仿射变换理论及其在几何中的应用.docx

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仿射变换理论及其在几何中的应用

仿射变换理论及其在几何中的应用

仿射变换理论在儿何中地位非常重要，它比正交变换解决的问题范围更广.本文中我们将看到仿射坐标系，在仿射坐标系中我们了解仿射变换和仿射变换的基本性质，例如包括仿射变换将直线变为直线，将平行的两条直线变为半行的两直线。

本文中还介绍单比，利用它证明了梅内劳斯（Menelaus）定理。

后來本文介绍了仿射不变性质，例如两个三角形面积的比是仿射不变量。

最后本文介绍了利用本文的有关性质解决一些问题。

这样使得读者更好的了解这篇文章。

欧式儿何就是研究正交变换下图形的不变性质与不变量，因此在初等平面儿何中都是讨论图形的那些与距离，角度,面积，等有关的性质，如三角形全等，平行，垂直等•但是图形的各种变形中，保持任意两点之间的距离不变的变换是十分特殊.例如，图形的放大，物体在阳光照射下变成它们的影子等，都不具有这种性质，即都不是正交变换•因此，我们考虑较正交变换广泛一点的点变换，即仿射变换.本文讨论了仿射变换的槪念及其性质，同时给出了其在儿何中的应用.

1平面上的仿射坐标系与仿射变换

我们引进仿射坐标系：

在半面上任取一点。

及两个不共线的向量

5二O瓦,=oe2

（不一定是单位向量，EG,.不一定垂直的）这样我们就建立了仿射坐标系

如图1

对于平面上任一点尸，则向量。

户可唯一地表示为

OP=xei+yei

数组&y）称为关于仿射坐标系仁由,/},的仿射坐标.

定理1.0在仿射坐标系下，直线方程一定是关于仿射坐标系的一次方程Ax+By+C=0,

（1.00）

反之也真.

证明在直线上任取两点小演，乂），2（9,%）,对于直线上任一点P幺有

联II鹤，即

&-演K-K'

或

（工一占）（治一必）一（丁一九）（毛一%）二。

，

这是关于X,y的一次方程.

反之，在（1.00）±取£（公弘）及《（毛用）的坐标适合方程，即

Ar.+B\,+C=0,（1.02）

Av3+By：

+C=0.（1.03）

只要证明任一坐标适合方程的点P'3,y'）一定与共线即可，由T

Ax+By+C=Q,（1.04）

因A,B,C不全为零,（1.02）,（1.03）,（1.04）可理解为关于A,5,C,的齐次线

性方程组，由于A,民。

不全为零，所以

/Y*1

%弘1二0,

9月1

即P,[4共线.

定义1.1在平面上点之间的一个线性变换

J,（1.05）y1=a2ix+ci22y+（切，

yo

/«22

叫做仿射变换，其中（见城（£，川分别是p,p'的仿射坐标.

从仿射变换的代数表示可知平面内不共线的三对对应点（原像不共线，像也不共线）唯一决定一个仿射变换，称为仿射几何的基本定理.

例1有公式所确定的变换表示分别沿轴与轴两个压缩变换的乘积，显然是一个仿射变换.注1）正交变换是仿射变换的特例.

2）仿射变换的儿何意义就是半面到口身的半行影链.

2仿射变换的基本性质

定义1.2图形经过任何仿射变换后都不变的性质（量），称为图形的仿射性质（仿射不变量）.

性质1仿射变换将直线变为直线.

证明有仿射变换的代数表示式（1.03），其逆变换为

x=/?

・・x+…,b..

{J,<1.06）其中fJ,0.

y=b2ix+l）22y+么3,Z?

2/b22

设有直线八Ax+5y+C=0

仿射变换（1.06）下，有

（他］+叫I+（AZ?

：

：

+叫？

）y'+（做3+劭23+C）=0.（1・07）

由于A5不全为零且P〃'O,故Ab”+Bb2i和4b“+BZ?

22不全为零.

