学年度苏教版高中数学苏教版必修一学案222 函数的奇偶性Word文档下载推荐.docx
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梳理 判断函数奇偶性要注意定义域优先原则,即首先要看定义域是否关于________对称.
类型一 证明函数的奇偶性
命题角度1 已知函数解析式,证明奇偶性
例1
(1)证明f(x)=
既非奇函数又非偶函数;
(2)证明f(x)=(x+1)(x-1)是偶函数;
(3)证明f(x)=
+
既是奇函数又是偶函数.
反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时,首先应看函数定义域是否关于原点对称,即对于定义域内的任意一个x,则-x也一定属于定义域.
跟踪训练1
(1)证明f(x)=(x-2)
(2)证明
命题角度2 证明分段函数的奇偶性
例2 判断函数f(x)=
的奇偶性.
反思与感悟 分段函数也是函数,证明奇偶性也是抓住两点
(1)定义域是否关于原点对称.
(2)对于定义域内的任意x,是否都有f(-x)=f(x)(或-f(x)),只不过对于不同的x,f(x)有不同的表达式,要逐段验证是否都有f(-x)=f(x)(或-f(x)).
跟踪训练2 证明f(x)=
是奇函数.
命题角度3 证明抽象函数的奇偶性
例3 f(x),g(x)是定义在R上的奇函数,试判断y=f(x)+g(x),y=f(x)g(x),y=f[g(x)]的奇偶性.
反思与感悟 利用基本的奇(偶)函数,通过加减乘除、复合,可以得到新的函数,判断这些新函数的奇偶性,主要是代入-x,看总的结果.
跟踪训练3 设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是______.(填序号)
①f(x)g(x)是奇函数;
②f(x)g(x)是偶函数;
③|f(x)|g(x)是偶函数;
④f(x)|g(x)|是奇函数.
类型二 奇偶性的应用
命题角度1 奇(偶)函数图象的对称性的应用
例4 定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示.
(1)画出f(x)的图象;
(2)解不等式xf(x)>
0.
引申探究
将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,重做该题.
反思与感悟 鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称,可以用这一特性去画图,求值,求解析式,研究单调性.
跟踪训练4 已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.
(1)画出在区间[-5,0]上的图象;
(2)写出使f(x)<
0的x的取值集合.
命题角度2 利用函数奇偶性的定义求值
例5
(1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=________,b=________.
(2)函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>
0时,f(x)=-x+1,求当x<
0时f(x)的解析式.
反思与感悟 函数奇偶性的定义有两处常用
(1)定义域关于原点对称.
(2)对定义域内任意x,恒有f(-x)=f(x)(或-f(x))成立,常用这一特点得一个恒成立的等式,或对其中的x进行赋值.
跟踪训练5 已知函数f(x)=
为奇函数,则a+b=________.
1.函数f(x)=0(x∈R)的奇偶性是________.
2.函数f(x)=x(-1<
x≤1)的奇偶性是________.
3.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f
(2)=1,则f(-2)=________.
4.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+m2-7m+12为偶函数,则m的值是________.
5.下列说法错误的是________.(填序号)
①图象关于原点对称的函数是奇函数;
②图象关于y轴对称的函数是偶函数;
③奇函数的图象一定过原点;
④偶函数的图象一定与y轴相交.
1.两个定义:
对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数;
如果都有f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数.
2.两个性质:
函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称;
函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.
3.证明一个函数是奇函数,必须对f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x).而证明一个函数不是奇函数,只要能举出一个反例就可以了.
答案精析
问题导学
知识点一
思考 ①②关于y轴对称,③④关于原点对称.
梳理 偶 奇
知识点二
思考1 因为很多函数图象我们不知道,即使画出来,细微之处是否对称也难以精确判断.
思考2 好处有两点:
(1)等价:
只要所有点均关于y轴(原点)对称,则图象关于y轴(原点)对称,反之亦然.
(2)可操作:
要判断点是否关于y轴(原点)对称,只要代入解析式验证即可.
知识点三
思考 由函数奇偶性定义,对于定义域内任一元素x,其相反数-x必须也在定义域内,才能进一步判断f(-x)与f(x)的关系.而本问题中,1∈(-1,1],-1∉(-1,1],f(-1)无定义,自然也谈不上是否与f
(1)相等了.所以该函数是既非奇函数,也非偶函数.
