同余问题文档格式.docx

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　　由“同余的可乘性”知：

　　437×

309≡3×

1（mod7）≡3（mod7）

　　又因为1993≡5（mod7）

　　所以：

437×

1993≡3×

5（mod7）

　　≡15（mod7）≡1（mod7）

　　即：

1993被7除余1。

　　2、70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：

0，1，3，8，21，……，问这一行数最右边的一个数被6除的余数是几？

如果将这70个数一一列出，得到第70个数后，再用它去除以6得余数，总是可以的，但计算量太大。

　　即然这70个数中：

中间的一个数的3倍是它两边的数的和，那么它们被6除以后的余数是否有类似的规律呢？

　　0，1，3，8，21，55，144，……被6除的余数依次是

　　0，1，3，2，3，1，0，……

　　结果余数有类似的规律，继续观察，可以得到：

　　0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，……

　　可以看出余数前12个数一段，将重复出现。

　　70÷

2=5……10，第六段的第十个数为4，这便是原来数中第70个数被6除的余数。

我们被直接用除法算式，结果如何。

　　3、分别求满足下列条件的最小自然数：

（1）用3除余1，用5除余1，用7除余1。

（2）用3除余2，用5除余1，用7除余1。

　　（3）用3除余1，用5除余2，用7除余2。

　　（4）用3除余2，用7除余4，用11除余1。

（1）该数减去1以后，是3，5和7的最小公倍数105，所以该数的是105+1=106

（2）该数减去1以后是5和7的公倍数。

因此我们可以以5和7的公倍数中去寻找答案。

下面列举一些同时被5除余1，被7除余1的数，即

　　1，36，71，106，141，176，211，246，……从以上数中寻找最小的被3除余2的数。

　　36≡0（mod3），71≡2（mod3），符合条件的最小的数是71。

　　（3）我们首先列举出被5除余2，被7除余2的数，2，37，72，107，142，177，212，247，……

　　从以上数中寻找最小的被3除余1的数。

　　2（mod3），37≡（mod3）、因此符合条件的最小的数是37。

　　（4）我们从被11除余1的数中寻找答案。

　　1，12，23，34，45，56，67，78，89，100，133，144，155，166，177，188，199，210，232，243，……

　　1（mod3）；

1（mod7），不符合

　　12≡0（mod3），12≡5（mod7）不符合

　　23≡2（mod3），23≡2（mod7）不符合

　　34≡1（mod3），34≡6（mod7）不符合

　　45≡0（mod3），45≡3（mod7）不符合

　　56≡2（mod3），56≡0（mod7）不符合

　　67≡1（mod3），67≡4（mod7）不符合

　　78≡0（mod3），78≡1（mod7）不符合

　　89≡2（mod3），89≡5（mod7）不符合

　　100≡1（mod3），100≡2（mod7）不符合

　　122≡2（mod3），122≡3（mod7）不符合

　　133≡1（mod3），133≡0（mod7）不符合

　　144≡1（mod3），144≡4（mod7）不符合

　　155≡2（mod3），155≡1（mod7）不符合

　　166≡1（mod3），166≡5（mod7）不符合

　　177≡0（mod3），177≡2（mod7）不符合

　　188≡2（mod3），188≡6（mod7）不符合

　　199≡1（mod3），199≡3（mod7）不符合

　　210≡0（mod3），210≡0（mod7）不符合

　　221≡2（mod3），221≡4（mod7）符合

　　因此符合条件的数是221。

　　4、判断以下计算是否正确

（1）42784×

3968267=1697598942346

（2）42784×

3968267=1697598981248

若直接将右边算出，就可判断

　　41784×

3968267=169778335328，可知以上两结果均是错的；

但是计算量太大。

　　如果右式和左式相等，则它们除以某一个数余数一定相同。

因为求一个数除以9的余数只需要先求这个数数字之和除以9的余数，便是原数除以9的余数。

我考虑上式除以9的余数，如果余数不相同，则上式一定不成立。

（1）从个位数字可知，右式的个位数字只能是8，而右式个位为6，因此上式不成立。

（2）右式和左式的个位数字相同，因而无法断定上式是否成立，但是

　　4+2+7+8+4=25，25≡7（mod9）

　　3+9+6+8+2+6+7=41，41≡5（mod9）

　　42784≡7（mod9）；

3968267≡5（mod9）

　　42784×

3968267≡35（mod9）

　　≡8（mod9）

　　（1+6+9+7+5+9+8+9+4+2+3+4+8）≡3（mod9）

　　因此

（2）式不成立

　　以上是用“除9取余数”来验证结果是否正确，常被称为“弃九法”。

不过应该注意，用弃九法可发现错误，但用弃九法没找出错误却不能保证原题一定正确。

小学奥数竞赛专题之同余问题

　　[专题介绍]：

　　生活中我会经常遇到与余数有关的问题，比如：

某年级有将近400名学生。

有一次演出节目排队时出现：

如果每8人站成一列则多余1人；

如果改为每9人站成一列则仍多余1人；

结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；

聪名的你知道该年级共有学生多少名吗？

　　假设有一名学生不参加演出，则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。

因此此时学生人数应是8、9、10公倍数，而8、9、10的最小公倍数是360，因此可知该年级共有361人。

　　研究与余数有关的问题，能帮助我们解决很多较为复杂的问题。

　　[分析]

