小学数学奥数方法讲义40讲一Word文档格式.docx
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仔细观察图中不等号及方框的排列规律可发现:
只有中心的那个方框中的数小于周围的四个数,看来在中心的方框中应填入最小的数1。
再看它周围的方框和不等号,只有左下角的那个方框中的数大于相邻的两个方框中的数,其它方框中的数都是一个比一个大,而且方框中的数是按顺时针方向排列越来越小。
所以,在左下角的那个方框中应填9,在它右邻的方框中应填2,在2右面的方框中填3,在3上面的方框中填4,以后依次填5、6、7、8。
图1-7是填完数字的图形。
例4从一个长方形上剪去一个角后,它还剩下几个角?
此题不少学生不加思考就回答:
“一个长方形有四个角,剪去一个角剩下三个角。
”
我们认真观察一下,从一个长方形的纸上剪去一个角,都怎么剪?
都是什么情况?
(1)从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角,剩下三个角(图1-8)。
(2)从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角,剩下四个角(图1-9)。
(3)从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角,
剩下五个角(图1-10)。
例5甲、乙两个人面对面地坐着,两个人中间放着一个三位数。
这个三位数的每个数字都相同,并且两人中一个人看到的这个数比另一个人看到的这个数大一半,这个数是多少?
首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数字表示的,不然就没法考虑了。
甲看到的数与乙看到的数不同,这就是说,这个三位数正看、倒看都表示数。
在阿拉伯数字中,只有0、1、6、8、9这五个数字正看、倒看都表示数。
这个三位数在正看、倒看时,表示的数值不同,显然这个三位数不能是000,也不能是111和888,只可能是666或999。
如果这个数是666,当其中一个人看到的是666时,另一个人看到的一定是999,999-666=333,333正好是666的一半。
所以这个数是666,也可以是999。
*例61966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是多少?
这道题可以有多种解法,把五个数直接相加,虽然可以求出正确答案,但因数字大,计算起来容易出错。
如果仔细观察这五个数可发现,第一个数是1966,第二个数比它大10,第三个数比它大20,第四个数比它大30,第五个数比它大40。
因此,这道题可以用下面的方法计算:
1966+1976+1986+1996+2006
=1966×
5+10×
(1+2+3+4)
=9830+100
=9930
这五个数还有另一个特点:
中间的数是1986,第一个数1966比中间的数1986小20,最后一个数2006比中间的数1986大20,1966和2006这两个数的平均数是1986。
1976和1996的平均数也是1986。
这样,中间的数1986是这五个数的平均数。
所以,这道题还可以用下面的方法计算:
=1986×
5
例7你能从400÷
25=(400×
4)÷
(25×
4)=400×
4÷
100=16中得到启发,很快算出
(1)600÷
25
(2)900÷
25(3)1400÷
25(4)1800÷
25(5)7250÷
25的得数吗?
(适于四年级程度)
我们仔细观察一下算式:
400÷
100=16
不难看出,原来的被除数和除数都乘以4,目的是将除数变成1后面带有0的整百数。
这样做的根据是“被除数和除数都乘以一个相同的数(零除外),商不变”。
进行这种变化的好处就是当除数变成了1后面带有0的整百数以后,就可以很快求出商。
按照这个规律,可迅速算出下列除法的商。
(1)600÷
25
(2)900÷
25
=(600×
4)
=(900×
4)
=600×
100
=900×
100
=24
=36
(3)1400÷
(4)1800÷
=(1400×
=(1800×
=1400×
=1800×
=56
=72
(5)7250÷
=(7250×
=29000÷
=290
*例8把1~1000的数字如图1-11那样排列,再如图中那样用一个长方形框框出六个数,这六个数的和是87。
如果用同样的方法(横着三个数,竖着两个数)框出的六个数的和是837,这六个数都是多少?
(适于五年级程度)
(1)观察框内的六个数可知:
第二个数比第一个数大1,第三个数比第一个数大2,第四个数比第一个数大7,第五个数比第一个数大8,第六个数比第一个数大9。
假定不知道这几个数,而知道上面观察的结果,以及框内六个数的和是87,要求出这几个数,就要先求出六个数中的第一个数:
(87-1-2-7-8-9)÷
6
=60÷
=10
求出第一个数是10,往下的各数也就不难求了。
因为用同样的方法框出的六个数之和是837,这六个数之中后面的五个数也一定分别比第一个数大1、2、7、8、9,所以,这六个数中的第一个数是:
(837-1-2-7-8-9)÷
=810÷
=135
第二个数是:
135+1=136
第三个数是:
135+2=137
第四个数是:
135+7=142
第五个数是:
135+8=143
第六个数是:
135+9=144
答略。
(2)观察框内的六个数可知:
①上、下两数之差都是7;
②方框中间坚行的11和18,分别是上横行与下横行三个数的中间数。
11=(10+11+12)÷
3
18=(17+18+19)÷
所以上横行与下横行两个中间数的和是:
87÷
3=29
由此可得,和是837的六个数中,横向排列的上、下两行两个中间数的和是:
837÷
3=279
因为上、下两个数之差是7,所以假定上面的数是x,则下面的数是x+7。
x+(x+7)=279
2x+7=279
2x=279-7
=272
x=272÷
2
=136
x+7=136+7
=143
因为上一横行中间的数是136,所以,第一个数是:
136-1=135
因为下一横行中间的数是143,所以,
143-1=142
142+2=144
*例9有一个长方体木块,锯去一个顶点后还有几个顶点?
