离散数学第一章命题逻辑知识点总结.docx
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离散数学第一章命题逻辑知识点总结
数理逻辑部分
第1章命题逻辑
命题符号化及联结词
命题:
判断结果惟一的陈述句
命题的真值:
判断的结果
真值的取值:
真与假
真命题:
真值为真的命题
假命题:
真值为假的命题
注意:
感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。
简单命题（原子命题）：
简单陈述句构成的命题
复合命题：
由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题
简单命题符号化
用小写英文字母p,q,r,…,pi,qi,ri（i≥1）表示
简单命题
用“1”表示真，用“0”表示假
例如，令p：
是有理数，则p的真值为0
q：
2+5=7，则q的真值为1
联结词与复合命题
1.否定式与否定联结词“”
定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称
为p的否定式，记作p.符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假.
2.合取式与合取联结词“∧”
定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”（或“p与q”）称为p与q的合取式，记作p∧q.∧称作合取联结词，并规定p∧q为真当且仅当p与q同时为真
注意：
描述合取式的灵活性与多样性
分清简单命题与复合命题
例将下列命题符号化.
（1）王晓既用功又聪明.
（2）王晓不仅聪明，而且用功.
（3）王晓虽然聪明，但不用功.
（4）张辉与王丽都是三好生.
（5）张辉与王丽是同学.
解令p：
王晓用功，q：
王晓聪明，则
（1）p∧q
（2）p∧q
（3）p∧q.
令r:
张辉是三好学生，s:
王丽是三好学生
（4）r∧s.
（5）令t:
张辉与王丽是同学，t是简单命题.
说明:
（1）~（4）说明描述合取式的灵活性与多样性.
（5）中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.
3.析取式与析取联结词“∨”
定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q.∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例将下列命题符号化
（1）2或4是素数.
（2）2或3是素数.
（3）4或6是素数.
（4）小元元只能拿一个苹果或一个梨.
（5）王晓红生于1975年或1976年.
解令p:
2是素数,q:
3是素数,r:
4是素数,s:
6是素数,
则
（1）,
（2）,（3）均为相容或.
分别符号化为:
p∨r,p∨q,r∨s,
它们的真值分别为1,1,0.
而（4）,（5）为排斥或.
令t:
小元元拿一个苹果，u:
小元元拿一个梨，
则（4）符号化为（t∧u）∨（t∧u）.
令v:
王晓红生于1975年,w:
王晓红生于1976年,则（5）既可符号化为（v∧w）∨（v∧w）,又可符号化为v∨w,为什么
4.蕴涵式与蕴涵联结词“”
定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q”称作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件.称作蕴涵联结词，并规定，pq为假当且仅当p为真q为假.
pq的逻辑关系：
q为p的必要条件
“如果p，则q”的不同表述法很多：
若p，就q
只要p，就q
p仅当q
只有q才p
除非q,才p或除非q,否则非p.
当p为假时，pq为真
常出现的错误：
不分充分与必要条件
5.等价式与等价联结词“”
定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作pq.称作等价联结词.并规定pq为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.
说明:
（1）pq的逻辑关系:
p与q互为充分必要条件
（2）pq为真当且仅当p与q同真或同假
联结词优先级:
（）,,,,,
同级按从左到右的顺序进行
以上给出了5个联结词：
,,,，组成
一个联结词集合{,,,,}，
联结词的优先顺序为：
,,,;如果出
现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右
的顺序运算;若遇有括号时，应该先进行括号
中的运算.
注意:
本书中使用的括号全为园括号.
命题常项
命题变项
命题公式及分类
命题变项与合式公式
命题常项：
简单命题
命题变项：
真值不确定的陈述句
定义合式公式（命题公式,公式）递归定义如下：
（1）单个命题常项或变项p,q,r,…,pi,qi,ri,…,0,1
是合式公式
（2）若A是合式公式，则（A）也是合式公式
（3）若A,B是合式公式，则（AB）,（AB）,（AB）,（AB）也是合式公式
（4）只有有限次地应用
（1）~（3）形成的符号串才是合式公式
说明:
元语言与对象语言,外层括号可以省去
合式公式的层次
定义
（1）若公式A是单个的命题变项,则称A为0层公式.
（2）称A是n+1（n≥0）层公式是指下面情况之一：
（a）A=B,B是n层公式；
（b）A=BC,其中B,C分别为i层和j层公式，且
n=max（i,j）；
（c）A=BC,其中B,C的层次及n同（b）；
（d）A=BC,其中B,C的层次及n同（b）；
（e）A=BC,其中B,C的层次及n同（b）.
