高考数学二轮复习专题八附加题第2讲计数原理随机变量数学归纳.docx
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高考数学二轮复习专题八附加题第2讲计数原理随机变量数学归纳
第2讲 计数原理、随机变量、数学归纳法
[考情考向分析] 1.考查分类计数原理、分步计数原理与排列、组合的简单应用,B级要求.2.考查n次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的数学期望与方差,B级要求.3.考查数学归纳法的简单应用,B级要求.
热点一 计数原理与二项式定理
例1 (2018·苏州调研)已知fn(x)=n,n∈N*.
(1)当a=1时,求f5(x)展开式中的常数项;
(2)若二项式fn(x)的展开式中含有x7的项,当n取最小值时,展开式中含x的正整数次幂的项的系数之和为10,求实数a的值.
解 二项式n的展开式通项为
Tr+1=Cn-rr=C(3a)rx2n-5r(r=0,1,2,…,n),
(1)当n=5,a=1时,f(x)的展开式的常数项为T3=9C=90.
(2)令2n-5r=7,则r=∈N,所以n的最小值为6,
当n=6时,二项式6的展开式通项为
Tr+1=C(3a)rx12-5r(r=0,1,2,…,6),
则展开式中含x的正整数次幂的项为T1,T2,T3,它们的系数之和为
C+C(3a)+C(3a)2=135a2+18a+1=10,
即15a2+2a-1=0,解得a=-或.
思维升华 涉及二项式定理的试题要注意以下几个方面:
(1)某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念,必须严格加以区别.
(2)根据所给式子的结构特征,对二项式定理的逆用或变用,注意活用二项式定理是解决二项式问题应具备的基本素质.
(3)关于x的二项式(a+bx)n(a,b为常数)的展开式可以看成是关于x的函数,且当x给予某一个值时,可以得到一个与系数有关的等式,所以,当展开式涉及到与系数有关的问题时,可以利用函数思想来解决.
跟踪演练1 (2018·江苏丹阳高级中学期中)设n≥3,n∈N*,在集合的所有元素个数为2的子集中,把每个子集的较大元素相加,和记为a,较小元素之和记为b.
(1)当n=3时,求a,b的值;
(2)求证:
对任意的n≥3,n∈N*,为定值.
(1)解 当n=3时,集合的所有元素个数为2的子集为,,,所以a=2+3+3=8,
b=1+1+2=4.
(2)证明 当n≥3,n∈N*时,依题意,
b=1×C+2×C+3×C+…+×
+×
,
a=2×C+3×C+4×C+…+×C+n×C
=2×1+3×2+4×3+…+×+n×.
则=C+C+C+…+C=C+C+C+…+C=C+C+…+C=…=C,
所以a=2C.
又a+b=(n-1)(1+2+3+…+n)=×=3C,所以b=C.故=.
热点二 随机变量及其概率分布
例2 (2018·南京师大附中考前模拟)如图,设P1,P2,…,P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点.现任选其中三个不同点构成一个三角形,记该三角形的面积为随机变量S.
(1)求S=的概率;
(2)求S的概率分布及数学期望E(S).
解
(1)从六个点中任选三个不同点构成一个三角形共有C种不同选法,
其中S=的为有一个角是30°的直角三角形,(如△P1P4P5),共6×2=12种,
所以P==.
(2)S的所有可能取值为,,.
S=的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3),
共6种,所以P==.
S=的为等边三角形(如△P1P3P5),
共2种,所以P==.
又由
(1)知P==,故S的概率分布为
S
P
所以E(S)=×+×+×=.
思维升华 求解一般的随机变量的数学期望的基本方法
先根据随机变量的意义,确定随机变量可以取哪些值,然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率,列出概率分布,根据数学期望公式计算.
跟踪演练2 (2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)在某公司举行的年终庆典活动中,主持人利用随机抽奖软件进行抽奖:
由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格,其中1格设奖300元,4格各设奖200元,其余4格各设奖100元,点击某一格即显示相应金额.某人在一张表中随机不重复地点击3格,记中奖的总金额为X元.
(1)求概率P;
(2)求X的概率分布及数学期望E(X).
