高中数学知识精要 13数列教案 新人教A版Word格式文档下载.docx

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（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：

、、、及，其中、称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，

…（公差为）；

偶数个数成等差，可设为…，

…（公差为2）.（3）任何两个数都有等差中项.

3.等差数列的性质：

（1）当公差时，等差数列的通项公式

是关于的一次函数，且斜率为公差；

前和

是关于的二次函数且常数项为0.

可设等差数列的通项公式为，前和公式.

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.

如

（1）等差数列中，

，则＝____（答：

27）；

（2）在等差数列中，，且，是其前项和，则

A、都小于0，都大于0　　

B、都小于0，都大于0　　

C、都小于0，都大于0　　

D、都小于0，都大于0　（答：

B）

（4）若、是等差数列，则、（、是非零常数）、、、，…也成等差数列，而成等比数列；

若是等比数列，且，则是等差数列.

如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为.（答：

225）

（5）在等差数列中，当项数为偶数时，，；

项数为奇数时，，（这里即）；

。

如

（1）在等差数列中，S11＝22，则＝______（答：

2）；

（2）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：

5；

31）.

（6）若等差数列、的前和分别为、，且，则

.

如设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________（答：

（7）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；

“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。

法一：

由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；

法二：

因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。

上述两种方法是运用了哪种数学思想？

（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

如

（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？

并求此最大值。

前13项和最大，最大值为169）；

（2）若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是　　　　（答：

4006）．

（8）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.提醒：

公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.

4.等比数列的有关概念：

（1）等比数列的判断方法：

，其中　　　或．

　公式法：

时，前n项和可写成

　　如

（1）一个等比数列{}共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为____（答：

（2）数列中，=4+1（）且=1，若，求证：

数列｛｝是等比数列。

（2）等比数列的通项：

当q>

0且q≠1时，是指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积，因此的图象是函数y=的图象上的一群孤立点．很明显，若>

0,当q>

1时，数列递增；

当0<

q<

1时，数列递减．

可用来求公比.

如设等比数列中，，，前项和＝126，求和公比.（答：

，或2）

（3）等比数列的前和：

如

（1）等比数列中，＝2，S99=77，求（答：

44）；

（2）的值为__________（答：

2046）；

（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，…（公比为）；

但偶数个数成等比时，不能设为…，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为．

如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。

15，,9，3,1或0,4，8,16）

特别提醒：

等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解．

（4）等比中项：

若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。

不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个．

如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：

A＞B）

5.等比数列的性质：

（1）当时，则有，特别地，当时，则有.

　如（１）在等比数列中，，

，公比q是整数，则=___（答：

512）；

（2）各项均为正数的等比数列中，若，则

＝（答：

10）．

（2）若是等比数列，则、、成等比数列；

若成等比数列，则、成等比数列；

若是等比数列，且公比，则数列，…也是等比数列。

当，且为偶数时，数列，…是常数数列0，它不是等比数列.

如

（1）已知且，设数列满足，且，则　　　　　.（答：

（2）在等比数列中，为其前n项和，若

，则的值为______（答：

40）

（3）若，则为递增数列；

若,则为递减数列；

若，则为递减数列；

若,则为递增数列；

若，则为摆动数列；

若，则为常数列.

（4）当时，

，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。

如若是等比数列，且，则＝（答：

－1）

（5）

如设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为_____（答：

－2）

（6）在等比数列中，当项数为偶数时，；

项数为奇数时，.

（7）如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

如设数列的前项和为（），关于数列有下列三个命题：

①若，则既是等差数列又是等比数列；

②若，则是等差数列；

③若，则是等比数列．这些命题中，真命题的序号是

②③）

6.数列的通项的求法：

⑴公式法：

①等差数列通项公式；

②等比数列通项公式。

如已知数列试写出其一个通项公式：

__________（答：

⑵已知（即）求，用作差法：

如（１）已知的前项和满足，求

（２）数列满足

，求

解：

（i）令时，

（ii）

（1）

（2）

（1）－

（2）得：

，即所以

（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？

（只有时，才有，当时，；

注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要单独列出）；

（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。

如数列满足，求（答：

⑶已知求，用作商法：

如数列中，对所有的都有，则______（答：

⑷若求用累加法：

如已知数列满足，，则=________（答：

⑸已知求，用累乘法：

如已知数列中，，前项和，若，求（答：

⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。

特别地，

（1）形如：

（为p,q为常数且）的数列

（Ⅰ）可化为

，利用等比数列求出的表达式，进而求出

（Ⅱ）可由得两式相减可得：

，利用成等比数列求出，再利用迭代或迭加求出

（Ⅲ）,先用累加法求再求

如已知，求（答：

（２）形如（为常数）也可通过类似方式来求得.

