终边在X轴上的角
1
aa=bl8（y,展zj
终边在尹轴上的角
a=£・180°+90°,展Z}
终边在坐标轴上的角
{aa=k-9G\k^zj
知识点4：
弧度制
我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制。
在弧度制下，1弧度记做
1角度与弧度之间的转换：
1）将角度化为弧度：
jrn兀
360。
=2龙；180°=1°=——=0.01745s〃；n°=—rad.
180180
2）将弧度化为角度：
2^=360°；龙=180。
；lsd=（型）。
=57.30。
=57。
18'；n=（空1）。
・
717t
2把象限角和轴线角用弧度表示.
3弧长公式：
1=2；④扇形面积公式：
s*R.
2
知识点5：
任意角的三角函数
①设。
是一个任意大小的角，其终边上任意一点P的坐标是（xj）,它与原点的距
离是厂=+b>0.
1）比值—叫做砧勺正弦，记作sina,即sin6r=—;
rr
2）比值-叫做妙勺余弦，记作cosa,即cos6r
rr
3）比值—叫做砧勺正切，记作tana,即tan6Z=—;
XX
知识点6：
三角函数值的符号规律：
sinacosatana
备注：
三角函数在各象限的符号：
第一象限全为正，第二象限正弦为正,第三象限正切为正，第四象限余弦为正.
知识点7：
同角三角函数的基本关系：
（l）
sin26ir+cos2a=1（sin26Z=1-cos26r,cos2=1-sin2a）；
・sina
sma=tanacosa,cosq=.
tana丿
平方关系：
sin26Z+cos2a-1
cosa
cota
sina
5）
cos——a=s\nau丿
口诀为：
奇变偶不变，符号看象限，k-+a的各角的三角函数值，当k为偶数时，得q的
2
同名三角函数值，当k为奇数时，得a的余名三角函数值，“符号看象限”是把任意角a当成锐角，看原函数所在的彖限，从而定岀原函数值的符号.
知识点9：
和差公式
sin（a±0）=sinacos0±cosasin0；
cos（a±0）=cosacos（3+sinasin0；
仙G±0）=旦空也。
1+tanatan0
知识点10：
二倍角公式
sin2a=2sinacosa；
cos2df=cos2cr-sin2a-2cos2a-\-l-2sin2a；
aa
=＞升幕公式l+cosa=2cos2—J-cos6r=2sin2—22
知识点11：
辅助角公式（把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”）
其中sin0/,cos（p-.
qsinx+bcosx=\Ja2+b2•sin（x+°）,
知识点12：
化简求值方法
三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：
在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角Z间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论屮角的差异，使问题获解，对角的变形如：
（y（7
①2a是Q的二倍；4a是2a的二倍；Q是匕的二倍；匕是匕的二倍；
224
②15°=45°—30°=60°-45°二辽；问：
sin—=:
cos—=:
21212
3a=（a+0）-0；
4_+a=——（——a）；
424
7T7T
52（X—（a+0）+（oc—0）—（—卜0C）—（（X）;等等
44
（2）函数名称变换：
三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：
在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例
如常数“1”的代换变形有：
1=sin2（7+cos2a-tanacoto=sin90°=tan45"
（4）幕的变换：
降幕是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幕处
理的方法。
常用降幕公式有：
；O降幕并非绝对,
有时需要升幕，如对无理式J1+COSG常用升幕化为有理式,常用升幕公式有：
;;
（5）公式变形：
三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
.1+tanal-tana
如:
=；=；
l-tana1+tana
tana+tan0=；1—tanatan0=；
tan6Z-tan/?
