八下数学第19章一次函数全章名师教案人教版Word格式.docx
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【难点】 函数的概念的理解
1911 变量与函数
理解自变量的取值范围和函数的意义,会求自变量的取值范围,会根据自变量的取值范围求函数的值 在探究问题的过程中,体会从具体的事例中寻找常量和变量,判断两个变量之间是否满足函数关系的过程 通过列举自己身边的事例,体验数学与生活的密切联系,学会观察与发现,激发同学们探究问题的兴趣 【重点】 函数的概念和函数自变量的取值范围
【难点】 求函数自变量的取值范围
第时
1了解常量与变量的含义,能分清实例中的常量与变量
2学会用含一个变量的代数式表示另一个变量 经历观察、分析、思考等数学活动过程,发展合情推理,以提高分析问题和解决问题的能力 引导学生探索实际问题中的数量关系,渗透事物是运动的,运动是有规律的辩证思想,培养学生对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情 【重点】 认识变量、常量,会用式子表示变量间的关系
【难点】 用含有一个变量的式子表示另一个变量 【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题
【学生准备】 预习教材内容
导入一:
当我们用数学的眼光分析现实世界的各种现象时,会遇到各种各样的量,如物体运动中的速度、时间和距离;
圆的半径、周长和圆周率;
购买商品的数量、单价和总价;
某城市一天中各时刻变化着的气温等在某一个过程中,有些量固定不变,有些量不断改变为了更好地认识和了解这些变化现象中所隐含的变化规律,从本节开始我们将学习这一部分知识
[设计意图] 利用学生较熟悉的生活实例引入本学习的内容,调动学生学习的积极性
导入二:
飞机从武汉飞往北京,在这个行驶的过程中,哪些量没有发生改变,哪些量发生了改变?
学生说出自己的看法:
如飞机上乘客的人数不变;
飞机离地面的高度在改变;
飞机油箱中的汽油在不停的减少,飞机离武汉越越远,离北京越越近,…
教师也可以让学生举出自己熟悉的例子,据此引出今天学习的题:
变量与函数
[设计意图] 由学生经历的事情提问题,能引起学生的好奇心 1变量与常量的概念
问题:
汽车以60/h的速度匀速行驶,行驶时间为th填写表19-1,s的值随t的值的变化而变化吗?
（出示教材表19-1）
表19-1
t/h1234
s/
学生填表,并思考
1根据题意填写下表:
2在以上这个过程中,变化的量是 不变化的量是
3试用含t的式子表示s
教师引导学生交流:
从题意中可以知道汽车是匀速行驶,
那么它1h行驶60,
2h行驶2×
60,即120,
3h行驶3×
60,即180,
4h行驶4×
60,即240,
h行驶×
60,即300……
s/60120180240300
因此其中行驶里程s与时间t是变化的量,速度60/h是不变的量
行驶里程s与时间th之间有关系:
s=60ts随t的增大而增大
[设计意图] 挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情境,让学生经历探索具体情境中的变量与常量
电影票的售价为10元/张,第一场售出10张票,第二场售出20张票,第三场售出310张票,三场电影的票房收入各是多少元?
设一场电影售出x张票,票房收入为元,的值随x的值的变化而变化吗?
学生分析问题,并同桌交流
1电影票的售价为10元/张,
第一场售出10张票,则第一场电影的票房收入为 元;
第二场售出20张票,则第二场电影的票房收入为 元;
第三场售出310张票,则第三场电影的票房收入为 元
2设一场电影售票x张,票房收入元,则用含x的式子表示为
教师解析:
第一场电影的票房收入为10×
10=100（元）
第二场电影的票房收入为20×
10=200（元）
第三场电影的票房收入为310×
10=3100（元）
用含x的式子表示为=10x,随x的增大而增大
[设计意图] 通过适当地把问题进行分解,引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律
你见过水中涟漪吗?
如图所示,圆形水波慢慢的扩大在这一过程中,当圆的半径r分别为10,20,30时,圆的面积S分别为多少?
S的值随r的值的变化而变化吗?
学生活动填表,并讨论
（1）填表:
半径r（）102030
圆面积S
（2）
（2）S与r之间满足下列关系:
S=
（1）
圆面积S
（2）3141262826
（2）S=πr2圆的半径越大,它的面积就越大
[设计意图] 挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情境,让学生经历探索具体情境中两个变量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验
用10长的绳子围成一个矩形,当矩形的一边长x分别为3,3,4,4时,它的邻边长分别为多少?
的值随x的值的变化而变化吗?