　　1、两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm）

　　2、同余的重要性质及举例。

　　〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）

　　〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）

　　〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）

　　〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）

　　〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）

　　〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）

　　其中性质〈3〉常被称为"

同余的可传递性"

，性质〈4〉、〈5〉常被称为"

同余的可乘性，"

性质〈6〉常被称为"

同余的可开方性"

　　注意：

一般地同余没有"

可除性"

，但是：

　　如果：

ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）

　　3、整数分类：

　　〈1〉用2来将整数分类，分为两类：

　　1，3，5，7，9，……（奇数）

　　0，2，4，6，8，……（偶数）

　　〈2〉用3来将整数分类，分为三类：

　　0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）

　　1，4，7，10，13，……（被3除余数是1）

　　2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）

　　〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：

　　0（mod6）：

0，6，12，18，24，……

　　1（mod6）：

1，7，13，19，25，……

　　2（mod6）：

2，8，14，20，26，……

　　3（mod6）：

3，9，15，21，27，……

　　4（mod6）：

4，10，16，22，29，……

　　5（mod6）：

5，11，17，23，29，……

　　[经典例题]

　　例1：

求437×

　　473≡3（mod7）

　　由"

同余的可乘性"

知：

　　例2：

70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：

　　例4、分别求满足下列条件的最小自然数：

1（mod7），不符合

　　12≡0（mod3），12≡5（mod7）不符合

　　23≡2（mod3），23≡2（mod7）不符合

　　34≡1（mod3），34≡6（mod7）不符合

　　45≡0（mod3），45≡3（mod7）不符合

　　56≡2（mod3），56≡0（mod7）不符合

　　67≡1（mod3），67≡4（mod7）不符合

　　78≡0（mod3），78≡1（mod7）不符合

　　89≡2（mod3），89≡5（mod7）不符合

　　100≡1（mod3），100≡2（mod7）不符合

　　122≡2（mod3），122≡3（mod7）不符合

　　133≡1（mod3），133≡0（mod7）不符合

　　144≡1（mod3），144≡4（mod7）不符合

　　155≡2（mod3），155≡1（mod7）不符合

　　166≡1（mod3），166≡5（mod7）不符合

　　177≡0（mod3），177≡2（mod7）不符合

　　188≡2（mod3），188≡6（mod7）不符合

　　199≡1（mod3），199≡3（mod7）不符合

　　210≡0（mod3），210≡0（mod7）不符合

　　221≡2（mod3），221≡4（mod7）符合

　　例5判断以下计算是否正确

　　4+2+7+8+4=25，25≡7（mod9）

　　以上是用"

除9取余数"

来验证结果是否正确，常被称为"

弃九法"

。

　　不过应该注意，用弃九法可发现错误，但用弃九法没找出错误却不能保证原题一定正确。

　　习题

　　1、求16×

941×

1611被7除的余数。

　　3、判断结果是否正确：

（1）5483×

9117=49888511

（2）1226452÷

2683=334

　　4、乘法算式

　　3145×

92653=291093995的横线处漏写了一个数字，你能以最快的办法补出吗？

　　5、13511，13903，14589被自然数m除所得余数相同，问m最大值是多少？

第14讲数论之同余与余数问题

【和差积的余数同余余数的和差积】

【1】

【解析】

（9+7+2）×

（9-7）×

（7-2）=18×

2×

5=180，180除以11余4.

【2】

【解】、、除以3，余数是0，所以只须看表达式除以3余几．

注意：

如果a除以3余,b除以3余.，那a×

b除以3所得的余数就是内×

除以3所得的余数

因为4、7除以3余1，所以、，除以3，余数也是1.

因为5、8除以3余2，所以、除以3，余数与,除以3的余数相同而=16除以3余1，所以=×

2除以3余2,=×

除以3余l（=1×

1）

于是除以3，所得余数与l＋4＋l＋2＋1＋1除以3，所得余数相同，即余数是1.

【3】

【解】有已知，乙，丙，丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍.八盒糖的总块数是

9＋17＋24＋28＋30＋31＋33＋44=216216除以5的余数为1，所以甲取走的一盒除以5余1.因此甲取走的一盒中有31块奶糖.

【4】

【解法1】甲余11人，乙余36－11=25人.甲团人数与乙团人数的积除以36，余数与11×

25除以36的余数相同，即余23.所以最后一卷拍了23张，还可拍36－23=13张.

【解法2】因为除去最后一辆车，其它个车里两团代表人数都是36的倍数，所以剩下胶片是最后一辆车里两团代表拍完照留下的.25×

11÷

36=7……23还可拍36－23=13（张）.

【5】

【分析】任何数乘方的尾数都是4个数一周期．

7是7、9、3、1循环，因为2010÷

4＝502…2，所以尾数是9.