梳理 原点
题型探究
例1 证明
(1)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1},所以对于定义域内的-1,其相反数1不在定义域内,故f(x)=
既非奇函数又非偶函数.
(2)函数的定义域为R,因函数f(x)=(x+1)(x-1)=x2-1,又因f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),所以函数为偶函数.
(3)定义域为{-1,1},因为对定义域内的每一个x,都有f(x)=0,所以f(-x)=f(x),故函数f(x)=
为偶函数.又f(-x)=-f(x),故函数f(x)=
为奇函数.即该函数既是奇函数又是偶函数.
跟踪训练1 证明
(1)由
≥0,得定义域为[-2,2),关于原点不对称,故f(x)为非奇非偶函数.
(2)函数的定义域为R,因f(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-f(x),所以函数为奇函数.
例2 解 由题意可知f(x)的定义域为(-6,-1]∪[1,6),
关于原点对称,
当x∈(-6,-1]时,-x∈[1,6),
所以f(-x)=(-x-5)2-4=(x+5)2-4=f(x);
当x∈[1,6)时,-x∈(-6,-1],
所以f(-x)=(-x+5)2-4
=(x-5)2-4=f(x).
综上可知对于任意的x∈(-6,-1]∪[1,6),
都有f(-x)=f(x),
所以f(x)=
是偶函数.
跟踪训练2 证明 定义域为{x|x≠0}.
若x<
0,则-x>
0,
∴f(-x)=x2,f(x)=-x2,
∴f(-x)=-f(x);
若x>
0,则-x<
∴f(-x)=-(-x)2=-x2,f(x)=x2,
即对任意x≠0,都有f(-x)=-f(x).
∴f(x)为奇函数.
例3 解 ∵f(x),g(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)],y=f(x)+g(x)是奇函数.
f(-x)g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)g(x),y=f(x)g(x)是偶函数.
f[g(-x)]=f[-g(x)]=-f[g(x)],y=f[g(x)]是奇函数.
跟踪训练3 ①③④
解析 ①令h(x)=f(x)g(x),则h(-x)=f(-x)·
g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),∴h(x)是奇函数,故①对,②不对;
③令h(x)=|f(x)|g(x),则h(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=h(x),∴h(x)是偶函数,故③对;
④令h(x)=f(x)|g(x)|,则h(-x)=f(-x)·
|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-h(x),∴h(x)是奇函数,故④对.
例4 解
(1)先描出(1,1),(2,0)关于原点的对称点(-1,-1),(-2,0),连线可得f(x)的图象如图.
(2)xf(x)>
0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知,xf(x)>
0的解集是(-2,0)∪(0,2).
解
(1)f(x)的图象如图所示.
0的解集是(-∞,-2)∪(0,2).
跟踪训练4 解
(1)如图,在[0,5]上的图象上选取5个关键点O,A,B,C,D.
分别描出它们关于原点的对称点O′,A′,B′,C′,D′,
再用光滑曲线连接即得.
(2)由
(1)图可知,当且仅当
x∈(-2,0)∪(2,5)时,f(x)<
∴使f(x)<
0的x的取值集合为
(-2,0)∪(2,5).
例5
(1)
0
解析 ∵偶函数的定义域关于原点对称,
∴a-1=-2a,解得a=
,
f(x)=
x2+bx+b+1.
又f(x)为偶函数,
∴f(-x)=
(-x)2+b(-x)+b+1
=f(x)=
x2+bx+b+1,
对定义域内任意x恒成立,
即2bx=0对任意x∈[-
]恒成立,
∴b=0.综上,a=
,b=0.
(2)解 设x<
∴f(-x)=-(-x)+1=x+1,
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(-x)=-f(x)=x+1,
∴当x<
0时,f(x)=-x-1.
跟踪训练5 0
解析 由题意知
则
解得
当a=-1,b=1时,经检验知f(x)为奇函数,
故a+b=0.
当堂训练
1.既是奇函数又是偶函数
2.既不是奇函数又不是偶函数
3.5 4.2 5.③④