学生活动小组讨论后,教师进行解析:
因为矩形两组对边相等,所以它的一边长与它的邻边长的和应是周长10的一半,即
若矩形一边长为3,则它的邻边长为-3=2（）
若矩形一边长为3,则它的邻边长为-3=1（）
若矩形一边长为4,则它的邻边长为-4=1（）
若矩形一边长为4,则它的邻边长为-4=0（）
若矩形一边长为x,则它的邻边长为=-x（）,随x的增大而减小
[设计意图] 在本环节中,设计了问题情境,目的是让学生在现实情境中感知变量和常量的存在和意义,体会变量之间的互相依存关系和变化规律此外,希望通过这几个问题引出常量、变量的概念,使学生体验从具体到抽象的认识过程
这些问题反映了不同事物的变化过程,涉及多个量,你能将这些问题中出现的量按照某种标准进行分类吗?
学生分组讨论,交流自己的看法
按照有无变化,我们发现其中有些量（例如时间t,路程s;
售出票数x,票房收入……）的值是变化的,有些量的值始终不变（例如速度60/h;
电影票的单价10元……）,因此可分为两类
师生共同总结出变量和常量的定义并板书
变量和常量的定义:
在某个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量;
数值始终不变的量叫做常量
[设计意图] 通过上述的四个问题进行具体的讲评,借助实例理解变量、常量的概念,在讲解概念后强调常量与变量的区别与联系,使学生进一步理解、领会有关常量和变量的概念
2问题讲解
在学习与生活中,经常要研究一些数量关系,先看下面的问题
问题
（1）:
下图是某地一天的气温变化图象,任意给出这天中的某一时刻t,你能说出这一时刻的气温T吗?
这一问题中涉及哪几个量?
它们变化吗?
学生结合图,说出每一时刻所对应的温度值,教师进行确认 问题
（2）:
弹簧原长22,弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度（）与所挂物体的质量x（g）有如下关系:
x/g012346
/2222232324242
在这个问题中变化的量是什么?
不变化的量是什么?
学生讨论发现:
弹簧的原长不变,为22,弹簧伸长的长度随着物体质量的变化而变化
因此,弹簧的总长=原长+伸长的长度
问题（3）:
你能举出生活中类似的例子吗?
可以小组讨论
学生讨论、举例,在上述实例的解决过程中,体会在一个变化过程中各个量的变化规律,进而发现有的量变化、有的量不变
教师引导学生概括:
在上面的问题中,我们研究了一些数量关系,出现了各种各样的量,有些量,它们始终保持不变,我们称之为常量,而有些量,在某一变化过程中,可以取不同数值,我们称之为变量
[设计意图] 在本环节中,设计了问题情境,并让学生举出生活中类似的例子,目的是让学生在现实情境中感知变量和常量的存在和意义,体会变量之间的互相依存关系和变化规律此外,希望通过这几个问题引出常量、变量的概念,使学生体验从具体到抽象的认识过程
[知识拓展]
（1）常量与变量是相对而言的,是相对某个变化过程说的,换句话说,在这个变化过程中是变量,而在另一个变化过程中有可能以常量身份出现如s=vt中,若v=20,此式子为s=20t,可见s,t为变量,若t=10,此式子为s=10v,s,v为变量,变量与常量的身份可以相互转化
（2）判断一个量是常量还是变量关键是看这个量所在的变化过程中,该量的值是否发生变化（3）常数也叫常量,如S=πr2,其中常量是π
3例题讲解
（补充）若球体体积为V,半径为R,则V=πR3其中变量是 、 ,常量是
〔解析〕 根据变量和常量的概念进行求解,解题时注意π是一个常量
答案:
V R π
（补充）写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量:
（1）圆的周长与半径r的关系式;
（2）火车以60千米/时的速度行驶,它驶过的路程s（千米）和所用时间t（小时）的关系式
〔解析〕 先根据实际问题确定所给问题的关系式,再根据变量和常量的概念进行求解
解:
（1）=2πr,2π是常量,r,是变量
（2）s=60t,60是常量,t,s是变量
[设计意图] 通过上述几个问题进行具体的讲评,借助实例理解变量、常量的概念 本节从现实问题出发,找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要的意义
1确定事物变化中的变量与常量变量和常量的定义:
2尝试运算寻求变量间存在的规律
3利用学过的有关知识公式确定关系式
[设计意图] 通过小结、堂训练和学生反思,进一步理顺学生的学习思路,加深对变量、常量有关概念的理解 1学校购买某种型号的钢笔作为学生的奖品,钢笔的价格是4元/支,则总金额（元）与购买支数x（支）的关系式是 ,其中变量是 ,常量是
解析:
∵钢笔的价格是4元/支,∴总金额（元）与购买支数x（支）的关系式是=4x,∴变量为x,,常量为4
=4x x, 4
2在圆的周长公式=2πR中,下列说法正确的是 （ ）
Aπ,R是变量,2是常量
BR是变量,,2,π是常量
是变量,2,π,R是常量
D,R是变量,2,π是常量
∵=2πR,∴变量为,R,常量为2,π故选D
3分别指出下列各关系式中的变量与常量
（1）三角形的一边长为,它的面积S
（2）与这边上的高h（）的关系式是S=h;
（2）若直角三角形中的一个锐角的度数为α（度）,则另一个锐角β（度）与α（度）间的关系式是β=90-α
（1）∵S=h,∴变量为S,h,常量为
（2）∵β=90-α,∴变量为β,α,常量为-1,90
4要画一个面积为102的圆,圆的半径应取多少?