解
(1)从3×3表格中随机不重复地点击3格,共有C种不同情形,则事件“X=600”包含两类情形:
第一类是3格各得奖200元;第二类是1格得奖300元,一格得奖200元,一格得奖100元,其中第一类包含C种情形,第二类包含C·C·C种情形.
∴P==.
(2)X的所有可能值为300,400,500,600,700.
则P===,
P===,
P===,
P(X=600)=,
P===.
∴X的概率分布为
X
300
400
500
600
700
P
∴E=300×+400×+500×+600×+700×=500.
热点三 数学归纳法
例3 (2018·江苏姜堰、溧阳、前黄中学联考)已知数列满足an=C++++…+,n∈N*.
(1)求a1,a2,a3的值;
(2)猜想数列的通项公式,并证明.
解
(1)a1=2,a2=4,a3=8.
(2)猜想:
an=2n(n∈N*).
证明如下:
①当n=1时,由
(1)知结论成立;
②假设当n=k(k∈N*,k≥1)时结论成立,
则有ak=C++++…+=2k.
则当n=k+1时,ak+1=C++++…+.
由C=C+C得
ak+1=C++++…++
=2k++++…++
=2k+
=2k+.
又C==
==C,
ak+1=2k+,
于是ak+1=2k+ak+1.
所以ak+1=2k+1,故n=k+1时结论也成立.
由①②得,an=2n,n∈N*.
思维升华 在数学归纳法中,归纳奠基和归纳递推缺一不可.在较复杂的式子中,注意由n=k到n=k+1时,式子中项数的变化应仔细分析,观察通项.同时还应注意,不用假设的证法不是数学归纳法.
跟踪演练3 (2018·常州期末)记××…×(n≥2且n∈N*)的展开式中含x项的系数为Sn,含x2项的系数为Tn.
(1)求Sn;
(2)若=an2+bn+c对n=2,3,4成立,求实数a,b,c的值;
(3)对
(2)中的实数a,b,c用数学归纳法证明:
对任意n≥2且n∈N*,=an2+bn+c都成立.
(1)解 Sn==.
(2)解 =,=,=,
则
解得a=,b=-,c=-,
(3)证明 ①当n=2时,由
(2)知等式成立;
②假设n=k(k∈N*,且k≥2)时,等式成立,
即=k2-k-.
当n=k+1时,由f(x)=××…××
=×=,
知Tk+1=Sk+Tk
=·,
所以=
==,
又2--=,
等式也成立;
综上可得,对任意n≥2且n∈N*,
都有=--成立.
1.(2018·全国大联考江苏卷)
(1)求4C-7C+(n≥k,且n,k∈N*)的值.
(2)设f(n)=1·C·3+2·C·32+…+nC·3n(n∈N*),求方程f(n)=3840的所有解.
解
(1)因为4C=4×35=140,7C=7×20=140,
kC=k·=n·=nC(n≥k,且n,k∈N*).
所以4C-7C+=1.
(2)由
(1)知kC=nC对1≤k≤n,且n,k∈N*成立.
所以f(n)=n(C3+C32+…+C3n),
所以f(n)=3n(C+C3+…+C3n-1)
=3n(1+3)n-1=3n·4n-1(n∈N*).
又因为===4+>1,即f(n+1)>f(n)对n∈N*成立,
所以f(n)是关于n(n∈N*)的递增函数.
又因为f(n)=3840=3×5×44=f(5),
所以当且仅当n=5时才满足条件,即n=5是方程f(n)=3840的唯一解.
2.(2018·江苏)设n∈N*,对1,2,…,n的一个排列i1i2…in,如果当s<t时,有is>it,则称(is,it)是排列i1i2…in的一个逆序,排列i1i2…in的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如:
对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1,2,…,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.
(1)求f3
(2),f4
(2)的值;
(2)求fn
(2)(n≥5)的表达式(用n表示).
解
(1)记τ(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有
τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,
所以f3(0)=1,f3
(1)=f3
(2)=2.
对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.
因此,f4
(2)=f3
(2)+f3
(1)+f3(0)=5.
