最新人教A版必修一高中数学单元测试第三章函数的应用B卷 及答案.docx
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最新人教A版必修一高中数学单元测试第三章函数的应用B卷及答案
第三章 函数的应用
单元测试
(时间:
120分钟 满分:
150分)
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=2x+m的零点落在(-1,0)内,则m的取值范围为( )
A.(-2,0) B.(0,2) C.-2,0] D.0,2]
2.设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( )
A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2)D.不确定
3.下列函数中,不能用二分法求零点的是( )
A.y=3x+1B.y=x2-1
C.y=log2(x-1)D.y=(x-1)2
4.方程x3-x-3=0的实数解所在的区间是( )
A.-1,0]B.0,1]C.1,2]D.2,3]
5.为了求函数f(x)=2x+3x-7的零点,某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值(精确度0.1)如下表所示:
x
1.25
1.3125
1.375
1.4375
1.5
1.5625
f(x)
-0.8716
-0.5788
-0.2813
0.2101
0.32843
0.64115
则方程2x+3x=7的近似解(精确到0.1)可取为( )
A.1.5B.1.4C.1.3D.1.2
6.若函数y=
|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是( )
A.m≤-1B.-1≤m<0C.m≥1D.07.设x0是函数f(x)=lnx+x-4的零点,则x0所在的区间为( )
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
8.如果二次函数y=x2+mx+m+3不存在零点,则m的取值范围是( )
A.(-∞,-2)∪(6,+∞)B.{-2,6}
C.-2,6]D.(-2,6)
9.由表格中的数据可以判定方程ex-x-2=0的一个零点所在的区间是(k,k+1)(k∈Z),则k的值为( )
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5
A.-1B.0C.1D.2
10.已知x0是函数f(x)=2x+
的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )
A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)<0,f(x2)>0
C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)>0,f(x2)>0
11.已知函数f(x)=|log3(x-1)|-
x-1有2个不同的零点x1,x2,则( )
A.x1·x2<1B.x1·x2=x1+x2
C.x1·x2>x1+x2D.x1·x212.若对于定义在R上的函数f(x),其图象是连续的,且存在常数λ(λ∈R),使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意的实数x成立,则称f(x)是“λ-同伴函数”.下列关于“λ-同伴函数”的叙述中正确的是( )
A.“
-同伴函数”至少有一个零点
B.f(x)=x2是一个“λ-同伴函数”
C.f(x)=log2x是一个“λ-同伴函数”
D.f(x)=0是唯一一个常值“λ-同伴函数”
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)
13.函数f(x)=
的零点个数为________.
14.函数f(x)=x2+mx-6的一个零点是-6,则另一个零点是________.
15.若函数f(x)=lg|x-1|-m有两个零点x1和x2,则x1+x2=________.
16.设定义域为R的函数f(x)=
若关于x的方程2f(x)]2-(2a+3)f(x)+3a=0有五个不同的实数解,则a的取值范围是________.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知函数f(x)=
(1)求不等式f(x)>5的解集;
(2)若方程f(x)-
=0有三个不同实数根,求实数m的取值范围.
18.(本小题满分12分)
已知定义在R上奇函数f(x)在x≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分.
(1)请补全函数f(x)的图象;
(2)写出函数f(x)的表达式(只写明结果,无需过程);
(3)讨论方程|f(x)|=a的解的个数(只写明结果,无需过程).
19.(本小题满分12分)
某上市股票在30天内每股交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线段上,该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示:
第t天
4
10
16
22
Q(万股)
36
30
24
18
(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式;
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式;
(3)用y表示该股票日交易额(万元),写出y关于t的函数关系式,并求在这30天中第几天日交易额最大,最大值是多少?
20.(本小题满分12分)
定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2+mx-1.
(1)当x∈(0,+∞)时,求f(x)的解析式;
(2)若方程y=f(x)有五个零点,求实数m的取值范围.
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=loga(2x+1)-loga(1-2x).
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并给予证明;
(2)若函数y=f(x)与y=m-loga(2-4x)的图象有且仅有一个公共点,求实数m的取值范围.
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx,(k∈R)为偶函数.
(1)求k的值;
(2)若函数f(x)=log4(a·2x-a)有且仅有一个根,求实数a的取值范围.
