跟踪强化训练2.docx

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跟踪强化训练2

跟踪强化训练

（二）

一、选择题

1．（2017·沈阳质检）方程sinπx＝的解的个数是（　　）

A．5B．6C．7D．8

[解析]　在同一平面直角坐标系中画出y1＝sinπx和y2＝的图象，如右图：

观察图象可知y1＝sinπx和y2＝的图象在第一象限有3个交点，根据对称性可知，在第三象限也有3个交点，再加上原点，共7个交点，所以方程sinπx＝有7个解，故选C.

[答案]　C

2．（2017·郑州模拟）若实数x，y满足等式x2＋y2＝1，那么的最大值为（　　）

A.B.C.D.

[解析]　设k＝，如图所示，

kPB＝tan∠OPB＝＝，

kPA＝－tan∠OPA＝－，

且kPA≤k≤kPB，∴kmax＝，故选B.

[答案]　B

3．（2017·宝鸡质检）若方程x＋k＝有且只有一个解，则k的取值范围是（　　）

A．[－1,1）B．k＝±

C．[－1,1]D．k＝或k∈[－1,1）

[解析]　令y1＝x＋k，y2＝，

则x2＋y2＝1（y≥0）．

作出图象如图：

而y1＝x＋k中，k是直线的纵截距，由图知：

方程有一个解⇔直线与上述半圆只有一个公共点⇔k＝或－1≤k<1，故选D.

[答案]　D

4．（2016·广州检测）已知函数f（x）＝|x－2|＋1，g（x）＝kx.若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（　　）

A.B.

C．（1,2）D．（2，＋∞）

[解析]　先作出函数f（x）＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g（x）＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g（x）＝kx过A点时斜率为，故f（x）＝g（x）有两个不相等的实根时，k的范围为，故选B.

[答案]　B

5．（2017·西安二模）若方程x2＋（1＋a）x＋1＋a＋b＝0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则的取值范围是（　　）

A．（－2，－1）

B．（－∞，－2）∪（－1，＋∞）

C.

D．（－∞，－2）∪

[解析]　由题意可知，方程的一个根位于（0,1）之间，另一个根大于1.

设f（x）＝x2＋（1＋a）x＋1＋a＋b，则

即

作出可行域如图中阴影部分所示．

可以看作可行域内的点（a，b）与原点O（0,0）连线的斜率，由可解得A（－2,1），过点A、O作l1，过点O作平行于直线2a＋b＋3＝0的直线l2，易知kl2<

[答案]　C

6．（2017·南宁一模）在平面直角坐标系中，O为原点，A（－1,0），B（0，），C（3,0），动点D满足||＝1，则|＋＋|的取值范围是（　　）

A．[4,6]B．[－1，＋1]

C．[2，2]D．[－1，＋1]

[解析]　设D（x，y），则由||＝1，C（3,0），得（x－3）2＋y2＝1.

又∵＋＋＝（x－1，y＋），

∴|＋＋|

＝.

∴|＋＋|的几何意义是点P（1，－）与圆（x－3）2＋y2＝1上点之间的距离（如图），由|PC|＝知，|＋＋|的最大值是1＋，最小值是－1，故选D.

[答案]　D

二、填空题

7．（2017·青岛二模）已知奇函数f（x）的定义域是{x|x≠0，x∈R}，且在（0，＋∞）上单调递增，若f

（1）＝0，则满足x·f（x）<0的x的取值范围是________．

[解析]　作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x·f（x）<0的x的取值范围是（－1,0）∪（0,1）．

[答案]　（－1,0）∪（0,1）

8．（2017·合肥质检）已知函数f（x）＝

若函数g（x）＝f（x）－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________．

[解析]　画出函数f（x）的图象如图．

要使函数g（x）＝f（x）－k有两个不同零点，只需y＝f（x）与y＝k的图象有两个不同的交点，由图象易知k∈.

[答案]　

9．（2017·山西四校模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．

[解析]　由题意可得即又a4＝a1＋3d，故此题可转化为线性规划问题．画出可行域如图所示．

作出直线a1＋3d＝0，经平移可知当直线a4＝a1＋3d过可行域内点A（1,1）时，截距最大，此时a4取最大值4.

[答案]　4

三、解答题

10．（2017·海口模拟）设关于θ的方程cosθ＋sinθ＋a＝0在区间（0,2π）内有相异的两个实数α、β.

（1）求实数a的取值范围；

（2）求α＋β的值．

[解]　

（1）原方程可化为sin＝－，

作出函数y＝sin（x∈（0,2π））的图象．

由图知，方程在（0,2π）内有相异实根α，β的充要条件是

即－2

（2）由图知：

当－

所以α＋β＝.

当－2

由对称性知，＝，所以α＋β＝，

综上所述，α＋β＝或.

11．（2017·福州质检）已知圆C的方程为（x－2）2＋y2＝4，圆M的方程为（x－2－5cosθ）2＋（y－5sinθ）2＝1（θ∈R）．过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，求·的最小值．

[解]　由题意，可知圆心M的坐标为（2＋5cosθ，5sinθ），由此可知圆心M的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝25，

如图，经分析可知，只有当P在线段MC上时，才能够使·最小，此时PC＝4，又Rt△PEC中，EC＝2，则PE＝2，∠EPC＝30°，∴PF＝PE＝2，∠EPF＝2∠EPC＝2×30°＝60°，故（·）min＝

（2）2×cos60°＝6.

12.右面的图形无限向内延续，最外面的正方形的边长是2，从外到内，第n个正方形与其内切圆之间的深色图形面积记为Sn（n∈N*）．

（1）证明：

Sn＝2Sn＋1（n∈N*）；

（2）证明：

S1＋S2＋…＋Sn<8－2π.

[证明]　

（1）设第n（n∈N*）个正方形的边长为an，则其内切圆半径为，第n＋1个正方形的边长为an，其内切圆半径为an，所以Sn＝a－π2＝a

（n∈N*），

Sn＋1＝2－π2＝a＝Sn

（n∈N*）．所以Sn＝2Sn＋1（n∈N*）．

（2）由

（1）可知，S1＝22×＝4－π，S2＝2－，…，Sn＝（4－π）n－1，

所以Tn＝S1＋S2＋…＋Sn＝（4－π）×＝（4－π）×＝（8－2π）

<8－2π.