因此（1.07）是总了关于的一次方程，从而它表示一直线，及即仿射变换将直

线变为直线.

性质2两条平行直线经过仿射变换后仍变为两条半行直线

证已知两条平行直线：

「芋+町+£二°,其中3二旦去&

经过仿射变换（1.06）后，44分别变为

（A〃〃+）x'+（A4t+瓦"22）y'+A'++G二o.（i.os）

（A.Z?

a+B?

blJV+（A,Z?

ic+B*22）y'+A,Z?

x3+B?

b25+C1=Q.（1.09）

AAB・C・・

令t"=J=&,—1wk,

AB?

C2

于是

单土蜂二尤绛土蜂d#—箔卄QW&,（否则&二讹）这说明）A2bn+BzbziA?

bi2+B?

b22A,Z?

ia+/+C?

（L08）,（1.09）表示的直线平行.

注两直线平行是仿射变换的不变性质.如

1）任何一个仿射变换将平面仿射作标系变为另一个仿射坐标；

2）任何一个变换将平行四边形变为平行四边形：

3）任何一个仿射变换将梯形变为梯形：

八任何一个仿射变换将等腰三角形变为三角形：

通常我们把经过仿射变换可以相互转换的图形为仿射等价的图形.

例如圆与椭圆是仿射等价的.

下面引入仿射变换基本不变量：

单比（仿射比）

定义1.3设月，［是有向直线的两个顶点，尸是这有向直线的另一点，尸分有向线段［「为两个有向线段《I•和盛，则其代数长的比华叫做共线三点匕的

P、P

单比，记为记&P）,即（£;尸）二督.（1.10）特别当P为Rg的中点时,（/］/>,P）=-1.

设EG,y）（i=L2,3）是一条直线上的三点，其中（/丫.）为化的仿射坐标（图2）,则

同理（桃记）二上（1.12）

■%-月

瞬2

性质3任何一个仿射变换保持共线三点的单比不变.

证在仿射坐标系下，月（七,yj（i二1,2,3）是一条直线上的三点，它们在仿射变换

（1.05）下的像为匕’（《乂），由于仿射变换将共线点变为共线点，因此£”=1,2,3）

是另一条直线上的三点，

又二二二

因此

（p>p：

/?

A\==（GR+$」+小）-（Gd+&乂+$）二。

£。

一工）+4式儿一儿）二:

X'-X'（可/3+。

12》3+可3）—（4/2+。

］2%+。

13）勺氏一刍）十$（为f）

所以

（64'记’）二仍4隹）.

定义1.4平面内一点变换，如果满足下列条件：

（1）任何共线点的像仍是共线点.

（2）任何共线三点的单比不变.

性质4两平行线段的比是仿射不变量.

证设线段A5||CZ）,

经仿射变换后，其对应线段和C7T也平行，

现在要证

AB_A6'

CDCD7*

连接60,作C£；50交于E（图3）,

由于仿射变换保持平行性和结合性（将共线点变为共线点），

所以E的对应点£在A6'上，11C^BD,由丁•仿射变换保持共线三点的单比不变，有

图形3

即能祟

文BE-CD,BE=CD：

„ABAE

故——=.

CDCD'

至此，一些主要涉及平行线，线段中点及平行线段的比等儿何性质，都是仿射不变性质，例如

（1）三角形两边中点的连线平行于第三边II它的长等于第三边的一半.

（2）任意平行四边形对角线互相平分.

（3）任意三角线的重心（三条中线的交点）

性质5⑴两个三角形面积的比是仿射不变量.

证设在直角坐标系下，己知不共线三点玖zy）（i=1,2,3），则优月的面积S.秋鸟为

是转玛二；占为1的绝对值.不必'经仿射变换（1・05）后匕为玖匕4）。

=1,2,3），则尸：

=4/,+《2乂+%3,:

才

=“2必+匕22片+“2涉

y[i

y/1的绝对值

X1

△印庄'的面积

S'

4]3+%2.1+43耍+1

针+小限+松为a21x2+（J22y2+c,2i1的绝对值

+%心+竝）九2/n

-2E必22一〃12%11S464与.

