高中数学三角函数疑点难点讲解.doc

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高中数学三角函数疑点难点讲解

【考点审视】

1、掌握三角函数概念，其中以三角函数的定义学习为重点。

（理科：

兼顾反三角）

2、提高三角函数的恒等变形的能力，关键是熟悉诱导公式、同角关系、和差角公式及倍角公式等，掌握常见的变形方法。

3、解决三角函数中的求值问题，关键是把握未知与已知之间的联系。

4、熟练运用三角函数的性质，需关注复合问题，在问题转化过程中，进一步重视三角恒等变形。

5、掌握等的图象及性质，深刻理解图象变换之原理。

6、解决与三角函数有关的（常见的）最值问题。

7、正确处理三角形内的三角函数问题，主要是理解并熟练掌握正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理，提高边角、角角转化意识。

8、提高综合运用的能力，如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理。

【疑难点拔】

一、概念不清

例1．若、为第三象限角，且，则（）

（A）（B）（C）（D）以上都不对

错解选（A）

分析：

角的概念不清，误将象限角看成类似区间角。

如取，可知（A）不对。

用排除法，可知应选（D）。

二、以偏概全

例2．已知，求的值及相应的取值范围。

错解当是第一、四象限时，，当是第二、三象限时，。

分析：

把限制为象限角时，只考虑且的情形，遗漏了界限角。

应补充：

当时，；当时，，或。

三、忽略隐含条件

例3．若，求的取值范围。

错解移项得，两边平方得

即

分析：

忽略了满足不等式的在第一象限，上述解法引进了。

正解：

即，由得

∴

四、忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性

例4．设、为锐角，且+，讨论函数的最值。

错解

可见，当时，；当时，。

分析：

由已知得，∴，则

∴当，即时，，最大值不存在。

五、忽视应用均值不等式的条件

例5．求函数的最小值。

错解

∴当时，

分析：

在已知条件下，

（1）、

（2）两处不能同时取等号。

正解：

当且仅当，即，时，

专题四：

三角函数

【经典题例】

例1：

点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为（）

（A）（B）（C）（D）

[思路分析]记，由三角函数定义可知Q点的坐标满足，故选（A）

[简要评述]三角函数定义是三角函数理论的基础，理解掌握能起到事半功倍的效果。

例2：

求函数的最小正周期、最大值和最小值.

[思路分析]

所以函数f（x）的最小正周期是π，最大值是，最小值是.

[简要评述]三角恒等变形是历年高考考察的主要内容，变形能力的提高取决于一定量的训练以及方法的积累，在此例中“降次、化同角”是基本的思路。

此外，求函数的周期、最值是考察的热点，变形化简是必经之路。

例3：

已知，

的值.

[思路分析]∵

∴得又

于是

[简要评述]此类求值问题的类型是：

已知三角方程，求某三角代数式的值。

一般来说先解三角方程，得角的值或角的某个三角函数值。

如何使解题过程化繁为简，变形仍然显得重要，此题中巧用诱导公式、二倍角公式，还用到了常用的变形方法，即“化正余切为正余弦”。

例4：

已知b、c是实数，函数f（x）=对任意α、βR有：

且

（1）求f

（1）的值；

（2）证明：

c；（3）设的最大值为10，求f（x）。

[思路分析]

（1）令α=，得令β=，得因此；

（2）证明：

由已知，当时，当时，通过数形结合的方法可得：

化简得c；

（3）由上述可知，[-1，1]是的减区间，那么又联立方程组可得,所以

[简要评述]三角复合问题是综合运用知识的一个方面，复合函数问题的认识是高中数学学习的重点和难点，这一方面的学习有利于提高综合运用的能力。

例5：

关于正弦曲线回答下述问题：

（1）函数的单调递增区间是；

（2）若函数的图象关于直线对称，则的值是1；

（3）把函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得的函数解析式子是；

（4）若函数的最大值是，最小值是，最小正周期是，图象经过点（0，-），则函数的解析式子是；

[思路分析]略

[简要评述]正弦曲线问题是三角函数性质、图象问题中的重点内容，必须熟练掌握。

上述问题的解答可以根据正弦曲线的“五点画法”在草稿纸上作出函数的草图来验证答案或得到答案。

例6：

函数

（1）求f（x）的定义域；

（2）求f（x）的最大值及对应的x值。

[思路分析]

