（5）设向量组I：
冬，σ2,..∙αf可由向量组II：
卩、,/?
,•••A线性表示，下列命题正确的是
（A）若向量组I线性无关，则r≤s（B）若向量组I线性相关，则厂>s
（C）若向量组II线性无关，则虫S（D）若向咼组II线性相关，则厂>S
⑹设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=0,若A的秩为3,则A相似于
'1
'1
1
1
（B）
1
-1
■0.
OXVO
（8）设∕∣（x）为标准正态分布的概率密度，厶⑴为［一1，3］上的均匀分布的概率密度•af∖（χ）x≤0
若/（χ）=t∙c（α>0e>0）为概率密度，则应满足
hj2{x）x>O
（A）2a+3b=4（B）3a+2b=4
（C）a+b=∖（D）a+b=2
2.填空题：
旷14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
⑼设可导函数y=y（x）由方程=^XSint2dt确定,
（10）设位于曲线y=1、（e≤XV+S）下方，X轴上方的无界区域为G,则G
Jx（I+In'x）
绕X轴旋转一周所得空间区域的体积是•
（11）设某商品的收益函数为R（P）,收益挥性为1+/A其中”为价格，且R（I）=I,
（12）若曲线y=√+农+bx+1有拐点（-1,0）,则/?
=・
（13）设A,B为3阶矩阵,且PIl=3,∣B∣=2,∣A~,+B∣=2,贝∣J∣A+B^,=,
（14）设x2>兀为来自整体N（∕Λσ2）（σ>0）的简单随机样本，记统计量
3.解答题：
15-23小题，共94分•请将解答写在答题纸指定的位置上•解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤•
（15）（本题满分10分）
I1
求极限Iim（XX—1）InV
.t→+∞
（16）（本题满分10分）
计算二重积分∫∫（x+y）idxdy,其中D由曲线X=√l+y2与直线x+√2y=0及D
x-JΣy=0围成。
（17）（本题满分10分）
求函数"=Λ>∙+2yz在约束条件F+F+z2=10下的最大值和最小值
（18）（本题满分10分）
（I）比较∫ι1∣lnr∣[ln（l+r）μ∕r与[:
广IlnfMG=1,2,…）的大小，说明理由
（II）设M,,=∫'∣ln∕∣[ln（l+r）]∖∕r（h=1,2,∙.∙）.求极PKlimw,,
（19）（本题满分10分）
设函数/（x）在[0,3]上连续，在（0,3）内存在二阶导数，且2∕（0）=∫θ∕（Λ-χv=/⑵廿⑶，
（I）证明：
存在；7∈（0,2）,使/（"）=/（0）
（II）证明：
存在⅞∈（0,3）,使/（⅞）=0
（20）（本题满分11分）
λ1
1
a
设A=
02-1
0
b=
1
J1
J
已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解
（I）求久，a
（II）求方程组Ax=b的通解
（21）（本题满分11分）
0-14
设A=-13«,正交矩阵0使得C7Λ（2为对角矩阵，若0的第1列为
4a0
（22）（本题满分11分）
设二维随机变量（X,Y）的概率密度为fix,y）=Ae-2^,-y2,-CO<%<÷CO,-8'∣-v）
（23）（本题满分11分）
箱内有6个球，英中红，白，黑球的个数分别为1,2,3,现在从箱中随机的取出2个球，设X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数，
（I）求随机变量（X,丫）的概率分布
（II）求COV（X,Y）
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：
1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
V-V3
（1）函数/（X）=—的可去间断点的个数为
SInπx
（2〉当XT0时＞/（λ）=X-Sinax与g（x）="ln（l-加）是等价无穷小，则
（4）设函数y=f（χ）在区间［-1,3］上的图形为
/（AO
（5）设AB均为2阶矩阵，C分别为AB的伴随矩阵,若IAI=2JBI=3,则分
0
0
2>
（A）P（AB）=O.
（6）设AP均为3阶矩阵，0为P的转置矩阵，且PlAP=
若P=（al,a1,α3X（2=（Qrl+a2.a2.ay）>则QlA0为
（I10、
rI10、
（A）
110
.（B）
12O
l002
002
（IO0'
rO0、
（C）
O1O
.（D）
020
<0O2丿
‘°OL
（7）设事件A与事件B互不相容，则
⑻P（AB）=P（A）P（B）・
Y的概率分布为
（8）设随机变MX⅛r相互独立，且X服从标准正态分布N（OJ）,
P（K=O）=P（K=I）=丄，记U（Z）为随机变MZ=XY的分布函数，则函数代（Z）的间断
2
二填空题：
旷14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上•
（10）设z=（x+evy∖H∣J—
（1.0）
∂x
Xe"-f-ir
（11）幕级数工一疋的收敛半径为•
紜n-
（12）设某产品的需求函数为Q=Q（P）,其对应价格P的弹性O=O.2,则当需求疑
为IOOOO件时，价格增加1元会使产品收益增加元.