详解答案
第三章 函数的应用
单元测试
1.B 解析:
由题意f(-1)·f(0)=(m-2)m<0,∴02.B 解析:
因为f(1.5)>0,f(1.25)<0,所以由零点存在性定理可得,方程3x+3x-8=0的根落在区间(1.25,1.5)内.
3.D 解析:
结合函数y=(x-1)2的图象可知,该函数在x=1的左右两侧函数值的符号均为正,故其不能用二分法求零点.
4.C 解析:
方程x3-x-3=0的实数解,可看成函数f(x)=x3-x-3的零点.∵f
(1)=-3<0,f
(2)=3>0,∴f
(1)·f
(2)<0.由零点存在性定理可得,函数f(x)=x3-x-3的零点所在的区间为1,2].故选C.
5.B 解析:
函数f(x)=2x+3x-7的零点在区间(1.375,1.4375)内,且|1.375-1.4375|=0.0625<0.1,所以方程2x+3x=7的近似解(精确到0.1)可取为1.4.
6.B 解析:
函数图象与x轴有公共点,即函数f(x)=
|1-x|,g(x)=-m有交点.作出f(x),g(x)的图象,如图所示.
0<-m≤1,即-1≤m<0,故选B.
7.C 解析:
∵f
(2)=ln2+2-4=ln2-2<0,f(3)=ln3-1>lne-1=0,由零点定理得f
(2)·f(3)<0.∴x0所在的区间为(2,3).故选C.
8.D 解析:
∵二次函数y=x2+mx+m+3不存在零点,二次函数图象开口向上,∴Δ<0,可得m2-4(m+3)<0,解得-29.C 解析:
设函数f(x)=ex-x-2,如果零点在(k,k+1),那么f(k)·f(k+1)<0,由表格分析,f
(1)<0,f
(2)>0,故k=1,故选C.
10.B 解析:
由定义法证明函数的单调性的方法,得f(x)在(1,+∞)上为增函数,又1解题技巧:
本题主要考查了函数的零点和单调性,解决本题的关键是判断出函数f(x)=2x+
的单调性.
11.D 解析:
∵函数f(x)=|log3(x-1)|-
x-1有2个不同的零点,∴函数f(x)=|log3(x-1)|与函数g(x)=
x+1的图象有两个不同的交点.又∵g(x)=
x+1是减函数,∴-log3(x1-1)>log3(x2-1),∴(x1-1)(x2-1)<1,整理得x1·x212.A 解析:
令x=0,得f
+
f(0)=0,所以f
=-
f(0).若f(0)=0,显然f(x)=0有实数根;若f(0)≠0,f
·f(0)=-
(f(0))2<0.又因为函数f(x)的图象是连续不断的,所以f(x)=0在
上必有实数根,即任意“
-同伴函数”至少有一个零点.故A正确;
用反证法,假设f(x)=x2是一个“λ-同伴函数”,则(x+λ)2+λx2=0,即(1+λ)x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立,所以λ+1=2λ=λ2=0,而此式无解,所以f(x)=x2不是一个“λ-同伴函数”.故B错误;
因为f(x)=log2x的定义域不是R.故C错误;
设f(x)=C是一个“λ-同伴函数”,则(1+λ)C=0,当λ=-1时,可以取遍实数集,因此f(x)=0不是唯一一个常值“λ-同伴函数”.故D错误.
13.2 解析:
依题意可知f(x)=x2+2x-3的零点为-3,1,∵x≤0,∴零点为-3.f(x)=-2+lnx的零点为e2.故函数有2个零点.
14.1 解析:
依题意可知,f(-6)=(-6)2-6m-6=0⇒m=5,所以f(x)=x2+5x-6=(x+6)(x-1),令f(x)=0,解得x=-6或x=1,所以另一个零点是1.
15.2 解析:
∵函数f(x)=lg|x-1|-m有两个零点,∴函数y1=lg|x-1|与函数y2=m有两个交点,∵y1=lg|x-1|的图象关于x=1对称,∴lg|x1-1|=lg|x2-1|,∴x1+x2=2.
16.1<a<
或
∵题中原方程2f(x)]2-(2a+3)f(x)+3a=0有且只有5个不同实数解,
∴要求对应于f(x)等于某个常数有3个不同实数解,
∴先根据题意作出f(x)的简图:
由图可知,只有当f(x)=a时,它有三个根.
所以有1<a<2①.