=；1+tan«tanp=；
2tan=；1-tan2a二；
tan20°+tan40"+V3tan20°tan40°=；
sina+cosa==；
asina+bcosa-=；（其
屮tan0=；）
总结：
三角函数式的化简运算通常从：
“角、名、形、幕”四方面入手；
基本规则是：
见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。
知识点13：
三角函数的图像和性质
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图
象
定义域
R
R
{X
x^—+k/r,kez}
2'
值域
[—1,1]
[—1,1]
R
周期性
T=2tt
T=2tt
T=7T
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
[-彳+2航,彳+2切上
递增
[-+2k7r,—+2kjr]上递
22
减
（kwz）
[-7T+2k7l2k7t\上递增[2上兀,兀+2乃r]上递减伙wz）
（-彳++2k/r）上递增
（kez）
对称轴
x=k兀+冷（kwZ）
x=k兀（kwZ）
无
对称中心
（拆,0）（展可
（、
+（keZ）
k2丿
（竽,0）（辰z）
知识点14：
函数，=/siii（0Y+o）+H/>0,°>0）的图像与性质
1、五点法作图：
找出关键的五个点（一般都是找坐标轴上的特殊点和函数的最值点）
2、f（x）=Asin（69^+（p）Wf（x）=Acos（69x+（p）的最小正周期都是厂
⑹|
3、函数y=y4sin（69x+^）表达式的确定：
A彫响函数最值；Q由周期确定；0由图象上的
特殊点确定；
4、函数y=As\n（a）x+（p）图象的画法：
（1）“五点法”步骤：
①设心血+0,
②令（=0,仝兀辺,2龙求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；
22
（2）图象变换法：
这是作函数简图常用方法；
5、函数y=As\x\（cox+（p）+k的图象与y=sinx图象间的关系：
（1）函数y=sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左（卩〉0）或向右（0〈0）平移|°|个单
位得y=sin（x+0）的图象；
（2）函数尹二sin（x+°）图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的丄，得到函数
CO
y=sin（s；+°）的图象；
（3）函数y=sm（eox+（p）图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的L倍，得到函数
y=Asin（cox^（p）的图象;
（4）函数尹二/sin（0x+0）图象的横坐标不变，纵坐标向上（k>0）或向下（kvO）,
得到y=/sin（dZr+0）+k的图象。
注意：
若由y=sin（cox）得到j^=sin（0x+0）的图象，贝！
I向左或向右平移|Q个单位。
3
血T血+0二』X+乂（只是X平移变换，而不是妙平移变换）
ICO）
备注：
（另一种变换，结论一样）函数尹二sinx的图彖上所有点的横坐标伸长（缩短）至I」原来的丄倍（纵坐标不变）,得到函数y=sincox的图象；再将函数y=sincox
CO-
的图象上所有点向左（右）平移尬个单位长度，得到函数y=sin（伽+。
）的图象;CO
再将函数y=sm（a）x+（p）的图象上所有点的纵坐标仲长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数y=Asin（s；+°）的图象.
—:
典型例题
考点1：
正、负角及象限角
1、sin600°的值等于（）
A.1B•匣C.-1
222
2^己知角a的终边过点卩（一5,12）,贝ijcosa=,tana=.
3^若cos0tan&vO,贝ije是（）
A、第一彖限角B、第二象限角
C、第一、二象限角D、第二、三象限角
4、在（0,2兀）内满足Jcos?
x=—cosx的x的取值范围是.
ryOf
5、如果。
是第三彖限的角，那么久才,彳,2q是第儿象限角。
6、下列说法屮，正确的是（）
A.第二象限的角是钝角.B.第三象限的角必大于第二象限的角
C.-831°是第二象限角D.-95°20；984°40；264°40z是终边相同的角
考点2：
利用三角函数定义求值
2
1、若角G的终边经过P（—3,b）,且COS«=—-,贝畀=,sina=
2、（10全国I卷理2）记cos（—80。
）=&,那么tan100°=（）
A.壬Zb.尸C.亠D.亠
kkJl"Jl_f
考点3：
诱导公式、和差公式、倍角公式、辅助角公式的简单运用
3
知sina+cosa=—,贝ijsin2a=（
3
A--I
B-4
D.§
9
1、已知sin（兀+Q）=—贝lj（）
10、ae［0,2兀］，且71-cos2+VI-sin2a=sina-cosa,则qu
（A）[0,-]（B）Ji]（C）[n,—]（D）[—,2n]
2222
11、已知aw（0,一）,（3g（0,tt）,且tan（a—0）=—,tan0=—,
求tan（2o-0）的值及角2a-0.
12>若3sinx-V3cosx=2^3sin（x-（p\（pe（-7T.7T）,则（p=（）
sin（-cr——龙）•sin（—龙一a）・tan?