(2)对一般的n(n≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:
12…n,所以fn(0)=1.
逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以fn
(1)=n-1.
为计算fn+1
(2),当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.
因此,fn+1
(2)=fn
(2)+fn
(1)+fn(0)=fn
(2)+n.
当n≥5时,fn
(2)=[fn
(2)-fn-1
(2)]+[fn-1
(2)-fn-2
(2)]+…+[f5
(2)-f4
(2)]+f4
(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4
(2)=,
因此,当n≥5时,fn
(2)=.
3.已知实数数列{an}满足:
a1=3,an=·(an-1+2),n≥2.
证明:
当n≥2时,{an}是单调减数列.
证明 当n≥1时,有an+1-an=an+=(n+3-nan).
下面用数学归纳法证明:
an>1+(n≥2,n∈N*).
(1)当n=2时,a2=(3+2)=>1+;
(2)假设当n=k(k∈N*,k≥2)时,结论成立,即ak>1+.
那么,ak+1=(ak+2)>
=1+>1+.
故由
(1)
(2)知,an>1+(n≥2,n∈N*).
因此,当n≥2,n∈N*时,an+1-an=(n+3-nan)<0,即当n≥2时,{an}是单调减数列.
4.(2018·江苏盐城中学模拟)某乐队参加一户外音乐节,准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.
(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率;
(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a为常数),演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a.求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望.
解
(1)设“至少演唱1首原创新曲”为事件A,则事件A的对立事件为“没有1首原创新曲被演唱”.
所以P(A)=1-P()=1-=.
所以该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为.
(2)设随机变量x表示被演唱的原创新曲的首数,则x的所有可能值为0,1,2,3.
依题意知,X=ax+2a(4-x),故X的所有可能值依次为8a,7a,6a,5a.
则P(X=8a)=P(x=0)==,
P(X=7a)=P(x=1)==,
P(X=6a)=P(x=2)==,
P(X=5a)=P(x=3)==.
从而X的概率分布为
X
8a
7a
6a
5a
P
所以X的数学期望E(X)=8a×+7a×+6a×+5a×=a.
A组 专题通关
1.某年级星期一至星期五每天下午排3节课,每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程),张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.
(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率;
(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X,求X的概率分布与数学期望E(X).
解
(1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P=1-=.
(2)由题意得X~B,
P(X=k)=Ck5-k,k=0,1,2,3,4,5.
所以X的概率分布为
X
0
1
2
3
4
5
P
所以X的数学期望E(X)=5×=.
2.(2018·江苏省南京师大附中模拟)设集合A,B是非空集合M的两个不同子集.
(1)若M={a1,a2},且A是B的子集,求所有有序集合对(A,B)的个数;
(2)若M={a1,a2,a3,…,an},且A的元素个数比B的元素个数少,求所有有序集合对(A,B)的个数.
解
(1)若集合B含有2个元素,即B={a1,a2},
则A=∅,,,则(A,B)的个数为3;
若集合B含有1个元素,则B有C种,不妨设B={a1},则A=∅,此时(A,B)的个数为C×1=2.
综上,(A,B)的个数为5.
(2)集合M有2n个子集,又集合A,B是非空集合M的两个不同子集,
则不同的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n-1).
若A的元素个数与B的元素个数一样多,则不同的有序集合对(A,B)的个数为
C(C-1)+C(C-1)+C(C-1)+…+C(C-1)
=2+2+2+…+2-(C+C+C+…+C),
又(x+1)n(x+1)n的展开式中xn的系数为2+2+2+…+2,
且(x+1)n(x+1)n=(x+1)2n的展开式中xn的系数为C,
所以2+2+2+…+2=C.
因为C+C+C+…+C=2n,
所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时,
有序集合对(A,B)的个数为C-2n.
所以,A的元素个数比B的元素个数少时,有序集合对(A,B)的个数为
=.
3.已知2n+1=a0+a1x+a2x2+…+a2n+1x2n+1,n∈N*.记Tn=an-k.
(1)求T2的值;
(2)化简Tn的表达式,并证明:
对任意的n∈N*,Tn都能被4n+2整除.
