整理定积分的近似计算Word格式.docx
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例：
Q=quad（'
1./（x.^3-2*x-5）'
0,2）;
5．trapz（）：
梯形法求数值积分．
trapz（x,y）
其中x为带有步长的积分区间；
y为数值形式的运算（相当于上面介绍的函数fun）
计算
x=0:
pi/100:
pi;
y=sin（x）;
6．dblquad（）：
抛物线法求二重数值积分．
dblquad（fun,xmin,xmax,ymin,ymax），fun可以用inline定义，也可以通过某个函数文件的句柄传递．
例1：
Q1=dblquad（inline（'
y*sin（x）'
）,pi,2*pi,0,pi）
顺便计算下面的Q2，通过计算，比较Q1与Q2结果（或加上手工验算），找出积分变量x、y的上下限的函数代入方法．
Q2=dblquad（inline（'
）,0,pi,pi,2*pi）
例2：
Q3=dblquad（@integrnd,pi,2*pi,0,pi）
这时必须存在一个函数文件integrnd.m：
functionz=integrnd（x,y）
z=y*sin（x）;
7．fprintf（文件地址，格式，写入的变量）：
把数据写入指定文件．
x=0:
.1:
1;
y=[x;
exp（x）];
fid=fopen（'
exp.txt'
'
w'
）;
%打开文件
fprintf（fid,'
%6.2f%12.8f\n'
y）;
%写入
fclose（fid）
%关闭文件
8．syms变量1变量2…：
定义变量为符号．
9．sym（'
表达式'
）：
将表达式定义为符号．
解释：
Matlab中的符号运算事实上是借用了Maple的软件包，所以当在Matlab中要对符号进行运算时，必须先把要用到的变量定义为符号．
10．int（f,v,a,b）：
求f关于v积分，积分区间由a到b．
11．subs（f，'
x'
，a）：
将a的值赋给符号表达式f中的x，并计算出值．若简单地使用subs（f），则将f的所有符号变量用可能的数值代入，并计算出值。
三、实验内容
一、问题的提出
计算定积分的方法：
（1）求原函数；
（2）利用牛顿－莱布尼茨公式计算结果。
问题：
（1）被积函数的原函数不能用初等函数表示；
（2）被积函数难于用公式表示，而是用图形或表格给出的；
（3）被积函数虽然能用公式表示，但计算其原函数很困难。
解决办法：
建立定积分的近似计算方法。
思路：
在数值上表示曲边梯形的面积，只要近似地算出相应的曲边梯形的面积，就可得到所给定积分的近似值。
常用方法：
矩形法、梯形法、抛物线法．
二、矩形法
用分点a=x0,x1,…xn=b将区间[a,b]n等分，取小区间左端点的函数值yi（i=0,1,2,…,n-1）作为窄矩形的高，如图：
则有：
取小区间右端点的函数值yi（i=1,2,…,n）作为窄矩形的高，如图：
以上两公式称为矩形法公式。
用矩形法求
，并与用牛顿－莱布尼茨公式计算的结果进行比较。
程序如下：
#include<
stdio.h>
math.h>
voidmain（）
{
doubleresult,a=0,b=1,i,n=1000000,h;
printf（"
按牛顿公式计算得到的结果：
%f\n"
sin（b）-sin（a））;
result=0;
h=（b-a）/n;
//计算区间高度
for（i=1;
i<
=n;
i++）//求和
result=result+cos（a+i*h）;
result=h*result;
//乘以区间高度
用近似公式计算得到的结果：
result）;
}
三、梯形法
梯形法就是在每个小区间上，以窄梯形的面积近似代替窄曲边梯形的面积，如图：
用梯形法求
=n-1;
result+=（cos（a）+cos（b））/2;