"300、
（13）设α=（l,l,l）7^,0=（1,0,灯7^,若矩阵妙'相似于000,贝咔=.
<θ°0>
（14）设X「X2,-,X,π为来自二项分布总体B（n,P）的简单随机样本，戸和S’分别
为样本均值和样本方差，记统计⅛T=X-52,则Er=.
三、解答题：
15〜23小题，共94分•请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分9分）
求二元函数/（λ;y）=X2（2+y2J+yIny的极值.
（16）（本题满分10分）
（17）（本题满分10分）
计算二重积分JJ（X-刃cZr√y,其中D={（x,y）∣（x-1）'+（>,-l）2≤2,y≥x}.
D
（18）（本题满分11分）
（I）证明拉格朗日中值泄理，若函数/（X）在W问上连续，在（d,b）上可导，则
gw（d,町,得证fφ）-f{a）=f∖ξ）（b-a）.
（II）证明：
若函数/（兀）在X=O处连续，在（0,σ）Λσ>0）内可导，且Iimf（X）=A,则心（0）存在，且f+（O）=A∙
x→0*
（19）（本题满分10分）
设曲线y=f（x）,其中∕ω是可导函数，且/（X）>0.已知曲线y=fM与直线y=O,x=1及X=t{t>1）所用成的曲边梯形绕X轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形而积值的ZTt倍，求该曲线的方程.
（20）（本题满分11分）
设
<1
-1
-1「
-1]
A=
-1
1
1
，⅜=
1
3
-4
一2丿
T
（I）求满足Aξ2=ξx,A2⅛=⅞的所有向量§2,纟3・
（II）对（I）中的任意向≡¾,ξ3,证明ξltξ2,ξ3线性无关.
（21）（本题满分11分）
设二次型
/（XpX25X3）=ax}2+αv22+（λ-I）x32+2xlx3-2x2x3・
（I）求二次型/的矩阵的所有特征值•
（II）若二次型/的规范形为y12+y22.求"的值.
（22）（本题满分11分）
设二维随机变⅛（X.K）的概率密度为
OVyVX
其他
（I）求条件概率密度fγlx（y∖χ）;
（H）求条件概率p{x≤ι∣r≤ι}.
（23）（本题满分11分）
袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求
以X、Y.Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.
（I）求p{x=l∣z=θ}:
（II）求二维随机变量（X,Y）的概率分布.
2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：
1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
∫f7（0^
（1）设函数/（x）在区间［-1,1］上连续，则X=O是函数g（x）=的（）
X
（A）跳跃间断点.（B）可去间断点.
（C）无穷间断点.（D）振荡间断点.
（2）
如图，曲线段方程为y=∕（χ）,函数fω⅛区间［0,m上有连续的导数，则立积分
J：
H（XM•等于（）
（A）曲边梯形ABOD面积.（B）梯形ABOD面积.
（C）曲边三角形ACD≡积.（D）三角形ACDWi积.
（3）已知/（x,y）=fEr,则
（A）£'（0,0）,∕v,（0,0）都存在
（B）£'（0,0）不存在，<（0,0）存在
（C）£'（0,0）存在,<（0,0）不存在
（D）£'（0,0）,A（0,0）都不存在
（4）设函数/连续，若F（π,v）=ffM,λ^^+V）J.v⅛¼英中％为图中阴影部分，则乞=
（A）Vf（Ir）（B）-f（u2）（C）Vf（U）（D）-/（M）
UU
（5）设A为阶非O矩阵，E为”阶单位矩阵，若A3=O,则（）
（A）E-A不可逆，E+A不可逆.
（B）E-A不可逆，E+A可逆.
（C）E-A可逆，E+A可逆.
（D）E-A可逆，E+A不可逆.
（6）设AJ1
2、
b
则在实数域上域与A合同的矩阵为（）
12
T
1
（2-↑}
（A）
.（B）
-2,
（一12
r2
1-2}
（C）
■
（D）
<1
2丿
、-21丿
（7）随机变≡X,y独立同分布，且X分布函数为F（X）,则Z=max{X,y}分布函数为（）
（A）F2（x）.（B）F（X）F（y）.
（C）1-[1-F（x）]2.（D）[1-F（χ）][i-F（y）].
（8）随机变量X~N（O,1）,F~N（1,4）且相关系数PXY=1,则（）
（A）P{Y=-2X-∖}=∖.（B）P{y=2X-l}=l.