圆的面积为202呢?
怎样用含有圆面积S的式子表示圆半径r?
根据圆的面积公式S=πr2,得r=,面积为102的圆半径r=≈178（）面积为202的圆半径r=≈22（）用圆面积S的式子表示圆半径r的关系式为r= 第1时
1变量与常量的概念:
变量:
在一个变化过程中,数值发生变化的量为变量
常量:
在一个变化过程中,数值始终不变的量为常量
2例题讲解:
例1 例2一、教材作业
【必做题】
教材第71页练习
【选做题】
教材第81页习题191第1,2题
二、后作业
【基础巩固】
1甲、乙两地相距s千米,某人行完全程所用的时间t（小时）与他的速度v（千米/时）满足vt=s,在这个变化过程中,下列判断中错误的是 （ ）
As是变量 Bt是变量
v是变量 Ds是常量
2小军用0元钱去买单价是8元的笔记本,则他剩余的钱Q（元）与他买这种笔记本的本数x之间的关系式是 （ ）
AQ=8x BQ=8x-0
Q=0-8x DQ=8x+0
3（201&
#8226;
临沂中考）已知甲、乙两地相距20千米,汽车从甲地运输匀速行驶到乙地,则汽车行驶时间t（单位:
小时）关于行驶速度v（单位:
千米/时）的函数关系式是 （ ）
At=20v Bt=
t= Dt=
4长方形相邻两边长分别为x,,面积为30,则用含x的式子表示为 ,则这个问题中, 是常量;
是变量
汽车开始行驶时油箱内有油40升,如果每小时耗油升,那么油箱内剩余油量Q（升）与行驶时间t（小时）的关系式是
6根据下列题意写出适当的关系式,并指出其中的变量与常量
（1）多边形的内角和与边数n的关系;
（2）甲、乙两地相距千米,一自行车以每小时10千米的速度从甲地驶向乙地,试用行驶时间t（小时）表示自行车离乙地的距离s（千米）
【能力提升】
7某种报纸的价格是每份04元,买x份报纸的总价为元,先填写下表,再用含x的式子表示
份数/份1234…
价钱/元…
x与之间的关系式是
8现有笔记本00本,学生x人,若每人本,则余下本笔记本,用含x的式子表示为= ,其中常量是 ,和x都是 量
9夏季高上温度从脚起每升高100米降低07℃,已知脚下的温度是23℃,则温度（℃）与上升高度x（米）之间的关系式为
【拓展探究】
10圆柱形物体如下图（横截面）那样堆放试确定圆柱形物体的总数与层数x之间的关系式【答案与解析】
1A（解析:
某人行完全程,甲、乙两地距离不变,故s是常量,因此A不正确）
2（解析:
单价是8元的笔记本,买这种笔记本x本用了8x元,故Q=0-8x故选）
3B（解析:
根据时间=,有t=故选B）
4= 30 x,（解析:
由长方形的面积=长×
宽进行求解）
Q=40-t（解析:
根据剩余油量=总油量-已用油量进行求解）
6解:
（1）=（n-2）×
180°
变量为,n;
常量为-2,180°
（2）s=-10t,变量为s,t;
常量为-10,
704 08 12 16 =04x（解析:
根据总金额=单价×
数量进行求解）
800-x 00,- 变（解析:
根据剩余笔记本数=总的笔记本数-已发的笔记本数进行求解）
9=23-x
10解析:
要求变量间的关系式,需首先知道两个变量间存在的规律是什么不妨尝试堆放,找出规律,再寻求确定关系式的办法解:
由题意可知:
堆放1层,总数=1,堆放2层,总数=1+2,堆放3层,总数=1+2+3,…,堆放x层,总数=1+2+3+…+x,即=x（x+1）
本节以问题为载体、以学生为主体、以合作交流为手段、以能力提高为目的在探究知识上,以学生自主探究分组交流为主线,发挥学生的主体作用在堂教学中选择贴近生活的实例,与变量和常量的概念紧密结合,能使堂效果达到最佳状态 在某个变化过程中,变量和常量是相对而言的,学生理解较困难,解题时学生容易出现把π看成变量这种错误 教学时通过对比教学多举出变量和常量是相对而言的事例,让学生真正理解变量和常量的概念 练习（教材第71页）
解:
（1）变量为x,;
常量为4
（2）变量为t,;
常量为02,30 （3）变量为r,;
常量为π （4）变量为x,;
常量为10
函数的起
函数的概念在17世纪已经引入,牛顿（IsaaNetn,1642~1727,英国科学家）的《自然哲学的数学原理》中提出的“生成量”就是雏形的函数概念笛卡儿（R名言:
“我思故我在”）引入变量后,随之而的便是函数的概念他指出和x是变量（“未知量和未定的量”）的时候,也注意到依赖于x而变这正是函数思想的萌芽,但是他没有使用“函数”这个词
最早把“函数”（funtin）这个词用作数学术语的数学家是莱布尼茨（GttfriedilhelLeibniz,1646~1716,德国数学家）,但其含义和现在不同,他把函数看成是“像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线段长度等所有与曲线上的点有关的量”1718年,瑞士数学家约翰&