更一般地，递推数列an=kan－1+f（n）（k≠0,k≠1）（f（n）为等比或等差））

还可由an=kan－1+b派生出an+1=kan+b，两式相减得：

an+1-an=k（an-an-1）依据等比数列的定义求出其通项公式（这是二阶线性递归数列an+1+pan+qan－1=0的解法），从而形如的数列可变形为

就是则可从，解得于是是公比为的等比数列.

如（１）数列中，，求数列的通项公式。

在两边减去得

是以为首项，以为公比的等比数列，

令上式，再把个等式累加得:

=

（２）已知，求（答：

　（３）形如（）

（为常数且）的递推数列都可以用倒数法求通项。

可化为=求出的表达式，再求．

如（１）已知，求（答：

（２）已知数列满足=1，，求

这种类型还有如：

可采用取倒数方法转化成为形式解决；

又如已知数列中且，求数列的通项公式可采用两边取对数方法即则数列是以为首项，为公比的等比数列。

（７）猜想—归纳—证明（数学归纳法）

与自然数有关的命题常用数学归纳法证明，证明步骤与格式的规范是数学归纳法的一个特征，其步骤是：

（1）验证命题对于第一个自然数n＝n0（k≥n0）时成立；

（2）假设n=k时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，（3）得出结论。

注：

（1）数学归纳法是一种完全归纳法，其中两步在推理中的作用是：

第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。

（2）在运用数学归纳法时，要注意起点n，并非一定取1，也可能取0，2等值，要看清题目.

（3）第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清由k到k+1时命题变化情况.证明时要一凑假设，二凑结论；

7.数列求和的常用方法：

（1）公式法：

①等差数列求和公式；

②等比数列求和公式，特别声明：

运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；

③常用公式：

，

如

（1）等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝_____（答：

（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。

二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是

，那么将二进制转换成十进制数是_______（答：

（2）分组求和法：

在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.如求：

（3）倒序相加法：

若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.

如①求证：

；

②已知，则

＝______（答：

一般地，

（｛an｝为等差数列）可通过此法来求.

观察通项、注意首项、点清项数；

（4）错位相减法：

如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）：

两边同乘以公比错位相减（但要区分公比是否为1）.

如

（1）设为等比数列，

，已知，，①求数列的首项和公比；

②求数列的通项公式.（答：

①，；

②）；

（2）设函数

，数列满足：

，①求证：

数列是等比数列；

②令

，求函数在点处的导数，并比较与的大小。

①略；

②，当时，＝；

当时，<

当时，>

（5）裂项相消法：

如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.

常用裂项形式有：

①；

②；

③

④

⑤；

⑥

.如

（1）求和：

（答：

（2）在数列中，，且Sｎ＝９，则n＝_____（答：

99）；

（3）等差数列｛an｝的公差d（d≠0），则.的求和也可用此法.

（6）通项转换法：

先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。

如（１）求数列1×

4，2×

5，3×

6，…，，…前项和=　（答：

（２）求和：

8.“分期付款”、“森林木材”型应用问题

（1）这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.

（2）利率问题：

①单利问题：

如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金元，每期利率为，则期后本利和为：

（等差数列问题）；

②复利问题：

按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：

若贷款（向银行借款）元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分期还清。

如果每期利率为（按复利），那么每期等额还款元应满足：

（等比数列问题）.

p——贷款数，r——利率，n——还款期数

2019-2020年高中数学知识精要14.平面向量教案新人教A版

1、向量有关概念：

（1）向量的概念：

既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？

（向量可以平移）。

如已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：

（3,0））

（2）零向量：

长度为0的向量叫零向量，记作：

，注意零向量的方向是任意的；

（3）单位向量：

给定一个非零向量，与同向且长度为1的向量叫向量的单位向量.的单位向量是；

（4）相等向量：

长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：

如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作：

∥，规定零向量和任何向量平行。

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：

两个平行向量的基线平行或重合,但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！

（因为有）；

④三点共线共线；

（6）相反向量：

长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－。

如下列命题：

（1）若，则。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若，则是平行四边形。

（4）若是平行四边形，则。

（5）若，则。

（6）若，则。

其中正确的是_______（答：

（4）（5））

2、向量的表示方法：

（1）几何表示法：

用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；

（2）符号表示法：

用一个小写的英文字母来表示，如，，等；

（3）坐标表示法：

在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

向量的起点不在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标就不相同.

如（04年上海卷.文6）已知点A（-1,5）和向量,若,则点B的坐标为.（5,4）

3.平面向量的基本定理：

如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2，e1、e2称为一组基底.

这为我们用向量解决问题提供了一种方向：

把参与的向量用一组基底表示出来，使其关系容易沟通

如

（1）若，则______（答：

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

A.