（C）p{r=-2X÷ι}=ι.（D）p{y=2X+ι}=ι.
二、填空题：
9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（10）设/（x+丄）=^4,则f27τ∕（XXV=
（11）设D={（x9y）∖x2+y2≤∖},则∫∫（x2-y∖lxdy=
（12）微分方程λ/+y=O满足条件y（l）=1的解是y=.
（13）设3阶矩阵A的特征值为1,2,2,E为3阶单位矩阵，则∣4A~,-E=.
（14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X=EX2}=.
三、解答题：
15-23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
求极限Iim-Iln-・
（16）（本题满分10分）
设Z=Z（X,y）是由方程x2+y2-z,=φ（x+y+z.）所确定的函数，貝中e具有2阶导数
且φf≠-∖时•
（I）求dz
（17）（本题满分11分）
计算JjmaX（Ay,l>∆∙√y,英中D={（x,y）∣O<λt≤2,0≤v≤2）.
D
（18）（本题满分10分）
设ι∕（x）是周期为2的连续函数，
（I）证明对任意的实数f,有∫,+2∕（Λ-）Jx=∫θ∕（x）6∕X;
（II）证明G（λ-）=∫i'f（s）ds力是周期为2的周期函数.
（19）（本题满分10分）
设银行存款的年利率为r=0.05,并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元
（20）（本题满分12分）
设”元线性方程组Ax=b,其中
（Ia
1
\
'x∖'
'1'
A=
a2
••
••
••
1
9
X=
A2
■
■
■
b=
0
•
■
■
2
Cr
2勺
n×n
0
（I）求证行列式∣A∣=（n+l）βn;
（II）"为何值时，该方程组有唯一解，并求母：
（HI）"为何值时，方程组有无穷多解，并求通解。
（21）（本题满分10分）
设A为3阶矩阵，q,勺为A的分別属于特征值-1」的特征向量，向量如满足
Aa3=a1+a39
（I）证明V2,①线性无关；
（II）令P=Smm）,求P"AP.
（22）（本题满分11分）
设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X=∕}=-（Z=-1,O,1）,Y的概率
Z、10≤y≤l
密度为Λ（y）=0其;，记z=x+r
（I）求p]z≤1X=O,
2
（id求Z的概率密度fza）.
（23）（本题满分11分）
设X-X”…,X〃是总体为N（T）的简单随机样本.记X=-YXi,
（I）证明T是“2的无偏估计量∙
（II）当“=0,b=1时，求D7∖
2007年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：
1〜8小题，每小题4分.共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上
（I）当χ→0+时，与J7等价的无穷小量是（）
（2）设函数∕α∙）在X=O处连续，下列命题错误的是（）
（A）若Iim丄巴存在，则/（0）=0
∙r→0X
（B）若Iim、/H7存在，则/（0）=0
5X
（C）若lim∕4存在，则/10）存在
v→0X
（D）若Iim"°一"一°存在，则厂（0）存在
（3）
如图，连续函数y=∕（x）在区间[-3,-2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2,0],[0,2].E图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F（x）=∫oζ∕（rχ∕/,则下列结论正确的是（）
（C）F（-3）=-F
（2）
4
4
⑷设函数f（x.y）连续，则二次积分f{x.y）dy等于（）J—Jsin.r
（5）
设某商品的需求函数为0=16O-2q,其中0,Q分别表示需要量和价格，如果
该商品需求弹性的绝对值等于1,则商品的价格是O
（A）10（B）20（C）30（D）40
（6）曲线y=-+∖n（∖+ex∖渐近线的条数为（）
X
（A）0（B）1（C）2（D）3
（7）设向蚩:
组α1,1α3线性无关，则下列向量组线性相关的是（）
（A）α1-α2,a1-a.♦a.
一4
（B）αl+α2>a2+a.,ct.+al
（C）Qrl-Ia25a2一2Sa-2α∣
（D）ai+2a1,a2+2alt,J+2α1
'2-1-1、
100、
（8）设矩阵A=<
-12-1
B=
010
S则A与BO
-1-12
Wy
000
（A）合同，且相似
（B）合同，但不相似
（C）不合同，但相似
（D）既不合同，也不相似
（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（）
（A）3∕?
（I-P）2（B）6∕?
（I-P）2
（C）3P2（∖-P）2（D）6p2（I-P）2
（10）设随机变⅛（X,r）服从二维正态分布，且X与丫不相关，ΛU）,∕v（y）分别表示
X,Y的概率密度，则在y=y条件下，X的条件概率密度fxμχ∖y）为（）
（A）fxw（B）Λ（y）
（C）AWA（J）
2.填空题:
11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
（11）Iim人+人+"（SinX+COSx）=・
γ→0°
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