例如公式
p0层
p1层
pq2层
（pq）r3层
（（pq）r）（rs）4层
公式的赋值
定义给公式A中的命题变项p1,p2,…,pn指定
一组真值称为对A的一个赋值或解释
成真赋值:
使公式为真的赋值
成假赋值:
使公式为假的赋值
说明：
赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1.
A中仅出现p1,p2,…,pn，给A赋值12…n是
指p1=1,p2=2,…,pn=n
A中仅出现p,q,r,…,给A赋值123…是指
p=1,q=2,r=3…
含n个变项的公式有2n个赋值.
真值表
真值表:
公式A在所有赋值下的取值情况列成的表
例给出公式的真值表
A=（qp）qp的真值表
例B=（pq）q的真值表
例C=（pq）r的真值表
命题的分类
重言式
矛盾式
可满足式
定义设A为一个命题公式
（1）若A无成假赋值，则称A为重言式（也称永真式）
（2）若A无成真赋值，则称A为矛盾式（也称永假式）
（3）若A不是矛盾式，则称A为可满足式
注意：
重言式是可满足式，但反之不真.
上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式
A=（qp）qp，B=（pq）q，C=（pq）r
等值演算
等值式
定义若等价式AB是重言式，则称A与B等值，
记作AB，并称AB是等值式
说明：
定义中，A,B,均为元语言符号,A或B中
可能有哑元出现.
例如，在（pq）（（pq）（rr））中，r为左边
公式的哑元.
用真值表可验证两个公式是否等值
请验证：
p（qr）（pq）r
p（qr）（pq）r
基本等值式
双重否定律:
AA
等幂律：
AAA,AAA
交换律:
ABBA,ABBA
结合律:
（AB）CA（BC）
（AB）CA（BC）
分配律:
A（BC）（AB）（AC）
A（BC）（AB）（AC）
德·摩根律:
（AB）AB
（AB）AB
吸收律:
A（AB）A,A（AB）A
零律:
A11,A00
同一律:
A0A,A1A
排中律:
AA1
矛盾律:
AA0
等值演算:
由已知的等值式推演出新的等值式的过程
置换规则：
若AB,则（B）（A）
等值演算的基础：
（1）等值关系的性质：
自反、对称、传递
（2）基本的等值式
（3）置换规则
应用举例——证明两个公式等值
例1证明p（qr）（pq）r
证p（qr）
p（qr）（蕴涵等值式，置换规则）
（pq）r（结合律，置换规则）
（pq）r（德摩根律，置换规则）
（pq）r（蕴涵等值式，置换规则）
说明:
也可以从右边开始演算（请做一遍）
因为每一步都用置换规则，故可不写出
熟练后，基本等值式也可以不写出
应用举例——证明两个公式不等值
例2证明:
p（qr）（pq）r
用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两
个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成
真,另一个成假.
方法一真值表法（自己证）
方法二观察赋值法.容易看出000,010等是左边的
的成真赋值，是右边的成假赋值.
方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.
应用举例——判断公式类型
例3用等值演算法判断下列公式的类型
（1）q（pq）
解q（pq）
q（pq）（蕴涵等值式）
q（pq）（德摩根律）
p（qq）（交换律，结合律）
p0（矛盾律）
0（零律）
由最后一步可知，该式为矛盾式.
（2）（pq）（qp）
解（pq）（qp）
（pq）（qp）（蕴涵等值式）
（pq）（pq）（交换律）
1
由最后一步可知，该式为重言式.
问：
最后一步为什么等值于1
（3）（（pq）（pq））r）
解（（pq）（pq））r）
（p（qq））r（分配律）
p1r（排中律）
pr（同一律）
这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可
满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.
总结：
A为矛盾式当且仅当A0
A为重言式当且仅当A1
说明：
演算步骤不惟一,应尽量使演算短些
对偶与范式
对偶式与对偶原理
定义在仅含有联结词,∧,∨的命题公式A中，将
∨换成∧,∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成
1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.
从定义不难看出，（A*）*还原成A
定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,pn是出现在A和
A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，
则
（1）A（p1,p2,…,pn）A*（p1,p2,…,pn）
（2）A（p1,p2,…,pn）A*（p1,p2,…,pn）
定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，
若AB，则A
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