（1）{x|x

（2）设t=sinx+cosx,则y=t-1

[简要评述]若关于与的表达式，求函数的最值常通过换元法，如令，使问题得到简化。

例7：

在ΔABC中，已知

（1）求证：

a、b、c成等差数列；

（2）求角B的取值范围。

[思路分析]

（1）条件等式降次化简得

（2）

∴……，得B的取值范围

[简要评述]三角形中的变换问题，除了需要运用三角式变换的所有方法、技巧外，还经常需要考虑对条件或结论中的“边”与“角”运用“正弦定理、余弦定理或面积公式”进行A

B

C

D

互换。

例8：

水渠横断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角α应该是多少？

[思路分析]CD=,C=,转化为考虑y=的最小值，可得当时，y最小，即C最小。

[简要评述]“学以致用”是学习的目的之一，三角知识的应用很广泛，在复习过程中应受到重视。

【热身冲刺】

一、选择题：

1．若，则满足=0.5的角的个数是（C）

（A）2（B）3（C）4（D）5

2．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（B）

（A）向右平移个单位长度（B）向右平移个单位长度

（C）向左平移个单位长度（D）向左平移个单位长度

3．已知函数，则下面三个命题中：

（1）；

（2）；（3）；其中正确的命题共有（B）

（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个

4．若是奇函数，且当>0时，，则当时，为（C）

（A）（B）（C）||（D）||

5．函数是奇函数，则等于（D）

（A）（B）（C）（D）

6．如果圆至少覆盖函数的一个最大值点和一个最小值点，则的取值范围是（B）

（A）（B）（C）（D）

7．若∈[]，则y＝

的最大值是（C）

（A）（B）（C）（D）

8．．函数在区间[上的最小值为-，则的取值为（C）

（A）[（B）[0，（C）[（D）

9．若△ABC面积S=则∠C=（C）

（A）（B）（C）（D）

10．已知向量则与的夹角为（A）

（A）（B）（C）（D）

二、填空题：

11．若是以5为周期的奇函数，=4,且cos，则=-4.

12．函数=lg（sincos）的增区间是

13．用表示不超过实数的最大整数。

则=-81。

14．设，且，则的取值范围是；

三、解答题：

15．（文）求函数的定义域。

答案：

（理）二次函数f（x）的二次项系数是负数，对任何，都有）=，设M=[arcsin（sin4）]，N=[arcos（cos4）]，讨论M和N的大小。

答案：

M>N

16．在锐角三角形ABC中，

（Ⅰ）求证；（Ⅱ）设=3，求边上的高.

略解（Ⅰ）证明：

所以

（Ⅱ）解：

，

即，将代入上式并整理后解得

，舍去负值，∴

设边上的高为.由AB=AD+DB=得CD=2+.

17．已知，，其中，

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）的最大值、最小值。

答案：

；

18．在锐角ΔABC中，已知A

略证：

由已知得，……进一步可求出……，得，

∴

19．

（1）已知，证明不存在实数能使等式cos+msin=m（*）成立；

（2）试扩大的取值范围，使对于实数，等式（*）能成立；

（3）在扩大后的取值范围内，若取,求出使等式（*）成立的值。

提示：

（1）可化为

（2）（3）

20．设函数=·，其中向量=（2cos，1），=（cos，sin2），∈R.

（1）若且∈[－，]，求；

（2）若函数y=2sin2的图象按向量=（m，n）（|m|<）平移后得到函数y=的图象，求实数m、n的值.

略解：

（Ⅰ）依题设，=2cos2+sin2=1+2sin（2+）.

由，得，∵∴.

（Ⅱ）函数=2sin2的图象按向量=（m，n）平移后得到函数的图象，即函数y=的图象.

由（Ⅰ）得=2sin2（+）+1.∵|m|<，∴m=，n=1.