再根据2f(x)2-(2a+3)f(x)+3a=0有两个不等实根,
得:
Δ>0即(2a+3)2-24a>0,a≠
②.
结合①②得:
1<a<
或
解题技巧:
本题主要考查了函数零点和方程解的关系,解决本题的关键是找出隐含条件f(x)=a有3个不同实数解.
17.解:
(1)当x≤0时,由x+6>5,得-1当x>0时,由x2-2x+2>5,得x>3.
综上所述,不等式的解集为(-1,0]∪(3,+∞).
(2)方程f(x)-
=0有三个不同实数根,等价于函数y=f(x)与函数y=
的图象有三个不同的交点.由图可知1<
<2,解得-2或
所以,实数m的取值范围(-2,-
)∪(
,2).
解题技巧:
本题主要考查了函数零点和方程解的关系,解决本题的关键是画出函数f(x)图象,使函数y=f(x)与函数y=
的图象有三个不同的交点,从而求出m的范围.
18.解:
(1)补全f(x)的图象如图
(1)所示.
①
(2)当x≥0时,设f(x)=a(x-1)2-2,由f(0)=0得,a=2,
所以此时,f(x)=2(x-1)2-2,即f(x)=2x2-4x,
当x<0时,-x>0,
所以f(-x)=2(-x)2-4(-x)=2x2+4x,①
又f(-x)=-f(x),代入①,得f(x)=-2x2-4x,
所以f(x)=
(3)函数y=|f(x)|的图象如图
(2)所示.
②
由图可知,当a<0时,方程无解;
当a=0时,方程有三个解;
当0当a=2时,方程有4个解;
当a>2时,方程有2个解.
19.解:
(1)由图象知,前20天满足的是递增的直线方程,且过两点(0,2),(20,6),容易求得直线方程为P=
t+2;
从20天到30天满足递减的直线方程,且过两点(20,6),(30,5),求得方程为P=-
t+8,
故P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式为
P=
(2)由图表,易知Q与t满足一次函数关系,即Q=-t+40,0≤t≤30,t∈N.
(3)由以上两问,可知
y=
=
当0≤t≤20,t=15时,ymax=125,
当20∴在30天中的第15天,日交易额的最大值为125万元.
20.解:
(1)设x>0,则-x<0,所以f(-x)=-x2-mx-1.
又f(x)为奇函数,即f(-x)=-f(x),
所以f(x)=x2+mx+1(x>0).
又f(0)=0,所以f(x)=
(2)因为f(x)为奇函数,所以函数y=f(x)的图象关于原点对称,
即方程f(x)=0有五个不相等的实数解,得y=f(x)的图象与x轴有五个不同的交点.
又f(0)=0,所以f(x)=x2+mx+1(x>0)的图象与x轴正半轴有两个不同的交点,
即方程x2+mx+1=0有两个不等正根,记两根分别为x1,x2,
所以
解得m<-2.
所以,所求实数m的取值范围是m<-2.
21.解:
(1)函数f(x)为奇函数.
证明如下:
∵f(x)的定义域为x∈
,关于原点对称,
f(x)+f(-x)=loga
+loga
=loga1=0,
∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
(2)函数y=f(x)与y=m-loga(2-4x)的图象有且仅有一个公共点⇔方程loga
=m-loga(2-4x)在区间x∈
上有且仅有一个实数解.
m=loga
+loga2(1-2x)=loga(4x+2).
∵-
,∴0<4x+2<4
∴loga(4x+2)∈(-∞,loga4)或loga(4x+2)∈(loga4,+∞),
∴当a>1时,m∈(-∞,loga4),当022.解:
(1)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),
即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,
∴log4
-log4(4x+1)=2kx,
∴(2k+1)x=0,∴k=-
.
(2)依题意知,log4(4x+1)-
x=log4(a·2x-a),
整理,得log4(4x+1)=log4(a·2x-a)2x],
∴4x+1=(a·2x-a)·2x(*).
令t=2x,则(*)变为(1-a)t2+at+1=0(**)只需其仅有一正根.
①当a=1时,t=-1不合题意;
②当(**)式有一正一负根时,∴
得a>1;
③当(**)式有两相等的正根时,Δ=0,∴a=±2
-2,且
>0,
∴a=-2-2
.
综上所述,a的取值范围为{a|a>1或a=-2-2
}.