贝努利（hnBernulli,1667~1748,欧拉的数学老师）将函数概念公式化,给出了函数的一个定义,同时第一次使用了“变量”这个词他写到:
“变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量”他的学生,瑞士数学家欧拉（LenardEuler,1707~1783,被称为历史上最“多产”的数学家）将约翰&
贝努利的思想进一步解析化,他在《无限小分析引论》中将函数定义为:
“变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式”,欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位
我国“函数”一词,是《代数积拾级》中首先使用的这本书把函数定义为:
“凡此变数中含彼变数,则此为彼之函数”这里的“函”指包含的意思这个定义相当于欧拉的解析表达式定义:
在一个式中“包含”着变量x,那么这个式子就是x的函数
函数这个概念已成为数学中最重要的几个概念之一,而变量这个词却逐渐被新的词所代替
第时 初步了解函数三种表示方法以及三种表示方法的优缺点,会根据具体情况选择适当方法表示函数 1经历回顾思考,训练提高归纳总结能力
2利用数形结合思想,根据具体情况选用适当方法解决问题的能力 通过分析具体的问题中的一个变量的值对应着另一个变量的值,体会到函数是刻画变量之间的对应关系的数学模型 【重点】 函数表示方法的应用
【难点】 确定实际问题中函数自变量的取值范围 【教师准备】 带有网格的纸,三角板
【学生准备】 三角板,铅笔,带有网格的纸
你听说过“两个铁球同时落地”的故事吗?
站在比萨斜塔顶部,让两个铁球自由下落,在铁球下落的过程中,随着时间的变化,铁球下落的速度是怎样变化的?
铁球下落的速度v随下落的时间t的变化而变化这就是我们今天要继续学习的内容
[设计意图] 结合学生熟悉的故事导入新,激发学生的学习兴趣,并且提高学生对新知识的求知欲,为本节的学习打下基础
1有根弹簧原长10,每挂1g重物,弹簧伸长0,设所挂的重物为g,受力后弹簧的长度为l,根据上述信息完成下表:
/g01233…
l/
受力后弹簧的长度l是所挂重物质量的函数吗?
2有一辆出租车,前3公里内的起步价为8元,每超过1公里收2元,有一位乘客坐了t（t&
gt;
3）公里,他付费元,用含x的式子表示
3如图所示的是某地某一天的气温变化图:
学生自由思考,自由发言
上面用图、表格或关系式表达的问题反映了两个变量之间的关系
[设计意图] 出示题目,同时提出新的问题,让学生在解决旧知的基础上提出问题,从而激发学生的学习兴趣,并且提高学生对新知识的求知欲,为本节的学习打下基础 1自变量、函数和函数值
思路一
[过渡语] 前面我们学习了变量与常量,下面我们一起思考下面的问题:
（1）下图是体检时的心电图其中横坐标x表示时间,纵坐标表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量在心电图中,对于x的每个确定的值,都有唯一确定的对应值吗?
（2）在下面的我国人口数统计表中,年份与人口数可以记作两个变量x与,对于表中每一个确定的年份（x）,都对应着一个确定的人口数（）吗?
中国人口数统计表
年份人口数/亿
19841034
19891106
19941176
1999122
20101371
学生通过观察发现在问题
（1）的心电图中,对于x的每个确定值,都有唯一确定的值与其对应;
在问题
（2）中,对于表中每个确定的年份x,都对应着一个确定的人口数
引导学生归纳:
上面用图或表格表达的问题中的两个变量互相联系,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应
教师总结:
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与,并且对于x的每个确定的值,都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,是x的函数如果当x=a时,=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值
学生分析上面两个问题中的自变量和函数,并交流
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