解 由二项式定理,得ai=C(i=0,1,2,…,2n+1).
(1)T2=a2+3a1+5a0=C+3C+5C=30.
(2)∵C
=·
==C,
∴Tn=an-k=C=C
=C
=2C-C
=2C-C=2··-··22n+1=C.
∴Tn=C=
=2C.
∵C∈N*,
∴Tn能被4n+2整除.
4.是否存在正整数m使得f(n)=(2n+7)·3n+9对任意正整数n都能被m整除?
若存在,求出最大的m的值,并证明你的结论;若不存在,说明理由.
解 由f(n)=(2n+7)·3n+9,得f
(1)=36,f
(2)=3×36,f(3)=10×36,f(4)=34×36,由此猜想m=36.
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,结论显然成立;
②假设当n=k(k∈N*,k≥1)时,结论成立,即f(k)能被36整除,
设f(k)=(2k+7)·3k+9=t·36.
当n=k+1时,
f(k+1)=[2(k+1)+7]·3k+1+9
=(2k+7)·3k+1+2·3k+1+9
=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1)
=3·36t+18·2s=36(3t+s).
所以当n=k+1时结论成立.
由①②可知,对一切正整数n,存在正整数m,使得
f(n)=(2n+7)·3n+9都能被m整除,m的最大值为36.
B组 能力提高
5.(2018·常州模拟)已知正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长相等,在这个正四棱锥的8条棱中任取两条,按下列方式定义随机变量ξ的值:
若这两条棱所在的直线相交,则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制);
若这两条棱所在的直线平行,则ξ=0;
若这两条棱所在的直线异面,则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制).
(1)求P的值;
(2)求随机变量ξ的概率分布及数学期望E.
解 根据题意,该四棱锥的四个侧面均为等边三角形,底面为正方形,容易得到△PAC,△PBD为等腰直角三角形,ξ的可能取值为:
0,,,共C=28种情况,其中,当ξ=0时,有2种;当ξ=时,有3×4+2×4=20(种);
当ξ=时,有2+4=6(种).
(1)P==.
(2)P==,P==,
根据
(1)的结论,随机变量的概率分布如下表:
ξ
0
P
根据上表,E=0×+×+×=π.
6.设P(n,m)=(-1)kC,Q(n,m)=C,其中m,n∈N*.
(1)当m=1时,求P(n,1)·Q(n,1)的值;
(2)对∀m∈N*,证明:
P(n,m)·Q(n,m)恒为定值.
(1)解 当m=1时,P(n,1)=(-1)kC
=(-1)kC=,
又Q(n,1)=C=n+1,显然P(n,1)·Q(n,1)=1.
(2)证明 P(n,m)=(-1)kC
=1+(-1)k(C+C)+(-1)n
=1+(-1)kC+(-1)kC
=P(n-1,m)+(-1)kC
=P(n-1,m)-(-1)kC
=P(n-1,m)-P(n,m).
即P(n,m)=P(n-1,m),
由累乘,易求得P(n,m)==,
又Q(n,m)=C,所以P(n,m)·Q(n,m)=1.
7.已知数列{an}是等差数列,且a1,a2,a3是m展开式的前三项的系数.
(1)求m展开式的中间项;
(2)当n≥2时,试比较+++…+与的大小.
解
(1)m=1+C+C2+…+Cm,
依题意a1=1,a2=m,a3=,
由2a2=a1+a3,可得m=1(舍去)或m=8.
所以m展开式的中间项是第五项,
T5=C4=x4.
(2)由
(1)知,an=3n-2,
当n=2时,+++…+=++=++=>;
当n=3时,+++…+
=+++…+
=++++++
=++
>++
=++>++>.
猜测:
当n≥2时,+++…+>.
以下用数学归纳法加以证明:
①当n=2时,结论成立.
②假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,+++…+>,
则当n=k+1时,+++…+
=+
>+>+-
=+-
=+
=+.
由k≥3可知,3k2-7k-3>0,
即+++…+>.
综合①②,可得当n≥2时,
+++…+>.
8.设|θ|<,n为正整数,数列{an}的通项公式an=sin·tannθ,其前n项和为Sn.