(1)锯去一个顶点(图1-12),因为正方体原来有8个顶点,锯去一个顶点后,增加了三个顶点,所以,
8-1+3=10
即锯去一个顶点后还有10个顶点。
(2)如果锯开的截面通过长方体的一个顶点,则剩下的顶点是8-1+2=9(个)(图1-13)。
(3)如果锯开的截面通过长方体的两个顶点,则剩下的顶点是8-1+1=8(个)(图1-14)。
(4)如果锯开的截面通过长方体的三个顶点,则剩下的顶点是8-1=7(个)(图1-15)。
例10将高都是1米,底面半径分别是1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体(图1-16),求这个物体的表面积S。
(适于六年级程度)
我们知道,底面半径为γ,高为h的圆柱体的表面积是2πγ2+2πγh。
本题的物体由三个圆柱组成。
如果分别求出三个圆柱的表面积,再把三个圆柱的表面积加在一起,然后减去重叠部分的面积,才能得到这个物体的表面积,这种计算方法很麻烦。
这是以一般的观察方法去解题。
如果我们改变观察的方法,从这个物体的正上方向下俯视这个物体,会看到这个物体上面的面积就像图1-17那样。
这三个圆的面积,就是底面半径是1.5米的那个圆柱的底面积。
所以,这个物体的表面积,就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。
(2π×
1.52+2π×
1.5×
1)+(2π×
1×
0.5×
1)
=(4.5π+3π)+2π+π
=7.5π+3π
=10.5π
=10.5×
3.14
=32.97(平方米)
*例11如图1-18所示,某铸件的横截面是扇形,半径是15厘米,圆心角是72°
,铸件长20厘米。
求它的表面积和体积。
遇到这样的题目,不但要注意计算的技巧,还要注意观察的全面性,不可漏掉某一侧面。
图1-18表面积中的一个长方形和一个扇形就容易被漏掉,因而在解题时要仔细。
求表面积的方法1:
=3.14×
45×
2+600+120×
=3.14×
90+3.14×
120+600
(90+120)+600
=659.4+600
=1259.4(平方厘米)
求表面积的方法2:
210+600
铸件的体积:
225×
4
900
=2826(立方厘米)
第二讲尝试法
解应用题时,按照自己认为可能的想法,通过尝试,探索规律,从而获得解题方法,叫做尝试法。
尝试法也叫“尝试探索法”。
一般来说,在尝试时可以提出假设、猜想,无论是假设或猜想,都要目的明确,尽可能恰当、合理,都要知道在假设、猜想和尝试过程中得到的结果是什么,从而减少尝试的次数,提高解题的效率。
例1把数字3、4、6、7填在图2-1的空格里,使图中横行、坚列三个数相加都等于14。
(适于一年级程度)
七八岁的儿童,观察、总结、发现规律的能力薄弱,做这种填空练习,一般都感到困难。
可先启发他们认识解此题的关键在于试填中间的一格。
中间一格的数确定后,下面一格的数便可由竖列三个数之和等于14来确定,剩下的两个数自然应填入左右两格了。
中间一格应填什么数呢?
先看一个日常生活中的例子。
如果我们要从一种月刊全年的合订本中找到第六期的第23页,我们一定要从合订本大约一半的地方打开。
要是翻到第五期,就要再往后翻;
要是翻到第七期、第八期,就要往前翻。
找到第六期后,再往接近第23页的地方翻,……
这样反复试探几次,步步逼近,最后就能找到这一页。
这就是在用“尝试法”解决问题。
本题的试数范围是3、4、6、7四个数,可由小至大,或由大至小依次填在中间的格中,按“横行、竖列三个数相加都得14”的要求来逐个尝试。
如果中间的格中填3,则竖列下面的一格应填多少呢?
