142 第5课时 两个直角三角形全等的判定.docx

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142第5课时两个直角三角形全等的判定

第5课时　两个直角三角形全等的判定

知识点1　直角三角形全等特有的判定方法——“HL”

1．如图14－2－55，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是（　　）

图14－2－55

A．SSSB．ASA

C．SSAD．HL

2．如图14－2－56，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE，若直接应用“HL”判定

Rt△ABC≌Rt△DBE，则需要添加的一个条件是__________．

图14－2－56

3．如图14－2－57，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF＝CE.求证：

∠B＝∠C.

图14－2－57

知识点2　直角三角形全等判定的综合

4．如图14－2－58所示，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BC＝BD，如果AC＝3cm，那么AE＋DE等于（　　）

图14－2－58

　A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm

5．如图14－2－59，AC⊥BC于点C，DE⊥AC于点E，BC＝AE，AB＝AD，则

∠BAD＝________°.

图14－2－59

6．教材练习第1题变式题如图14－2－60，已知CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F，AC＝BD，CE＝DF.求证：

AC∥BD.

图14－2－60

知识点3　直角三角形全等的实际应用

7．如图14－2－61所示，要测量河两岸相对的两点A，B间的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使点A，C，E在一条直线上，利用△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是（　　）

图14－2－61

　　A．SASB．ASAC．SSSD．HL

8．你一定玩过跷跷板吧！

图14－2－62是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．根据________判定△AA′B≌△BB′A，所以AA′＝________．

图14－2－62

9．图14－2－63，两根长度均为12米的绳子，一端系在垂直于地面的旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？

请说明你的理由．

图14－2－63

10．如图14－2－64，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，DE⊥BC，AC＝6，EC＝6，

∠ACB＝60°，则∠ACD的度数为（　　）

图14－2－64

A．45°B．30°C．20°D．15°

11．如图14－2－65，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝________时，△ABC与△APQ全等．

图14－2－65

12．2018·芜湖期中如图14－2－66，在△ABD中，BC⊥AD于点C，E为BC上的一点，AE＝BD，EC＝CD，延长AE交BD于点F.求证：

AF⊥BD.

图14－2－66

13．如图14－2－67，王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A，B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．

图14－2－67

14．教材例7变式题如图14－2－68，已知∠A＝∠D＝90°，AC＝DB.求证：

OB＝OC.

图14－2－68

15．如图14－2－69，在△ABC与△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，AH，DG分别是△ABC和△DEF的高，且AH＝DG.

（1）求证：

△ABC≌△DEF；

（2）你认为“有两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等”这句话对吗？

为什么？

图14－2－69

教师详解详析

1．D　2.AC＝DE

3．[解析]欲证∠B＝∠C，可以证明△BDF≌△CDE，这是两个直角三角形，可以用“HL”证明．

证明：

因为DE⊥AC，DF⊥AB，

所以∠DFB＝∠DEC＝90°.

因为D是BC的中点，所以BD＝CD.

在Rt△BDF和Rt△CDE中，

因为

所以Rt△BDF≌Rt△CDE.（HL）

所以∠B＝∠C.

4．B　[解析]由条件可得Rt△BDE≌Rt△BCE，

∴DE＝CE.∴AE＋DE＝AE＋EC＝AC＝3cm.

5．90　[解析]∵AC⊥BC于点C，DE⊥AC于点E，∴∠C＝∠AED＝90°.

在Rt△ABC和Rt△EDA中，∵

∴Rt△ABC≌Rt△DAE（HL）．

∴∠B＝∠CAD.∵∠C＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.

∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝∠BAC＋∠B＝90°.

6．证明：

∵CE⊥AB，DF⊥AB，

∴∠CEA＝∠DFB＝90°.

在Rt△ACE和Rt△BDF中，

∵

∴Rt△ACE≌Rt△BDF.（HL）

∴∠A＝∠B.∴AC∥BD.

7．B　[解析]在△ABC和△EDC中，

∵

∴可利用ASA得出△ABC≌△EDC.

8．HL　BB′

9．解：

相等．理由如下：

在Rt△ADB和Rt△ADC中，

∵

∴Rt△ADB≌Rt△ADC.（HL）

∴BD＝CD.即两个木桩离旗杆底部的距离相等．

10．B　[解析]∵AC＝6，EC＝6，∴AC＝EC.∵∠BAC＝90°，DE⊥BC，∴∠DAC＝

∠DEC＝90°.在Rt△ADC和Rt△EDC中，

∵

∴Rt△ADC≌Rt△EDC（HL）．

∴∠ACD＝∠ECD.

∴∠ACD＝

∠ACB＝

×60°＝30°.故选B.

11．5或10　[解析]∵AX⊥AC，∴∠PAQ＝90°.

∴∠C＝∠PAQ＝90°.

分两种情况：

①当AP＝BC＝5时，

在Rt△ABC和Rt△QPA中，∵

∴Rt△ABC≌Rt△QPA.（HL）

②当AP＝CA＝10时，

在Rt△ABC和Rt△PQA中，∵

∴Rt△ABC≌Rt△PQA.（HL）

综上所述，AP＝5或AP＝10时，△ABC与△APQ全等．

12．证明：

∵BC⊥AD，∴∠ACE＝∠BCD＝90°.

在Rt△ACE和Rt△BCD中，∵

∴△ACE≌△BCD.（HL）

∴∠CAE＝∠CBD.

∵∠CAE＋∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEF，

∴∠CBD＋∠BEF＝90°.

∴∠EFB＝90°.∴AF⊥BD.

13．解：

由题意得AD＝6cm，BE＝14cm，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°.

∴∠ACD＋∠ECB＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°.∴∠ECB＝∠DAC.

在△ADC和△CEB中，

∵

∴△ADC≌△CEB.（AAS）

∴AD＝CE＝6cm，DC＝BE＝14cm.

∴DE＝DC＋CE＝20（cm）．

答：

两堵木墙之间的距离为20cm.

14．证明：

∵∠A＝∠D＝90°，

∴△ABC和△DCB都是直角三角形．

在Rt△ABC和Rt△DCB中，∵

∴Rt△ABC≌Rt△DCB.（HL）

∴AB＝DC.

在△ABO和△DCO中，∵

∴△ABO≌△DCO.（AAS）

∴OB＝OC.

15．解：

（1）证明：

在Rt△ABH和Rt△DEG中，

因为

所以Rt△ABH≌Rt△DEG.（HL）

所以BH＝EG.（全等三角形的对应边相等）

在Rt△ACH和Rt△DFG中，

因为

所以Rt△ACH≌Rt△DFG.（HL）

所以CH＝FG.

所以BH＋CH＝EG＋FG，

即BC＝EF.

在△ABC和△DEF中，因为

所以△ABC≌△DEF.（SSS）

（2）这句话不对．理由：

如图所示，在△ABC和△ABD中，AC＝AD，AB＝AB，AE＝AE，两个三角形具备两边及第三边上的高分别相等，但这两个三角形不全等，其中一个是锐角三角形，一个是钝角三角形．