另一个三角形20m3与其三角形。

；22’的面积的关系•

S：

Oidd=&・

故S—生鸟二S（iP：

p：

p：

Qq,,

力乌乌。

，乙典。

：

推论1两个半行四边形面积之比是仿射不变量.

推论2两个封闭图形面积之比是仿射不变量.

方法一：

解在直线坐标系下，

椭圆1+2=1.a-b-

x=x

经仿射变换｛,a（1.13）y=T>h

变为圆

如图4,椭圆内△045经（1.⑶对应为△045，其中

0（0,0）,4伍,0）,A三A,5'（0M）从而椭圆的面积圆的面积

C.OAf8.

=ocosf,y二〃

椭圆的面积7ra12

求得椭圆所围面积为

•2女x=abjcsin：

tdt=JUab・

T.]/it

例2试证明梅内劳斯（Menelaus）定理⑶：

在△ABC的三边或8C,CA,A5其延长线上分别取三点LMN,则L,M,N共线的充要条件是

丝也.四一

LCMANB

证以4为原点AB^AC为坐标向量建立仿射坐标系如图五

若令bL=al&cM=〃mA,aN=unB,则根据定比分点公式，有关点的坐标为

（、j\

出。

，。

）风，。

）。

o」），4Km贝。

，

以加，汽共线的充要条件是乙而I施，而

LM=C匚、

U+u'I+AJ

所以LA?

II斯的充要条件是

11A

1+21+41+4A卜二0.

U1

11+“

化简得4〃°二一1,<1.14）式成立.

棘鬲麴牆飙勰精泌粽織游褲愛年左右〉，在其幸运的保留

例3⑶设点P是线段《鸟上的一点，匕g的坐标分别是（&弘），（七,月）.

（1）当点P是线段[鸟的中点时，求点尸的坐标：

⑵当点尸是线段相的一个三等分点时，求点尸的坐标

■IB7

解：

（1）如图6,由向量的线性运算可知

o户二，可+。

8）=（亨，呼）.

所以，点尸的坐标是（正三，乂土匹］・

I22）

（2）当点尸是线段《鸟的一个等三分点时有两种情况

即

如果即二gpg（图7）,那么

O户二OX+/A=08+94g=Q4+g（Og_QR）=Io4+gQg=（AVA）,即

点P的坐标是（竺2,生土丛］・同理

如果RP二2尸鸟（图8）

那么

点尸的坐标是（卫生，乂土生I33

例4⑹求椭圆两点尹卷=1,两点际，鸟一和中心的连

线以及椭圆瓠所围成的所围成的S。

册。

？

解:

如

、_4

X—-A仿射变换｛I

把椭咋变成相应的点

£勺立，四），g（2质-，及）分别变成p；（2®2加），8（2&,-2&）在0中

明二4应

乂因为：

sina=J一二这二之，。

二2圆O'中的扇形面积

/?

42

4

So9ppc/=—x

2ax/?

-=—x16=4万

1：

2

4

而

So,P；p；oy

_44_16

Sop总o33

15

所以

万

例5讨论三角形那些概念在欧氏儿何里适用？

那些概念在仿射儿何里适用.

解三角形的放射图形仍然是三角形，而J1仿射变换将平行线变为平行线，将线段的中点变到线段的中点，因此

（1）三角形的中线：

（2）三角形的中位线性质；（3）三角形的重心性质（三角形三条中线的交点）都属于仿射几何的内容.

结论

仿射变换解决了正交变换的不足，讨论了图形经仿射变换后的不变性质通过单比解决求图形面积的问题和证明梅内劳斯定理非常巧妙，最后证明了在平面上仿射变换的全体构成一个交换群.

-ab-a*2

22于是，椭圆的面积为万〃方法二⑵:

解化椭圆为参数方程x

sinf,f£[0,2封・