轴对称Word格式.docx

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Ⅱ．导入新课

[师]我们先来看几幅图片（出示图片），观察它们都有些什么共同特征．

[生甲]这些图形都是对称的．

[生乙]这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．

[师]对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．

[生丙]我们的黑板、课桌、椅子等．

[生丁]我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的．

[师]同学们回答得真好，大家举了这么多对称的例子，现在我们来看一下下面的问题，我们来研究一下什么是轴对称图形．

（演示多媒体课件）

观察

如图14．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．

观察得到的窗花和图14．1．1中的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？

（学生讨论、探究）

[生甲]窗花可以沿折痕对折，使折痕两旁的部分完全重合．

[生乙]不仅窗花可以沿一条直线对折，使直线两旁重合，上面图14．1．1中的图形也可以沿一条直线对折，使直线两旁的部分重合．

[生结论]这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合．

[师]太好了!

我们把这样的图形叫做轴对称图形．

即（点击课件、屏幕显示）：

如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．

[师]了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做．

（屏幕显示）

取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，将纸打

开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？

与同伴进行交流．

（学生操作、讨论，教师指导）

[生]我们经过操作、讨论、交流得知：

位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合．

[师]很好，由此我们进一步了解了轴对称图形的特征：

一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．

接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条，大家请看屏幕．

（点击课件）

你能找出它们的对称轴吗？

分小组讨论．

学生讨论得出结果：

图

（1）有四条对称轴；

图

（2）有四条对称轴；

图（3）有无数条对称轴；

图（4）有两条对称轴；

图（5）有七条对称轴．

[师]大家回答得很好，看屏幕．

（演示折叠过程）

（1）

（2）（3）（4）（5）

接下来，大家想一想，你发现了什么？

（屏幕显示）

[生甲]这些图形都是轴对称图形．

[生乙]可是轴对称图形指的是一个图形，而这些图形每组都是两个图形，能不能说两个图形成轴对称呢？

[师]乙同学的观察能力很强，提的问题非常好．像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

（屏幕显示上图中的两个成轴对称图形的对称点）

好，接下来我们做练习来巩固所学内容．

Ⅲ．随堂练习

（一）课本P117练习

下面的图形是轴对称图形吗？

如果是，你能指出它的对称轴吗？

（图略）

（学生口答）

[生甲]图

（1）是轴对称图形，它的对称轴是过蝴蝶头和尾的直线．

[生乙]图

（2）也是轴对称图形．它的对称轴是过第一架飞机头和尾的直线．

[生丙]图（3）是轴对称图形．它的对称轴是中间那条竖直的线．

[生丁]图（4）不是轴对称图形．图（5）是轴对称图形，它有四条对称轴．

[师]大家回答得很好，看来同学们已能判断轴对称图形并找出它的对称轴了．

（二）P118练习

下面给出的每幅图中的两个图案是轴对称的吗？

如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点．

答案：

图

（1）（3）（4）中的两个图案是轴对称的，图

（2）不是．其对称轴及对称点如图．

Ⅳ．课时小结

这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称．

Ⅴ．课后作业

（一）课本习题14．1─1、2、6、7、8题．

（二）预习课本P118～P120内容．

Ⅵ．活动与探究

课本P118思考．

成轴对称的两个图形全等吗？

如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？

这两个图形对称吗？

过程：

（学生操作）在硬纸板上画两个成轴对称的图形，再用剪刀将这两个图形剪下来看是否重合．再在硬纸板上画出一个轴对称图形，然后将该图形剪下来，再沿对称轴剪开，看两部分是否能够完全重合．结论：

成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的．

轴对称是说两个图形的位置关系，而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形．

轴对称的两个图形和轴对称图形，都要沿某一条直线折叠后重合；

如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；

反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．

板书设计

§

一、轴对称：

如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．

二、两个图形成轴对称：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称．

三、随堂练习

四、小结

14．1．2轴对称

（二）

第二课时

1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．

2．探究线段垂直平分线的性质．

1．经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察．

2．探索线段垂直平分线的性质，培养学生认真探究、积极思考的能力．

通过对轴对称图形性质的探索，促使学生对轴对称有了更进一步的认识，活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力．

1．轴对称的性质．

2．线段垂直平分线的性质．

体验轴对称的特征．

引导发现法．

多媒体课件、投影仪．

[师]上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽．那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？