（2龙一Q）
1、已知sina是方程5#-7尸6二0的根，求的值.
cos（——a）•cos（—+a）•cos"-a）
2、
（1）已知:
tan6r=3,求2cosSw）-3smS+o）的值
4cos（-g）+sin（2龙一a）
（2）已矢Hsina=——，Q是第四象限角，tan6z[cos（3^-a）-sin（5^+a）]
3、己知tan&=2,求
（1）；——；
（2）2sin2^-3sin^.cos^-2cos20
cos&-sin0
4、求值:
（1）sin6°sin42°sin66°sin78°；
f71f171f4龙
log2cos—+log2cos—+log2cos—
5s[2sin50°+sin10°（1+^3tan10°）]•j2sii?
8（T
原*2sm50+ing卜欝］•屁啊
sin80°
=（2sin50°+sinl0°xcosl0°+V3sinlO0ft
cos10°
•V2coslO0
2sin50°+2sinl0°x
丄cos10°+—sin10°
22
cos10°
=f2sm50°4-2sml0Csin4（）OlVIcosl0-
Icos10°丿
=2sin6°°V2cosl0°=2V2sin60°
cos10°
=2近x區=忆
2
6化简.
（1）s^n（x+）+sin（x-60°）->/3cos（l20°-x）
1+sind+cosd+2cosdsind
⑵1+sin9+cos3
7、sin2a*sin20+cos2acos20•*cos2a*cos2p・
解方法一（复角一>单角，从“角''入手）
原式=sin?
a・sin2（3+cos2acos2卩•（2cos2a・1）・（2cos2/3-1）
2
・2・222】2222=sina・sirr0+cos~”cosp（4cosq・cos~0-2cosa-2cos^/5+1）
Crr?
OI
=siiTa・sin厶0・cosacosp+cos^a+cos^P-—
・2・oc2oc1
=sina-sin^p+cosa・sirT0+cos〜0
=si『0+cos2P-—=1-丄=丄.
222
方法二（从“名”入手，异名化同名）
.、2°22
原A=sin"a•sirr0+（1-sina）cos'fi-—cos2a-cos20
=cos2P-sin2a（cos20-sin20）•—cos2a・cos20
°，1
=cos~0-sin-a-cos20■込cos2acos20_1+cos20_cos20.sin2/z+—（1-2sin2=l±cos2£_lco$X
222
方法三（从“幕"入手，利用降幕公式先降次）
原式一11c°s2a1-cos20+1+cos2a1+cos201cos2B
八工22222C°SaC°S卩
=—（1+cos2a-cos20-cos2a-cos20）+—（1+cos2a•cos20+cos2a+cos2/?
）-—cos2a•cos2p=\-
方法四（从“形"入手，利用配方法，先对二次项配方）
原式=（sinasinp-cosa-cos0）2+2sina-sin0•cosa•cos0cos2a•cos20
211
=cos（a+0）+—sin2a・sin20-—cos2a・cos20=cos2（a+0）■—-cos（2a+20）
=cos2（a+0）-
丄・[2cos2（a+0）・1]=—.
2
2
8、在△ABC中，角A、B、C满足4sin2^--cos2B=-^角B的度数
22
解在Z\ABC中，A+B+C=180°,
由4si『"+C-cos2B=—,
22
JT
A.周期为一的奇函数
4
C.周期为壬的奇函数
2
TT
B•周期为仝的偶函数
4
TT
D•周期为一的偶函数
2
得4.1-cos（/+C）jcofB+lJ,
22
所以4cos2B-4cosB+1=0.
于是cosB=1,B=60o.
cosx+sin兀一，3、，1
==cotx+l=（——）+1=-
sinx44
【名师指引】给式求值一般从分析角的关系入手.
函数y=^2sin（2x-7r）cos[2（x4-7T）]是（）
5、
下列函数中，在区间空J上为增函数且以龙为周期的函数是（D
兀
A.y=sm^B.尹二sinxC.尹二一tan兀D.y=-cos2x
6^/（X）=COSCDX7的最小止周期为其中69>0f则69二
2龙
【解题思路】代公式T=—
co
•••69=10
解=
5Q5
10、函数八血■瞅"&0皿0"<2/1）的部分图象如图，则（
B.
A.
11、图中的曲线对应的函数解析式是
考点6：
三角函数图像变换
JT
1、函数y=3sin（2x——）的图彖作以下哪个平移得到函数y=3sin2x的图彖（）
7t7T7T7t
A.向左平移一B.向左平移一C.向右平移一D.向右平移一
3636
2、将函数y二sin3x的图象作下列平移可得y=sin（3x+—）的图象
6
（A）向右平移—个单位（B）向左平移兰个单位
66
7T7T
（C）向右平移一个单位（D）向左平移一个单位
1818
TTTT
3、将函数y=sin（2x-一）的图象先向左平移一，然后将所得图象上所有点的横坐标变为36
原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（）.
