）集；
从的公理中选取一个子集（，称为形式系统SSFRRRFFFFn=1,2,…上有一个部分函数集={…|:
}，称为形式·
SSSnSSnSSRuleRFFFFnn元规则。
我们称其为:
是…系统（的规则元的部分函数，）集，其中SSSSnTheorem）：
形式系统中的定理（tAS中的定理。
是形式系统StttSRSRtt,…,中的规则，,,…,那么是形式系统中的定理，而（是归纳步：
nnn2211tS中的定理。
也是形式系统）nRFFFF，通常表示成下面的形式：
…·
对于形式系统中的规则:
SSSSnttt,,,…n21ttRt）,,（,…nn21·
形式系统具有两个特征：
形式化实际上是一个可机械实现的过程，在它里面，符号、规则和演算等被表示SF中的符号得严密、精确。
在形式系统中的符号，只承认公式集中，只能使用字母表SS串的合理性，只能由公理集，根据规则推出有意义的东西来。
形式系统一旦完成，就成了符号串及根据规则进行的符号串的改写，系统与一切实际意义就毫不相干，或者说已经通过这种符号，从实际问题中抽象出了我们所需要研究的内容。
在形式系统内部，所能认识的只能是符号串及其改写，只能在形式系统外对这种符号串及规则赋予意义。
ObjectlanguageMetalanguage）：
）与元语言（·
对象语言（·
数理逻辑所研究的是“数学推理”，而使用的方法也是数学推理，所以有必要区分这两个层次的推理。
把作为研究对象的“推理”形式化，使用形式语言来表示作为研究对象的“推理”的前提、结论和规则等，这种形式语言是我们所研究的对象语言。
另一方面，关于形式系统的性质、规律的表达和作为研究方面的推理方式使用另一种语言来表达，这个语言称为研究的元语言，通常使用半数学化的自然语言。
SyntaxSemantic）：
（（·
形式语言的语法）与语义·
形式语言的语法是构成形式系统的公式集、公理集和规则集的法则。
形式语言的语义是关于形式系统的解释和意思。
形式语言本身没有含义，但我们在构造它们时是假想它们能代表某种意义的，特别的当我们在选择形式系统的公理时，总是选择所研究的问题域中那些最为明显或最容易公认为正确的性质。
6.习题
请回答下列问题：
，}是素数n且10B={n|n，}是奇数n且10A={n|n令集合1.
a）请用列元素的方法列出集合A和集合B，请问集合B是否是集合A的子集
b）请计算AB、AB、AB、AB以及P（A）（即A的幂集）。
abab是互质的自然数}，和2.设关系R={<
请问,R>
|是自反的吗对称的吗传递的吗为什么
fababfafb）}，,A,（3.设上的如下二元关系：
:
AB是函数，R是AR={<
（,证>
|）=
明R是A上的一个等价关系。
nnnn+1））/6*（+…+=（+1）*（2+34.使用数学归纳法证明：
1+22222fNNNfnnnf是不是单射、满射或双射5.设有函数（:
+1>
）=<
，请问，,
*6.设R和R都是A上的等价关系，请问RR和RR是否还是A上的等价关系如果是212121请证明，否则请举一反例。
aA，可定义：
是集合设RA上的等价关系，*7.
ababaa关于R的等价类；
]A|R为}，称a）[[]={
aaA}，称A关于Rb）A/R={[]|的商集。
fafaaf是单射R）=[满足怎样的条件时设函数]:
AA/R定义为对任意有A，请问（xyzxyzxxyxyz}},},{,，则如果*8请给出<
},{,>
的集合方式的定义。
若定义：
[,,,]={{xyzxyzxxyyzz===],,[有,]=[,是否意味着有且且212121222111．
第二讲数理逻辑
一、命题逻辑（PropositionalLogic）
1.内容概述
简单命题与复合命题：
什么是命题命题联结词及其含义。
命题公式与赋值：
命题逻辑公式的归纳定义，命题公式的真值表。
等值演算：
命题公式的等值赋值，重要的等值式。
命题联结词的完备集：
通过等值演算得到命题联结词的完备集和极小完备集。
命题公式的范式：
析取范式与合取范式。
命题演算系统：
使用命题逻辑公式进行推理的形式系统。
命题演算系统的语义与命题演算系统的元性质：
注意区别形式系统的语法和语义。
2.简单命题与复合命题
proposition）：
经典命题逻辑中，称能判断真假但不能既真又假的陈述句为命题。
命题（
命题对于命题逻辑来说是一个原始的概念，不能在命题逻辑的范围内给出它的精
确定义，只能描述它的性质。
命题必须为陈述句，不能为疑问句、祈使句、感叹句等，例如下述句子为命题：
小于102.8是有理数1.3
23.是素数4.乌鸦是黑色的下列句子不是命题：
2.1.这个小男孩多勇敢啊！
乌鸦是黑色的吗
3.但愿中国队能取胜。
请把门开一开！
4.
下列句子不可能判断其为真或为假，所以也不是命题：
xy>
101.2.+我正在撒谎
命题必须具有真假值，从某种意义上来说，疑问句、祈使句、感叹句没有真假之
分。
但能判断真假，并不意味着现在就能确定其是真还是假，只要它具有能够唯一确定的真假值即可，例如下述陈述句是命题：
1.明年的中秋节的晚上是晴天2.地球外的星球上存在生物
3.21世纪末，人类将居住在太空4.哥德巴赫猜想是正确的
经典命题逻辑不区分现在已确定为真，还是将来可能确定为真这种情况，处理与
时间有关的真值问题是时态逻辑的任务。
经典命题逻辑也不区分是在技术上可以确定为真，还是现在的技术条件下不可
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