七年级上册学霸笔记数学有理数章节Word下载.docx

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有理数的概念

⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）

⑵正分数和负分数统称为分数

⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：

只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

（易错点、易混点）

引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

有理数的分类:

①按正、负分类:

按有理数的意义来分:

总结：

①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）

②负整数、0统称为非正整数

③正有理数、0统称为非负有理数

④负有理数、0统称为非正有理数

有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；

这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；

自然数0和正整数；

a＞0a是正数；

a＜0a是负数；

a≥0a是正数或0a是非负数；

a≤0a是负数或0a是非正数.

数轴的概念

规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；

⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；

⑶同一数轴上的单位长度要统一；

⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；

⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；

⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

数轴上特殊的最大（小）数（考选择题）

⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；

⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；

⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数

数轴上点的移动规律（重难点）

根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

⑴相反数是成对出现的；

⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；

⑶0的相反数是它本身；

相反数为本身的数是0。

相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数，且只有一个；

⑵0的相反数是0；

⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0

相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；

互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。

0的相反数对应原点；

原点表示0的相反数。

说明：

在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

相反数的求法

⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：

5的相反数是-5）；

0的相反数还是0；

⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；

5a+b的相反数是-（5a+b）。

化简得-5a-b）；

a-b+c的相反数是-a+b-c；

a-b的相反数是b-a；

a+b的相反数是-a-b；

⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简（如：

-5的相反数是-（-5），化简得5）；

）相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数

相反数的表示方法（难点）

⑴一般地，数a的相反数是-a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。

当a>

0时，-a<

0（正数的相反数是负数）

当a<

0时，-a>

0（负数的相反数是正数）

当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）

多重符号的化简

多重符号的化简规律:

“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；

“-”号的个数决定最后化简结果；

即：

“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正，简称奇负偶正。

绝对值

绝对值的几何定义：

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。

绝对值的代数定义（重点）

⑴一个正数的绝对值是它本身；

⑵一个负数的绝对值是它的相反数；

⑶0的绝对值是0.

可用字母表示为：

①如果a>

0，那么|a|=a；

②如果a<

0，那么|a|=-a；

③如果a=0，那么|a|=0。

可归纳为①：

a≥0，<

═>

|a|=a（非负数的绝对值等于本身；

绝对值等于本身的数是非负数。

）

②a≤0，<

|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；

绝对值等于其相反数的数是非正数。

绝对值的性质

任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。

所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。

即

（1）正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；

绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

绝对值是0的数是0.即：

a=0<

|a|=0；

⑵任何一个数的绝对值都是非负数，绝对值最小的数是0.绝对值可表示为：

或

；

|a|≥0；

绝对值的问题经常分类讨论；

⑶任何数的绝对值都不小于原数。

|a|≥a；

；

（难点）

（4）绝对值相等的两数相等或互为相反数。

|a|=|b|，则a=b或a=-b；

（5）若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。

即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。

（非负数的常用性质：

若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）（常考00题）

4.有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小：

数轴上的两个数相比较，左边的数总比右边的数小，或者右边的数总比左边的数大

⑵利用绝对值比较两个负数的大小：

两个负数比较大小，绝对值大的反而小；

异号两数比较大小，正数大于负数。

（3）正数的绝对值越大，这个数越大；

（4）正数永远比0大，负数永远比0小；

（5）正数大于一切负数；

（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.

5.绝对值的化简（重难点）

①当a≥0时，|a|=a；

②当a≤0时，|a|=-a

6.已知一个数的绝对值，求这个数

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。

有理数的加减法.

1.有理数的加法法则

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

⑶互为相反数的两数相加，和为零；

⑷一个数与0相加，仍得这个数。

2.有理数加法的运算律

⑴加法交换律：

a+b=b+a

⑵加法结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）

在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：

①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；

②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；

③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；

④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；

⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

3.加法性质

一个数加正数后的和比原数大；

加负数后的和比原数小；

加0后的和等于原数。

⑴当b>

0时，a+b>

a⑵当b<

0时，a+b<

a⑶当b=0时，a+b=a

4.有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

用字母表示为：

a-b=a+（-b）。

5.有理数加减法统一成加法的意义

在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。

在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。

有理数的乘除法

1.有理数的乘法法则

法则一：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）

法则二：

任何数同0相乘，都得0；

法则三：

几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；

负因数的个数是奇数时，积是负数；

法则四：

几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.

2.倒数

乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·

=1（a≠0），就是说a和

互为倒数，即a是

的倒数，

是a的倒数。

互为倒数：

乘积为1的两个数互为倒数；

0没有倒数；

若a≠0，那么

的倒数是

倒数是本身的数是±

1；

若ab=1a、b互为倒数；

若ab=-1a、b互为负倒数.

①0没有倒数；

②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；

求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；

③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。

（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；

④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。

3.有理数的乘法运算律

⑴乘法交换律：

一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

即ab=ba

⑵乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

即（ab）c=a（bc）.

⑶乘法分配律：

一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。

即a（b+c）=ab+ac

4.有理数的除法法则

（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数；

零不能做除数，

（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0

5.有理数的乘除混合运算

（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。

八．有理数的乘方

1.乘方的概念

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在

中，a叫做底数，n叫做指数。

（1）a2是重要的非负数，即a2≥0；

若a2+|b|=0a=0,b=0；

（2）据规律

底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位

2.乘方的性质

（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数；

当n为正奇数时:

（-a）n=-an或（a-b）n=-（b-a）n,当n为正偶数时:

（-a）n=an或（a-b）n=（b-a）n.

（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

（3）-1的奇次幂是-1，-1的偶次幂的1.

有理数的混合运算

做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：

1.先乘方，再乘除，最后加减；

2.同级运算，从左到右进行；

3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

科学记数法

把一个大于10的数表示成

的形式（其中

，n是正整数），这种记数法是科学记数法

科学计数法技巧总结：

用科学计数法表示一个数关键是求得这个数

中的n，求n的方法可以用这个数位数减一求得。

（如果不理解可以看一下往期的视频，有详细讲解）

近似数的精确位：

一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.

有效数字：

从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.

混合运算法则：

先乘方，后乘除，最后加减；

怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.

特殊值法：

是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.

等于本身的数汇总：

相反数等于本身的数：

倒数等于本身的数：

1，-1

绝对值等于本身的数：

正数和0

平方等于本身的数：

0,1

立方等于本身的数：

0,1，-1.