因为14-5-3=6,所以竖列下面的一格中应填6(图2-2)。
下面就要把剩下的4、7,分别填入横行左右的两个格中(图2-3)。
把横行格中的4、3、7三个数加起来,得14,合乎题目要求。
如果中间一格填4、或填6、7都不合乎题目的要求。
所以本题的答案是图2-3或图2-4。
例2把1、2、3……11各数填在图2-5的方格里,使每一横行、每一竖行的数相加都等于18。
(教科书第四册第57页的思考题,适于二年级程度)
图2-5中有11个格,正好每一格填写一个数。
图2-6中写有A、B、C的三个格中的三个数,既要参加横向的运算,又要参加纵向的运算,就是说这三个数都要被用两次。
因此,确定A、B、C这三个数是解此题的关键。
因为1~11之中中间的三个数是5、6、7,所以,我们以A、B、C分别为5、
6、7开始尝试(图2-7)。
以6为中心尝试,看6上、下两个格中应填什么数。
因为18-6=12,所以6上、下两格中数字的和应是12。
考虑6已是1~11之中中间的数,那么6上、下两格中的数应是1~11之中两头的数。
再考虑6上面的数还要与5相加,6下面的数还要与7相加,5比7小,题中要求是三个数相加都等于18,所以在6上面的格中填11,在6下面的格中填1(图2-8)。
6+11+1=18
看图2-8。
6上面的数是11,11左邻的数是5,18-11-5=2,所以5左邻的数是2(图2-9)。
再看图2-8。
6下面的数是1,1右邻的数是7,18-1-7=10,所以7右邻的数是10(图2-9)。
现在1~11之中只剩下3、4、8、9这四个数,图2-9中也只剩下四个空格。
在5的上、下,在7的上、下都应填什么数呢?
因为18-5=13,所以5上、下两格中数字的和应是13,3、4、8、9这四个数中,只有4+9=13,所以在5的上、下两格中应填9与4(图2-10)。
看图2-10。
因为6左邻的数是4,18-4-6=8,所以6右邻的数是8。
因为18-7-8=3,并且1-11的数中,只剩下3没有填上,所以在7下面的格中应填上3。
图2-10是填完数字的图形。
*例3在9只规格相同的手镯中混有1只较重的假手镯。
在一架没有砝码的天平上,最多只能称两次,你能把假手镯找出来吗?
先把9只手镯分成A、B、C三组,每组3只。
①把A、B两组放在天平左右两边的秤盘上,如果平衡,则假的1只在C组里;
若不平衡,则哪组较重,假的就在哪组里。
②再把有假手镯的那组中的两只分别放在天平的左右秤盘上。
如果平衡,余下的1只是假的;
若不平衡,较重的那只是假的。
*例4在下面的15个8之间的任何位置上,添上+、-、×
、÷
符号,使得下面的算式成立。
(适于三年级程度)888888888888888=1986
先找一个接近1986的数,如:
8888÷
8+888=1999。
1999比1986大13。
往下要用剩下的7个8经过怎样的运算得出一个等于13的算式呢?
88÷
8=11,11与13接近,只差2。
往下就要看用剩下的4个8经过怎样的运算等于2。
8÷
8+8÷
8=2。
把上面的思路组合在一起,得到下面的算式:
8+888-88÷
8-8÷
8=1986
例5三个连续自然数的积是120,求这三个数。
假设这三个数是2、3、4,则:
2×
3×
4=24
24<120,这三个数不是2、3、4;
假设这三个数是3、4、5,则:
4×
5=60
60<120,这三个数不是3、4、5;
假设这三个数是4、5、6,则:
5×
6=120
4、5、6的积正好是120,这三个数是4、5、6。
例6在下面式子里的适当位置上加上括号,使它们的得数分别是47、75、23、35。
(1)7×
9+12÷
3-2=47
(2)7×
3-2=75
(3)7×
3-2=23
(4)7×
3-2=35
本题按原式的计算顺序是先做第二级运算,再做第一级运算,即先做乘除法而后做加减法,结果是:
7×
3-2
=63+4-2
=65
“加上括号”的目的在于改变原来的计算顺序。
由于此题加中括号还是加小括号均未限制,因此解本题的关键在于加写括号的位置。
可以从加写一个小括号想起,然后再考虑加写中括号。
如:
7=49,再减2就是47。
这里的第一个数7是原算式中的7,要减去的2是原算式等号前的数,所以下面应考虑能否把9+12÷
3通过加括号后改成得7的算式。
经过加括号,(9+12)÷
3=7,因此:
[(9+12)÷
3]-2=47
因为一个数乘以两个数的商,可以用这个数乘以被除数再除以除数,所以本题也可以写成:
(9+12)÷
3-2=47
11=77,再减2就得75。
这里的7是原算式中的第一个数,要减去的2是等号前面的数。
下面要看9+12÷
3能不能改写成得11的算式。
经尝试9+12÷
3不能改写成得11的算式,所以不能沿用上一道题的解法。
9+12得75,这里的7、9、12就是原式中的前三个数,所以只要把3-2用小括号括起来,使7×
9+12之和除以1,问题就可解决。
由此得到:
(7×
9+12)÷
(3-2)=75
因为(3-2)的差是1,所以根据“两个数的和除以一个数,可以先把两个加数分别除以这个数,然后把两个商相加”这一运算规则,上面的算式又可以写成:
在上面的这个算式中,本应在7×
9的后面写上“÷
(3-2)”,因为任何数除以1等于这个数本身,为了适应题目的要求,不在7×
9的后写出“÷
(3-2)”。
(3)25-2=23,这个算式中,只有2是原算式等号前的数,只要把7×
3改写成得25的算式,问题就可解决。
又因为7×
9+12=75,75÷
3=25,所以只要把7×
9+12用小括号括起来,就得到题中所求了。
5=35,7是原算式中的第一个数,原算式中的9+12÷
3-2能否改写成得5的算式呢?