四、抛物线法
此法就是将曲线分成许多小段，用对称轴平行于y轴的二次抛物级上的一段弧来近似替代原来的曲线弧，从而得到定积分的近似值。
用分点a=x0,x1,…xn=b将区间[a,b]n等分（偶数），这些分点对应曲线上的点为Mi（xi,yi）（其中yi=f（xi），i=0,1,2,…,n），如图：
因为经过三个不同的点可以唯一确定一条抛物线，可将这些曲线上的点Mi互相衔接地分成n/2组{M0,M1,M2},{M2,M3,M4},…,{Mn-2,Mn-1,Mn}，即每相邻两个区间为一组。
在每组{M2k-2,M2k-1,M2k}（k=1,2,…,n/2）所对应的子曲间[x2k-2,x2k]上，用经过点M2k-2,M2k-1,M2k的二次抛物线
近似代替曲线弧。
下面讨论如何计算积分
。
设h为区间高度，即h=x2k-x2k-1=x2k-1-x2k-2。
根据积分性质（积分在数值上表示曲边梯形的面积）有如下等式成立：
即将区间[x2k-2,x2k]平移到区间[-h,h]上，计算所得的定积分的值与原区间上的相同。
计算在[-h,h]上过三点
的抛物线
为曲边的面积。
抛物线
中的
可由下列方程组确定：
由此得：
于是所求面积为：
显然，曲边梯形的面积只与
的纵坐标
及底边所在的区间的长度2h有关。
由此可知n/2组梯形的面积为：
用抛物法求
=n/2;
result=result+2*cos（a+2*i*h）+4*cos（a+（2*i-1）*h）;
result+=cos（a）+cos（b）;
result=h*result/3;
注意：
对于以上三种方法当n取得越大时近似程度就越好。
练习题：
3）选择价值。
选择价值（OV）又称期权价值。
我们在利用环境资源的时候，并不希望它的功能很快消耗殆尽，也许会设想未来该资源的使用价值会更大。
用三种积分法近似计算如下定积分的值：
4.直接应用Matlab命令计算结果
（1）
数值计算
方法1：
int（'
1/（1+x^2）'
0,1）
（符号求积分）
方法2：
quad（'
1./（1+x.^2）'
（抛物线法求数值积分）
方法3：
0.001:
y=1./（1+x.^2）;
规划编制单位对规划环境影响进行跟踪评价，应当采取调查问卷、现场走访、座谈会等形式征求有关单位、专家和公众的意见。
trapz（x,y）
（梯形法求数值积分）
（1）结合评价对象的特点，阐述编制安全预评价报告的目的。
（2）数值计算
int（int（'
x+y^2'
y'
-1,1）,'
0,2）
四、安全预评价方法2：
dblquad（inline（'
）,0,2,-1,1）
（抛物线法二重数值积分）
（4）建设项目环境保护措施及其技术、经济论证。
四、自己动手
大纲要求1．
实现实验内容中的例子，即分别采用矩形法、梯形法、抛物线法计算
，取
，并比较三种方法的精确程度．
1）采取防护措施。
2．
分别用梯形法与抛物线法，计算
．并尝试直接使用函数trapz（）、quad（）进行计算求解，比较结果的差异．
（一）环境影响评价的概念3．
试计算定积分
．（注意：
可以运用trapz（）、quad（）或附录程序求解吗？
为什么？
）
2）预防或者减轻不良环境影响的对策和措施。
主要包括预防或者减轻不良环境影响的政策、管理或者技术等措施。
4．
将
的近似计算结果与Matlab中各命令的计算结果相比较，试猜测Matlab中的数值积分命令最可能采用了哪一种近似计算方法？
并找出其他例子支持你的观点．
5．
通过整个实验内容及练习，你能否作出一些理论上的小结，即针对什么类型的函数（具有某种单调特性或凹凸特性），用某种近似计算方法所得结果更接近于实际值？
1.依法评价原则；
6．
学习fulu2sum.m的程序设计方法，尝试用函数sum改写附录1和附录3的程序，避免for循环。
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