A.p=-cosxB.y—sin4xC・y-sin（x-—）D.j^=sinx
一6
【解题思路】直接按变换法则进行转化
JT7T7TTT
[解析]y=sin（2x上）的图象先向左平移-^y=sin[2（x+-）--]=sin2x,横坐标3663
变为原来的2倍=>y=sin2（—x）=sinx.选Q.
【名师指引】三角函数图彖变换问题一般步骤是先平移再伸缩.
7F
4、将函数y=sin4x的图像向左平移一个单位，得到y=sin（4x+0）的图像，则/等于12
（）
解析.C.[将函数y=sin4x的图像向左平移令个单位，得到_y=sin4（x+令）=sin（4xd■—）]
5、把函数y=cosx的图象上所有的点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，然
TT
（71
（A）y=cos2x+—
71
（B）y
=cos
（X7l\
U4丿
（C）y=sin2x
（D）y=-sin2x
后把图象向左平移才个单位长度，得到新的函数图象，那么这个新函数的解析式为
考点7：
函数解析式的确定及综合问题
XI_X
1、已知函数y=sin—+V3cos—R.
（1）求尹取最大值时相应的x的集合；
（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到y=sinx（xe7?
）的图象.
且6Z<0）,求该函数的最小值.
2、已知函数尹=sin，兀+03帀兀一扌（d为常数,
.1
分析：
令sinx=/g[-1,1]则y=t2^-cit——
当_2当a<-2时，儿in=/（l）=Q+2
3、已知函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,xeR.
（1）函数p的最小正周期；
（2）函数尹的递增区间.
4、已知函数f（x）=sin（2x+—）+sin（2x-—）+2cos~x（xeR）.
66
（1）求函数f（x）的最人值及此时自变量x的取值集合；
（2）求函数f（x）的单调递增区问和周期以及奇偶性；
（3）求使f（x）N2的x的取值范围.
5、已知函数f（x）=sincox（Q>0）•
TT
（1）当Q=1时，写出由卩=/（兀）的图象向右平移一个单位长度得到的图象所对应的
6
函数解析式；
（2）若=/（%）图彖过（一,0）点，且在区间（0,—）上是增函数，求Q的值.
6、已知函数/（x）=sin2+V3sin6^sin（6!
2v+y）（69>0）的最小正周期为；r。
（2）求函数/（兀）在区间［0,
辺］上的収值范围。
（1）求G的值;
7、已知函数/（X）=Asin（3x+（p）（A>O.xe（
-oo,+oo）,0V0V；r在兀=石时取得最大4o
⑴求『（x）的最小正周期;
（2）求f（x）的解析式;
⑶若f（訂+誇）詈，求sin。
8、（2005全国卷I）设函数=确（-JTUX叽y=f（x）图象的一条对称轴
/r
x=—
是直线8.
（1）求®；
9、已知函数尹=log]
2
[1）
—sin2x
1.2丿
（2）求函数y=f（x）的单调增区间;
（1）求它的定义域、值域以及在什么区I'可上是增函数;
（2）判断它的奇偶性；
（3）判断它的周期性。
解:
（1）定义域为k兀、k兀七®,kwZ;值域为[1,+x）;在+—+—上是增函数。
\2丿L42_
提示：
由sin2x>-0,得2k7ty2xYlkTt+兀，kwZ,由此可求定义域。
11/1\
由sin2xG（0,1],知0Y—sin2兀<―,所以log】一sin2兀>1,由此町得值域。
22我2丿
由于丄sin2兀在上述定义域内的单调（减）区间为k兀+乞k兀+匹~,kwZ，可知y242
TT7T
的单调（增）区间为M+才曲+亍
（2）既不是奇两数也不是偶两数。
（3）是周期函数，T=7t.
考点8：
与向量结合的三角问题
一331xx兀1———
1、已知向量a=（cos-x,sin-x）,6=（cos-,-sin-）,且兀丘[0,—],设f（x）=a-h-2A\a+h\.
——A—
（1）求及\a+b\；
3
（2）若/⑴的最小值是-丁求久的值；
（3）若方程/（X）-4=0有解，求兄的取值范围.
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