B.

C.

D.（答：

B）；

（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____（答：

（4）已知中，点在边上，且，，则的值是___（答：

4、实数与向量的积：

实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：

当>

0时，的方向与的方向相同，当<

0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：

≠0。

5、平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：

对于非零向量，，作，

称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。

（1）向量的夹角要求这两个向量同起点.

（2）角的问题（如三角形内角）可转化为向量的夹角来解.

（2）平面向量的数量积：

如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：

，即＝。

规定：

零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

如

（1）△ABC中，，，，则_______（答：

－9）；

（2）已知

，与的夹角为，则等于____（答：

1）；

（3）已知，则等于____（答：

（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____（答：

（3）在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。

如已知，，且，则向量在向量上的投影为______（答：

（4）的几何意义：

数量积等于的模与在上的投影的积。

（5）向量数量积的性质：

设两个非零向量，，其夹角为，则：

②当，同向时，＝，特别地，

当与反向时，＝－；

当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；

当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；

（1）若则为锐角或者0角若则为钝角或者π角.

（2）||＝可以用来证明//.

③非零向量，夹角的计算公式：

④。

如

（1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：

或且）；

（2）已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是___（答：

（3）答案：

（4）（04年全国卷二.理9）已知平面上直线l的方向向量点和在l上的射影分别是O′和A′，则，其中=（D）.

A．B．C．2D．－2

（5）设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知

则△ABC的形状是（B）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

（6）已知

与之间有关系式

，①用表示；

②求的最小值，并求此时与的夹角的大小（答：

②最小值为，）

6、向量的运算：

（1）几何运算：

①向量加法：

利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：

设，那么向量叫做与的和，即；

平行四边形法则要求参与加法的两个向量的起点相同，三角形法则要求参与加法的两个向量的首尾相接.可推广到

（据此，可根据需要在一个向量的两个端点之间任意插点）

②向量的减法：

用“三角形法则”：

设

，由减向量的终点指向被减向量的终点。

注意：

此处减向量与被减向量的起点相同，指向被减向量（用向量的减法来引进新的起点或者消去不必要的起点）。

向量加减运算的运算结果非0，在移项时要注意.

容易得出：

||－||≤||≤||+||．

如

（1）化简：

①___；

②____；

③_____

②；

③）；

（2）若正方形的边长为1，，则＝_____（答：

（3）若O是所在平面内一点，且满足

，则的形状为____（答：

直角三角形）；

（4）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为___（答：

（5）若点是的外心，且，则的内角为____（答：

（6）（04年全国卷二.文9）已知向量、满足：

||=1，||=2，||=2，则||=（D）.

A．1B．C．D．

（7）已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则点P与△ABC的关系为（D）

A.P在△ABC内部

B.P在△ABC外部

C.P在AB边所在直线上

D.P是AC边的一个三等分点

（2）坐标运算：

设，则：

①向量的加减法运算：

，。

如

（1）已知点，，若，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上（答：

，，则（答：

或）；

（3）已知作用在点的三个力

，则合力的终点坐标是（答：

（9,1））

②实数与向量的积：

③若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

如设，且，，则C、D的坐标分别是__________（答：

④平面向量数量积：

如已知向量＝（sinx，cosx）,＝（sinx，sinx）,＝（－1，0）。

（1）若x＝，求向量、的夹角；

（2）若x∈，函数的最大值为，求的值（答：

⑤向量的模：

距离的求法：

转化为向量的数量积：

︱︱=

如已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_____（答：

⑥两点间的距离：

若，则

如如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：

若，其中分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为。

（1）若点P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；

（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程。

（1）2；

（2））；

7、向量的运算律：

（1）交换律：

，，；

（2）结合律：

（3）分配律：

如下列命题中：

①；

②；

③；

④若，则或；

⑤若则；

⑥；

⑦；

⑧；

⑨。

其中正确的是______（答：

①⑥⑨）

（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：

对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除（相约）；

（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？

8、向量平行（共线）的充要条件：

（1）向量与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=．

实数λ是唯一存在的，当与同向时，λ>

0；

当与异向时，λ<

0。

|λ|=

|λ|的大小由及的模确定。

因此，当，确定时，λ的符号与大小就确定了。

这就是实数乘向量中λ的几何意义。

（2）若=（）,b=（），则

．

（3）∥

如

（1）若向量，当＝_____时与共线且方向相同（答：

（2）已知，，，且，则x＝______（答：

4）；

（3）设

，则k＝_____时，A,B,C共线（答：

－2或11）

（04年上海卷.理6）已知点,若向量与同向,=,

则点B的坐标为.

证明平行问题通常是取得对应的线段来构造向量，然