(1)求证:
当n为偶数时,an=0;当n为奇数时,an=(-1)
tannθ.
(2)求证:
对任意正整数n,S2n=sin2θ·[1+(-1)n+1·tan2nθ].
证明
(1)因为an=sintannθ.
当n为偶数时,设n=2k(k∈N*),an=a2k=sintan2kθ=sinkπ·tan2kθ=0,an=0.
当n为奇数时,设n=2k-1(k∈N*),an=a2k-1
=sintan2k-1θ=sin·tan2k-1θ.
当k=2m(m∈N*)时,
an=a2k-1=sin·tan4m-1θ
=sin·tan4m-1θ=-tan4m-1θ,
此时=2m-1,
an=a2k-1=-tan4m-1θ=(-1)2m-1tan4m-1θ
=(-1)
tannθ.
当k=2m-1(m∈N*)时,
an=a2k-1=sin·tan4m-3θ
=sin·tan4m-3θ=tan4m-3θ,
此时=2m-2,an=a2k-1=tan4m-3θ=(-1)2m-2tan4m-3θ=(-1)
tannθ.
综上,当n为偶数时,an=0;
当n为奇数时,an=(-1)
tannθ.
(2)当n=1时,由
(1)得S2=a1+a2=tanθ,
sin2θ[1+(-1)n+1tan2nθ]=sin2θ(1+tan2θ)
=sinθ·cosθ·=tanθ.
故当n=1时,命题成立.
假设当n=k(k∈N*,k≥1)时命题成立,
即S2k=sin2θ·[1+(-1)k+1tan2kθ].
当n=k+1时,由
(1)得
S2(k+1)=S2k+a2k+1+a2k+2=S2k+a2k+1
=sin2θ·[1+(-1)k+1tan2kθ]+(-1)ktan2k+1θ
=sin2θ·
=sin2θ·
=sin2θ·
=sin2θ·[1+(-1)k+2·tan2k+2θ].
即当n=k+1时命题成立.
综上所述,对正整数n,命题成立.
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠,读出了它坦荡豪放的胸怀;读太阳,读出了它普照万物的无私;读春雨,读出了它润物无声的柔情。
读大海,读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂;幸福是“春种一粒粟,秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;幸福是“奇闻共欣赏,疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献;幸福是“夜来风雨声,花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉,笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩:
从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;从归雁的行列中,我读出了集体的力量;从冰雪的消融中,我们读出了春天的脚步;从穿石的滴水中,我们读出了坚持的可贵;从蜂蜜的浓香中,我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子,如果害怕埋没,那它永远不能发芽。
鲜花,如果害怕凋谢,那它永远不能开放。
矿石,如果害怕焚烧(熔炉),那它永远不能成钢(炼成金子)。
蜡烛,如果害怕熄灭(燃烧),那它永远不能发光。
航船,如果害怕风浪,那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花,当你孤芳自赏时,天地便小了。
井底的蛙,当你自我欢唱时,视野便窄了。
笼中的鸟,当你安于供养时,自由便没了。
山中的石!
当你背靠群峰时,意志就坚了。
水中的萍!
当你随波逐流后,根基就没了。
空中的鸟!
当你展翅蓝天中,宇宙就大了。
空中的雁!
当你离开队伍时,危险就大了。
地下的煤!
你燃烧自己后,贡献就大了
6、朋友是什么?
朋友是快乐日子里的一把吉它,尽情地为你弹奏生活的愉悦;朋友是忧伤日子里的一股春风,轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师,热情的将你引向阳光的地带;朋友是失败苦闷中的一盏明灯,默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子,可以无声无息地在泥土里腐烂掉,也可以长成参天的大树。
一块铀块,可以平庸无奇地在石头里沉睡下去,也可以产生惊天动地的力量。
一个人,可以碌碌无为地在世上厮混日子,也可以让生命发出耀眼的光芒。
8、青春是一首歌,她拨动着我们年轻的心弦;青春是一团火,她点燃了我们沸腾的热血; 青春是一面旗帜,她召唤着我们勇敢前行;青春是一本教科书,她启迪着我们的智慧和心灵。