实验一采样率对信号频谱的影响Word文件下载.docx
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之间的关系，来讨论采样不失真的条件
（7-16）
上式表明，一个连续信号经过理想采样后，其频谱将以采样频率Ωs＝2π／Ts为间隔周期延拓，其频谱的幅度与原模拟信号频谱的幅度相差一个常数因子1／Ts。
只要各延拓分量与原频谱分量之间不发生频率上的交叠，则可以完全恢复原来的模拟信号。
根据式（7-16）可知，要保证各延拓分量与原频谱分量之间不发生频率上的交叠，则必须满足Ωs≥2Ω。
这就是奈奎斯特采样定理：
要想连续信号采样后能够不失真地还原原信号，采样频率必须大于或等于被采样信号最高频率的两倍
，或者
（7-17）
即对于最高频率的信号一个周期内至少要采样两点，式中Ωh、fs、Th分别为被采样模拟信号的最高角频率、频率和最小周期。
在对正弦信号采样时，采样频率要大于这一最低的采样频率，或小于这一最大的采样间隔才能不失真地恢复信号。
对正弦信号采样时，一般要求在一个周期至少采样3个点，即采样频率
3．实验内容
（1）采样率的确定
在本实验中要用到正弦信号、余弦信号和矩形波：
正弦信号：
sin（20πt）；
余弦信号：
cos（20πt）；
矩形波：
频率为50Hz、占空比为1的矩形波
（2）计算采样后所得序列的频谱
①正弦信号在采样率为15Hz、20Hz和50Hz时采样所得序列的频谱；
②余弦信号在采样率为15Hz、20Hz和50Hz时采样所得序列的频谱；
③矩形波在采样率为100Hz、400Hz和800Hz时采样所得序列的频谱；
（3）分析不同信号在不同采样率下频谱的特点
4．实验步骤
（1）复习并理解时域采样定理；
（2）编写Matlab程序计算不同采样率下信号的频谱；
（3）调试程序，排除程序中的错误；
（4）分析程序运行结果，检验是否与理论一致。
5．实验报告要求
（1）阐明实验的目的、原理和内容；
（2）打印主要程序并粘贴在实验报告中；
（3）打印实验结果并粘贴在实验报告中；
（4）针对实验结果加以分析和总结。
6．思考题
（1）对相同频率的正弦和余弦信号，均采用信号频率2倍的采样率采样时所得序列的频谱有何不同？
为什么？
（2）50Hz的矩形波的采样率为何不能为100Hz？
（3）对矩形波，要完全不失真采样率应为多少？
一般采样率为信号频率的多少倍时就可近似认为没有失真？
例3-5-1试求信号x（t）＝sin（100πt）用采样率为80Hz、100Hz、101Hz、150Hz时采样所得序列的频谱，要求频率分辨率为0.5Hz。
解：
频率分辨率为0.5Hz，则频域采样点数分别为160、200、202和300。
程序如下：
deltf=0.5;
%频率分辨率
Fs1=80;
Fs2=100;
Fs3=101;
Fs4=150;
%采样率
N1=Fs1/deltf;
N2=Fs2/deltf;
N3=Fs3/deltf;
N4=Fs4/deltf;
%采样点数
n1=0:
N1-1;
n2=0:
N2-1;
n3=0:
N3-1;
n4=0:
N4-1;
%采样点
x1=sin（100*pi*n1/Fs1）;
x2=sin（100*pi*n2/Fs2）;
%采样
x3=sin（100*pi*n3/Fs3）;
x4=sin（100*pi*n4/Fs4）;
y1=fft（x1）;
y2=fft（x2）;
y3=fft（x3）;
y4=fft（x4）;
%快速傅里叶变换
y1=y1.*conj（y1）/N1^2;
y2=y2.*conj（y2）/N2^2;
%计算功率
y3=y3.*conj（y3）/N3^2;
y4=y4.*conj（y4）/N4^2;
subplot（2,2,1）;
plot（（0:
49）/Fs1,x1（1:
50））;
xlabel（'
时间/s'
）;
ylabel（'
幅度'
axis（[00.6-11.5]）;
text（0.02,1.2,'
采样率为80Hz的时域波形'
subplot（2,2,2）;
plot（n1*Fs1/N1,y1）;
频率/Hz'
幅度（功率）'
text（10,0.32,'
采样率为80Hz的频谱'
%下面显示波形的程序省略
程序运行结果如图3-15所示，信号实际频率为50Hz，现分析如下：
①在采样率为80Hz时，频谱中有两个冲激，分别对应30Hz和50Hz，50Hz的冲激与理论一致，30Hz的冲激为采样率（80Hz）与信号实际频率（50Hz）之差，即30Hz冲激其实是下一周期负频率对应的冲激，表明频谱前后周期之间出现了重叠，即混叠；
②采样率为100Hz时，时域波形和频谱幅度均极小，近似为0，时域波形杂乱无章，频谱也无规律可言，原因在于，采样率刚好为频率的2倍，所以采样点刚好落在了幅值为0处，故几乎无信号；