因为7-2=5,要是9+12÷
3能改写成得7的算式就好了。
经改写为(9+12)÷
3=7,因此问题得到解决。
题中要求的算式是:
3-2]=35
*例7王明和李平一起剪羊毛,王明剪的天数比李平少。
王明每天剪20只羊的羊毛,李平每天剪12只羊的羊毛。
他俩共剪了112只羊的羊毛,两人平均每天剪14只羊的羊毛。
李平剪了几天羊毛?
王明、李平合在一起,按平均每天剪14只羊的羊毛计算,一共剪的天数是:
112÷
14=8(天)
因为王明每天剪20只,李平每天剪12只,一共剪了112只,两人合起来共剪了8天,并且李平剪的天数多,所以假定李平剪了5天。
则:
12×
5+20×
(8-5)=120(只)
120>112,李平不是剪了5天,而是剪的天数多于5天。
假定李平剪了6天,则:
6+20×
(8-6)=112(只)
所以按李平剪6天计算,正满足题中条件。
答:
李平剪了6天。
*例8一名学生读一本书,用一天读80页的速度,需要5天读完,用一天读90页的速度,需要4天读完。
现在要使每天读的页数跟能读完这本书的天数相等,每天应该读多少页?
解这道题的关键是要求出一本书的总页数。
因为每天读的页数乘以读的天数等于一本书的总页数,又因为每天读的页数与读完此书的天数相等,所以知道了总页数就可以解题了。
根据“用一天读80页的速度,需要5天读完”,是否能够认为总页数就是80×
5=400(页)呢?
不能。
因为5天不一定每天都读80页,所以只能理解为:
每天读80页,读了4天还有余下的,留到第五天才读完。
这也就是说,这本书超过了80×
4=320(页),最多不会超过:
90×
4=360(页)
根据以上分析,可知这本书的页数在321~360页之间。
知道总页数在这个范围之内,往下就不难想到什么数自身相乘,积在321~360之间。
因为17×
17=289,18×
18=324,19×
19=361,324在321~360之间,所以只有每天读18页才符合题意,18天看完,全书324页。
每天应该读18页。
*例9一个数是5个2,3个3,2个5,1个7的连乘积。
这个数有许多约数是两位数。
这些两位数的约数中,最大的是几?
两位数按从大到小的顺序排列为:
99、98、97、96……11、10
以上两位数分解后,它的质因数只能是2、3、5、7,并且在它的质因数分解中2的个数不超过5,3的个数不超过3,5的个数不超过2,7的个数不超过1。
经尝试,99不符合要求,因为它有质因数11;
98的分解式中有两个7,也不符合要求;
质数97当然更不会符合要求。
而,
96=2×
所以在这些两位数的约数中,最大的是96。
*例10从一个油罐里要称出6千克油来,但现在只有两个桶,一个能容4千克,另一个能容9千克。
求怎样才能称出这6千克油?
这道题单靠计算不行,我们尝试一些做法,看能不能把问题解决。
已知大桶可装9千克油,要称出6千克油,先把能容9千克油的桶倒满,再设法倒出9千克油中的3千克,为达到这一目的,我们应使小桶中正好有1千克油。
怎样才能使小桶里装1千克油呢?
(1)把能容9千克油的大桶倒满油。
(2)把大桶里的油往小桶里倒,倒满小桶,则大桶里剩5千克油,小桶里有4千克油。
(3)把小桶中的4千克油倒回油罐