8是8、4、2、6循环，因为98÷

4余2，所以尾数是4.

9是9、1、9、9循环，因为2009÷

4余1，所以尾的数是9.

9+9×

4=45，个位为5.

【6】

【分析】求结果除以l0的余数即求从l到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对于一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把每个加数的个位数按20个一组，则不同组中对应的数字应该是一样的．

首先计算的个位数字为M.2005个加数中有100组多5个数，100组的个位数是M×

100的个位数即O,另外5个数为，它们和的个位数字是1＋4＋7＋6＋5＝23的个位数3.

【7】

【分析】同余的性质的应用．

【解】∵143≡3（mod7）

∴≡（mod7）

∵≡1（mod7）

∴≡5（mod7）.

【评析】这类题都是通过找几次方除以7得余数1作为突破，大大简化题目的难度。

【巩固】

【解析】2011÷

8余3，与除以8的余数相同，3×

3除以8余1，所以

【同余-用于求除数】同余：

a÷

x余r,b÷

x余r，则（a-b）是x的倍数。

【基础知识练习】

【分析】所求自然数减去63的差可被247与248整除，再考虑这个差被26除的余数．

【解】设所求自然数减去63，差是A，则A被247与248整除，

247=19×

13,248=2×

124

所以A被13与2整除，13与2互质，得A被26整除．原来的自然数是A+63，所以只要考虑63被26除后的余数．

63=26×

2+11

因此这个自然数被26除余11

答：

所求余数是11.

【评析】如果一个整数能被甲、乙两数整除，并不能得出它被甲、乙两数的积整除．在甲、乙两数互质时，才能导出这个数被甲、乙两数的积整除．

【解析】由85-69=16，93-85=8，推出A=8或4或2，97÷

8=12……1.所以丁团分成每组A人的若干组后还剩1人。

【解析】这个数A除55l,745个数去除551,745,1,1133,1327,所得的余数相同,所以有551,745,1133,1327两两做差而得到的数一定是除数A的倍数．

1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-551=776,1133-551=582．

这些数都是A的倍数,所以A是它们的公约数,而它们的最大公约数（194，388，194，582，776，582）=194．

所以,这个数最大可能为194．

【分析与解】设这个除数为M,设它除63,90,130所得的余数依次为a,b,c,商依次为A,B,C．

63÷

M=A……a90÷

M=B……b130÷

M=C……c

a+b+c=25,则（63+90+130）-（a+b+c）=（A+B+C）×

M,即283-25=258=（A+B+C）×

M．

所以M是258的约数.258=2×

3×

43,显然当除数M为2、3、6时,3个余数的和最大为3×

（2-1）=3，3×

（3-1）=6,3×

（6-1）=15,所以均不满足．

而当除数M为43×

2,43×

3,43×

3时,它除63的余数均是63,所以也不满足．

那么除数M只能是43,它除63,90,130的余数依次为20,4,1,余数的和为25,满足．

显然这3个余数中最大的为20．

【余数三大类问题-用于求被除数】

（1）余同：

最小公倍数的倍数+余数，

（2）差同（差=除数-余数）：

最小公倍数的倍数-差

（3）都不同：

结合中国剩余定理与不定方程两边对某数求余数的方法。

【分析】N加上1，就可以被10、9、8、…、2整除．

【解】由于N十l被10、9、8、…、2整除，而10、9、8、…、2的最小公倍数是

5×

9×

8×

7=2520

因此，N十1被2520整除．

N的最小值是

2520一1=2519

N的最小值是2519.

【解】设这个数为23a＋7，因为它除以19余9，所以，23a＋7一9=19a＋4a一2被19整除，即4a一2被19整除．令a=l,2，…，代入检验，在a=10时，4a－2=38第一次被19整除，所以所求的自然教最小是23×

10＋7=237

【分析与解】设这个圆圈有n个孔,那么有n除以3余1,n除以5余1.n能被7整除．

则将n-1是3、5的倍数,即是15的倍数,所以n=15t+1,又因为凡是7的倍数,即15t+1=7A,将系数与常数对7取模,有t+1≡0（mod7）,所以t取6或6与7的倍数和.

对应孔数为15×

6+l=91或91与105的倍数和，满足题意的孔数只有91．

即这个圆圈上共有91个孔．

【活学活用】

【1】

【解析一：

教材方法】甲、乙两数的差被3整除，即甲、乙两数被3除的余数相同．

一个自然数被3除，余数只有3种情况，即0、1、2.

由分析可知：

甲、乙两数被3除，余数相同，下面分三种情况讨论

（1）如果甲、乙两数被3除都余1，那么，它们的和被3整除，不符合题意．

（2）如果甲、乙两数被3除都余1，那么，它们的和被3除余2,也不符合题意．

（3）如果甲、乙两数被3除都余2，那么，它们的和被3除正好余l.

甲数被3除的余数是2.

【解析二：

致远推荐】A+B=3m+1，A-B=3n，解得2A=3m+3n+1，所以A=[3×

（m+n）+1]÷

2，