[生]如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

[师]很好，那么我们今天继续来研究轴对称的性质．

[师]大家观看大屏幕，再思考．

如下图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？

（学生思考并做小范围讨论）

[生甲]图中A、A′是对称点，AA′与MN垂直，BB′和CC′也与MN垂直．

[师]能说明理由吗？

AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外还有什么关系吗？

[生乙]△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN对折后，点A与A′重合，于是有AP=A′P，∠MPA=∠MPA′=90°

．所以AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外，MN还经过线段AA′、BB′和CC′的中点．

[师]这位同学回答得非常好，分析得也很有道理．对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

[师]下面大家来画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系．

学生画完后，用投影仪演示同学们所画的图形．

[师]我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．

归纳图形轴对称的性质：

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．

下面我们来探究线段垂直平分线的性质．

[探究1]

如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？

学生活动：

1．学生用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…

2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律．

探究结果：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，…

[师]能用我们已有的知识来证明这个结论吗？

学生讨论给出证明．

证法一：

利用判定两个三角形全等．

如下图，在△APC和△BPC中，

△APC≌△BPC

PA=PB.

证法二：

利用轴对称性质．

由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的．

带着探究1的结论我们来看下面的问题．

[探究2]

如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？

为什么？

1．学生用平面图形将上述问题进行转化．作线段AB，取其中点P，过P作L，在L上取点P1、P2，连结AP1、AP2、BP1、BP2．会有以下两种可能．

2．讨论：

要使L与AB垂直，AP1、AP2、BP1、BP2应满足什么条件？

探究过程：

1．如上图甲，若AP1≠BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B不可能重合，也就是∠APP1≠∠BPP1，即L与AB不垂直．

2．如上图乙，若AP1=BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B恰好重合，就有∠APP1=∠BPP1，即L与AB重合．当AP2=BP2时，亦然．

探究结论：

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．也就是说在[探究2]图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直．

[师]上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；

反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合．

（一）课本P121练习1、2．

1．如下图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？

AB+BD与DE有什么关系？

答：

AB=AC=CE．理由：

线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等．AB+BD=DE．因为AB=CE，BD=DC，所以AB+BD=DC+CE，即AB+BD=DE．

2．如下图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？

是．因为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以A、M都在BC的垂直平分线上，所以直线AM是线段BC的垂直平分线．

（二）阅读课本P119～P120，然后小结．

这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题．

（一）课本习题14．1─3、4、9题．

（二）预习课本P121～P122内容．

Ⅵ．活动与探究

如图甲，△ABC和△A′B′C′关于直线L对称，延长对应线段AB和A′B′，两条延长线相交吗？

交点与对称轴L有什么关系？

延长其他对应线段呢？

在图乙中，AC与A′C′又如何呢？

再找几个成轴对称的图形观察一下，能发现什么规律吗？

过程：

在图甲中，AB与A′B′不平行，所以它们肯定会相交．下面来研究交点与对称轴L的关系．

[师]点和直线有几种位置关系？

[生]有两种．一种是点不在直线上，另一种是点在直线上．

[师]好，那么我们先来假设一下交点不在对称轴L上，看是否成立．

（学生探究）

如果交点（P）不在对称轴L上，那么在L的另一侧一定有另外一点（P′）与交点（P）关于直线L对称，且该点（P′）也是两延长线的交点．但是由于两条直线相交只可能有一个交点，所以这两点是重合的．即交点（P）只能在对称轴L上．

[生]交点一定在对称轴上．延长其他的对应线段，结果也一样．

[师]很好．再看图乙，我们来讨论下一个问题．

[生]AC与A′C′是平行的，它们的两条延长线也不会相交．

结论：

成轴对称的两个图形，对应线段的延长线如果相交，交点一定在对称轴上；

对应线段的延长线如果不相交，也就是对应线段所在的直线平行，那么它们也与对称轴平行．

一、复习：

轴对称图形．

二、线段垂直平分线的定义：

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线．

三、图形轴对称的性质：

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．

四、线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线的点到这条线段两个端点的距离相等；

反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．

五、随堂练习

六、课时小结

七、课后作业

14．1．3轴对称（三）

第三课时

探索作出轴对称图形的对称轴的方法．

1．经历探究轴对称图形的对称轴的作法的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

2．掌握轴对称图形对称轴的作法．

3．在探索的过程中，培养学生分析、归纳的能力．

通过提问、思考、归纳、探究来激发学生学习数学的兴趣，并使学生了解一些研究问题的经验和方法，开拓实践能力，培养创新精神．

轴对称图形对称轴的作法．

探索轴对称图形对称轴的作法．

Ⅰ．提出问题，引入新课

[师]有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？

不折叠图形，你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗？

（学生思考，教师提示）

[师]大家不妨回忆，我们上节研究的主要结论是什么？

[生]轴对称图形的性质．

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．

[师]这位同学回答得很好．大家想想，既然轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线，那么，轴对称图形的对称轴如何来作呢？