③采样率为101Hz时，时域波形幅度由0逐渐递增直至达到1，频谱中有两个冲激，一个对应50Hz，一个对应51Hz（两个冲激距离很近），从时域来看出现了失真，从频域来看，基本没有混叠；
④采样率为150Hz时，时域波形与理论波形变化规律一致，但幅度没达到最大理论值1，频谱中有两个冲激，一个对应50Hz，一个对应100Hz，两者关于中心点N/2对称，根据前面的分析可知，100Hz的冲激其实对应于下一周期的负频率的冲激，由于数字频率一般取－π～π（对应于－N/2～N/2），故100Hz的冲激没有影响。
因此，对于正弦信号，采样率低于2fh时将出现频谱混叠。
图3-15x（t）＝sin（100πt）不同采样率的时域波形和频谱
例3-5-2试求频率为50Hz的矩形波用采样率为400Hz、500Hz、600Hz、1000Hz时采样所得序列的频谱，要求频率分辨率为0.5Hz。
矩形波是由基频的奇次谐波构成，最高频率为∞，因此无论如何都将产生频谱的混叠。
但是随着频率的升高，其幅度衰减很快，因此，只要采样频率达到一定程度，就认为没有失真。
在实际处理一些波形时也常采用这一近似。
Fs1=400;
Fs2=500;
Fs3=600;
Fs4=1000;
x1=square（100*pi*n1/Fs1）;
x2=square（100*pi*n2/Fs2）;
x3=square（100*pi*n3/Fs3）;
x4=square（100*pi*n4/Fs4）;
y1=abs（y1）;
y2=abs（y2）;
%计算绝对值
y3=abs（y3）;
y4=abs（y4）;
figure
（1）
stem（（0:
399）/Fs1,x1（1:
400））;
axis（[00.1-1.51.5]）;
text（0,1.25,'
采样率为400Hz的时域波形'
幅度（绝对值）'
text（8,550,'
采样率为400Hz的频谱'
subplot（2,2,3）;
499）/Fs2,x2（1:
500））;
采样率为500Hz的时域波形'
subplot（2,2,4）;
plot（n2*Fs2/N2,y2）;
text（8,750,'
采样率为500Hz的频谱'
figure
（2）
599）/Fs3,x3（1:
600））;
axis（[00.08-1.51.5]）;
采样率为600Hz的时域波形'
plot（n3*Fs3/N3,y3）;
采样率为600Hz的频谱'
999）/Fs4,x4（1:
1000））;
axis（[00.06-1.51.5]）;
采样率为1000Hz的时域波形'
plot（n4*Fs4/N4,y4）;
text（10,1300,'
采样率为1000Hz的频谱'
现分析如下：
①在采样频率为400Hz时，频谱图中出现了比较明显的4个冲激，频率分别对应于50Hz、150Hz、250Hz和350Hz。
50Hz为基频，150Hz为3次谐波，250Hz和350Hz对应于下一周期的3次谐波和基频的负频率。
显然没有5次谐波及以上的冲激，因为5次谐波频率为250Hz，采样率400Hz小于其2倍，出现了混叠失真；
②在采样率为500Hz时，频谱与采样率为400Hz时类似，3次谐波的冲激更加明显，采样率刚好为5次谐波的2倍，但还是没有5次谐波的冲激；
③在采样率为600Hz时，与采样率为500Hz时类似，但是在250Hz处出现了冲激（相对幅度较小），对应于5次谐波；
④在采样率为1000Hz时，基频、3次谐波、5次谐波和7次谐波（350Hz）的冲激均很明显，9次谐波（450Hz）并不明显，说明矩形波在7次谐波以上的谐波可以忽略不计了。
图3-16矩形波在不同采样率的时域波形和频谱
在实际中有一些典型的采样率，数字电话中的采样率为8KHz，高保真语音采样率为44.1KHz，一般在对语音进行处理时，22.05KHz的采样率和11.025KHz的采样率也经常用到。
Fs1=15;
Fs2=20;
Fs3=50;
%采样率
N2=Fs2/deltf;
N3=Fs3/deltf;
%采样点数
n2=0:
n3=0:
%采样点
x1=sin（20*pi*n1/Fs1）;
x2=sin（20*pi*n2/Fs2）;
%采样
x3=sin（20*pi*n3/Fs3）;
y1=fft（x1）;
y2=fft（x2）;
y3=fft（x3）;
%快速傅里叶变换
%计算功率
ylabel（'
axis（[00.6-11.5]）;
text（0.02,1.2,'
采样率为15Hz的时域波形'
subplot（2,2,2）;
plot（n1*Fs1/N1,y1）;
text（10,0.32,'
采样率为15Hz的频谱'
49）/Fs2,x2（1:
采样率为20Hz的时域波形'
plot（n1*Fs2/N2,y2）;
ylabel（'
采样率为20Hz的频谱'
）
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