离散型人寿保险与生存年金的方差计算文档格式.docx

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容易看出，以上公式的右边正是一个随机变量的数学期望。

假设用T表示一个x岁的被保险人在签单之后的死亡时间，用Z表示保险人为这个投保人将来所支付的保险金的现值，对于投保n年定期寿险的被保险人，T与Z之间的关系为：

，

；

当被保险人在签单后的（x，x+1）之死亡时，在x+1的整数年给付1单位元，这1单位元在签单时（x岁）的现值为

；

当被保险人在签单后的（x+1，x+2）之死亡时，在x+2的整数年给付1单位元在签单时（x岁）的现值为

……；

当被保险人在签单后的（x+n-1，x+n）之死亡时，在x+n的整数年给付1单位元在签单时（x岁）的现值为

当被保险人的存活年龄超过x+n岁，就停止给付。

将随机变量T和Z的取值及其相应的概率列表如下：

T

0≤T<

1

1≤T<

2

……

n-2≤T<

n-1

n-1≤T<

n

T≥n

Z

v

v2

vn-1

vn

p

显然，以上的概率系列构成一个全概率空间：

（2）

所以有：

（3）

因此，我们可以采用以下公式来计算Z的方差：

（4）

在计算

时只需采用目前通用的方法就可以了，现在只需要计算出公式中

的值。

为了保持符号的一致性，我们记：

将分子和分母同乘

：

（5）

为了简化公式和方便计算，我们设置以下几个新的转换函数：

以上公式就可以简化成：

（7）

由此而计算出寿险的方差：

，或记做：

（8）

用同样的推导过程，我们还可以得到终身寿险和延期寿险趸缴净保费的方差：

（9）

（10）

对于给定的死亡率，利用计算机软件，我们可以非常容易地制作以上这些转换函数计算表，例如，对于“中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）”中给出的男女混合死亡率，利用计算机软件编制的用于计算方差的转换函数表如下：

中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）换算表（男女混合，局部）利率：

6%

年龄（x）

2Dx

2Nx

2Sx

2Cx

2Mx

2Rx

1000000.00

9007347.06

81246738.35

2588.9996

9159.7570

69916.6079

887407.44

8007347.06

72239391.28

1592.2156

6570.7574

60756.8508

788197.25

7119939.62

64232044.22

1031.1943

4978.5418

54186.0934

3

700461.55

6331742.38

57112104.60

694.4768

3947.3475

49207.5516

4

622713.81

5631280.83

50780362.22

483.2738

3252.8707

45260.2041

5

553729.80

5008567.02

45149081.40

345.9579

2769.5969

42007.3335

6

492471.59

4454837.22

40140514.38

253.7745

2423.6389

39237.7366

7

438044.19

3962365.63

35685677.16

190.6404

2169.8644

36814.0976

8

389667.13

3524321.44

31723311.53

146.0038

1979.2240

34644.2332

9

346656.35

3134654.31

28198990.10

115.3876

1833.2202

32665.0093

10

308407.53

2787997.95

25064335.79

94.9706

1717.8326

30831.7891

11

274386.64

2479590.42

22276337.84

82.7849

1622.8620

29113.9565

12

244120.34

2205203.79

19796747.41

77.3468

1540.0771

27491.0945

13

217188.89

1961083.44

17591543.63

76.5457

1462.7303

25951.0174

14

193220.79

1743894.55

15630460.19

78.5884

1386.1846

24488.2870

15

171887.23

1550673.76

13886565.63

80.9259

1307.5962

23102.1025

16

152898.10

1378786.53

12335891.88

81.9194

1226.6703

21794.5063

17

135996.84

1225888.43

10957105.35

81.0946

1144.7509

20567.8360

18

120955.61

1089891.59

9731216.92

77.9386

1063.6563

19423.0851

19

107572.12

968935.98

8641325.33

72.9530

985.7177

18359.4288

20

95665.85

861363.85

7672389.35

66.2407

912.7647

17373.7111

21

85076.03

765698.00

6811025.50

59.3624

846.5240

16460.9464

22

75658.00

680621.97

6045327.50

52.5216

787.1616

15614.4224

23

67282.83

604963.97

5364705.53

45.9291

734.6400

14827.2609

24

59835.55

537681.14

4759741.56

40.0466

688.7109

14092.6209

25

53213.38

477845.59

4222060.42

34.9515

648.6643

13403.9100

（二）生存年金的方差计算原理与模型

生存年金是指以年金保险的被保险人的生存为条件，在保险有效期按照年金方式支付保险金的保险。

与人寿保险相同，用T表示一个x岁的被保险人在签单之后的死亡时间，用Y表示保险人为这个投保人将来所支付的保险金的现值，对于投保期首给付、终身生存年金的被保险人，T与Y之间的关系为：

将随机变量T和Y的取值及其相应的概率列表如下：

2≤T<

ω-1≤T<

ω

Y

表中的概率系列构成全概率空间。

（11）

（12）

所以：

（13）

对于每年期首末给付1单位元的n年定期生存年金，用同样的推导过程可以得到其方差的计算公式为：

（14）

三、应用举例

（一）寿险的方差计算

对于一男一女两个被保险人同为30岁、投保20年定期死亡年末给付的寿险，试采用“中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）”比较他们两人寿险的风险大小。

首先利用计算机软件分别编制专用于计算方差的男性和女性转换函数表和计算方差的软件，然后分别计算他们的方差。

应用公式（8），计算男性被保险人的趸缴净保费方差为：

应用公式（8），计算女性被保险人的趸缴净保费方差为：

计算结果表明，在相同寿险险种的情况下，女性被保险人的方差较小，说明保险人未来支付的保险金的稳定性较好，同时，收取的净保费相对较少。

考虑到两者收取的净保费（期望值）不同，分别计算两者的标准差系数为：

从保险金的离散程度来看，男性被保险人的离散程度相对较小。

如果将以上寿险调整为死亡时即付，即连续型寿险，在UDD假设下，计算结果为：

（二）生存年金的方差计算

对于一男一女两个被保险人同为30岁、投保期首付终身生存年金，试采用“中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）”比较他们两人寿险的风险大小。

解：

应用公式（13），计算男性被保险人的趸缴净保费方差为：

净保费为：

应用公式（13），计算女性被保险人的趸缴净保费方差为：

计算结果表明，在相同生存年金的情况下，女性被保险人的方差比男性稍大。

这个结果与寿险的情况不同，说明生存保险和死亡保险对于保险人的风险是不同的。

在以上的计算结果中，导致男女性别的差异使得保险人承担的风险不同的原因，是因为在生命表中，两种性别被保险人的存活概率的不同，在所有的年龄段上，女性存活概率都要大于男性。

四、结束语

本文探讨了借助与生命表、采用计算离散型寿险和生存年金的方法，通过编制专用的转换函数来计算寿险和生存年金的方差，从而避开了难以获得的被保险人的死亡概率密度函数，使得方差的计算简便易行，具有实际意义。

参考文献

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