[生]只要我们找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了．

[师]好极了．这就是我们这节课要研究的第一个问题，大家请看大屏幕．

（播放课件）

问题：

如何作出线段的垂直平分线？

提示：

由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质，只要作出到线段两端点距离相

等的两点即可．

[师]下面同学们按我们分好的组来讨论．

[生]我们用折纸的方法，根据折叠的过程中线段重合，说明了线段垂直平分线的一个性质：

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．所以这个问题利用此性质就能完成．

[师]这位同学分析得很详细，我们曾证明过这一性质．现在我们利用这一性质，来作出线段的垂直平分线．

[师]要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么我们必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．

下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．

[师生共析]

[例]如图

（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

已知：

线段AB[如图

（1）]．

求作：

线段AB的垂直平分线．

作法：

如图

（2）

1．分别以点A、B为圆心，以大于

AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；

2．作直线CD．

直线CD就是线段AB的垂直平分线．

[师]在上述作法中，为什么要以“大于

AB的长”为半径作弧？

[生]如果以

AB长为半径作弧，两弧只有一个交点，正好是线段AB的中点．这样就找不到到端点A、B距离相等的两点，也就作不出线段AB的垂直平分线．

[生]如果以小于

AB长为半径，两弧就没有交点，这样找不到到A、B两端点距离相等的点，也就作不出线段AB的垂直平分线了．只有以大于

长为半径作弧才可以作出线段AB的垂直平分线．[师]根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线，请与同伴进行

交流．

[生]从作法的第一步可知

AC=BC，AD=BD．

∴C、D都在AB的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定定理）．

∴CD就是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线）．

[师]这种作图方法用到直尺和圆规，我们把这种用直尺和圆规辅助作图的方法叫尺规作图法．

我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．

[师]同学们不要忘了，我们作线段的垂直平分线是为了什么．

[生]是为了作出轴对称图形的对称轴．

[师]那怎么作出一个轴对称图形的对称轴呢？

[生]我们只要找到任意一组对应点，作出这对对应点连线的垂直平分线，就可以得到此图形的对称轴．

[师]我们来看下面的例题．

（演示课件）

[例]下图中的五角星有几条对称轴？

作出这些对称轴．

1．找出五角星的一对对应点A和A′，连结AA′．

2．作出线段AA′的垂直平分线L．

则L就是这个五角星的一条对称轴．

用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．

[师]现在同学们自己画一个轴对称图形，再按照上述方法，作出这个轴对称图形的对称轴．

（投影仪演示学生作图）

[生甲]

（一）课本P122练习1、2、3

1．画出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们画的一样吗？

略

2．如图，角是轴对称图形吗？

如果是，它的对称轴是什么？

答案：

角是轴对称图形．

角的对称轴是角的平分线所在直线．

3．如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？

画出它们的对称轴．

与A成轴对称的是图形D（或B）．

（二）阅读课本P121～P122，小结．

本节课我们探讨了尺规作图，作出线段的垂直平分线．并据此得到作出一个轴对称图形一条对称轴的方法：

找出轴对称图形的任意一对对应点，连结这对对应点，作出连线的垂直平分线，该垂直平分线就是这个轴对称图形的一条对称轴．

课本P124习题─5、10、11、12题．

尺规作图：

作出已知角的角平分线．

找出作图根据：

角平分线上的点到角两边的距离相等．

结果：

∠AOB

射线OC，使∠AOC=∠BOC

（如下图）

1．在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE．

2．分别以D、E为圆心，以大于

DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C．

3．作射线OC．

OC就是∠AOB的平分线．

证明：

从作图过程中，不难发现OD=OE．EC=DC，OC=OC．

∴△OCE≌△OCD（SSS）．

∴∠1=∠2，即OC是∠AOB的角平分线．

一、问题：

复习轴对称的性质．

二、问题：

如何作出一个轴对称图形的一条对称轴？

三、问题：

四、尺规作图：

作法（略）

五、例题（略）

六、练习

七、课时小结

八、课外作业