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交于点O,∠AOB=60º
,AB=7cm,
求矩形对角线的长。
分析:
由矩形对角线的性质可知ΔAOB等四个小角形都是等腰三角形。
又由∠AOB可知ΔAOB为等边三角形,从而求出BO=AO=7cm,那么AC=BD=14cm,
变式:
例1中的其它条件不
变,假设AE平分∠BAD交BC于E,
求∠BOE的度数。
例2。
如图,RTΔABC中,
∠ACB=90º
CD是高,CE
是中线,∠A=20º
,求
∠DCE的度数。
由直角三角形斜边上的
中线性质知CE=AE,那么∠ACE=∠A=20º
进而求出
∠DCE=90º
-∠A-∠ACE=90º
-20º
=50º
三。
练习:
P95、3
补充练习:
1.矩形具有,而一般平行四边形不具有的性质是〔〕
A、对角相等B、对角线相等
C、对边相等C、对角线互相平分
2.如图,矩形ABCD中,
EF⊥CE,EF=CE,DE=2,
矩形的周长为16,求
AE的长。
四。
小结
1.掌握矩形的定义、性质,注意其性质的特殊性。
2.掌握直角三角形的特殊性:
〔1〕直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
〔2〕30º
角所对的直角边等于斜边的一半。
进入学习情景
观察、思考
理解定义
思考、讨论
交流、归纳
理解矩形的特殊性
思考
尝试解答
作业
布置P102、3.9
板书设计正板书副板书
19.2.1矩形〔一〕
矩形定义:
例1例2
性质:
变式
直角三角形的特殊性质1
2
备课活动意见
教学后记签字
教学时间第周星期总第39课时
课题19.2.1矩形〔二〕课型新授课
教学目标标1.理解矩形的判定定理,
2、能有理有据地推理证明,精炼准确地书写表达,提高分析推理能力。
3、体会判定与性质之间的互逆关系。
重点目标1、2难点灵活运用判定、性质进行分析推理
【一】回顾引入
矩形的定义、性质各是什么?
它的性质有什么特殊性?
今天,我们来学习矩形的判定方法。
〔一〕探索矩形判定方法
1.师生活动:
用平行四边形的活动框架,演示逐渐变成矩形的过程,请学生观察
由定义知判定1:
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
证明思路:
先证其为平行四边形,再证有一个角为直角矩形
2.问题:
由矩形的性质,你还联想到什么判定方法吗?
3.学生猜想、交流、归纳:
判定2:
对角线相等的平行
四边形是矩形
先证其为平行
四边形,再证对角线相等
矩形
判定3:
有三个角是直角的四边形是矩形
需要四个角都是直角吗?
为什么?
及时小结:
共有定义法、对角线法、直角法这三种方法。
4.体会矩形在生活中的应用:
〔1〕说一说工人师傅判定门窗为矩形的方法的道理
〔2〕说一说李芳同学画矩形方法的道理。
〔二〕、例题
例1、如图,四边形ABCD中,AC⊥BD于O,点E、
F、G、H分别是四边的中点。
求证:
四边形EFGH是矩形
分析:
利用三角形中位线定
理证明四边形EFGH为平行
四边形,再证一个内角∠HEF
为直角,从而得出四边形EFGH是矩形
【三】练习应用
P96.1、2
【四】小结
掌握矩形的判定方法1〔定义法〕,2〔对角线法〕,3〔直角法〕并进行灵活应用
回忆、回答
口述证明过程
布置
P102、1.8
补充作业:
,如图,ΔABC中,O是AC的中
点,过点O作MN//BC,交∠ACB的平分线于F。
四边形AECF为矩形
19.2.1矩形〔二〕
矩形的判定1.例1练习
2.
3.
教学后记
签字
教学时间第周星期总第40课时
课题19.2.2菱形〔一〕课型新授课
教学目标标bia标biao标1.理解菱形的概念,掌握菱形的性质。
2、运用菱形知识解决有关问题。
3、提高观察、分析、推理能力。
重点目标1、2难点菱形特殊性质的理解与灵活运用
【一】创设情景,感知概念
1.观察教具演示:
一个平行四边形,当它的
一条边如图移动,使它的
邻边相等时,此时的平行
四边形变为哪种特殊的四边形?
2.得出定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
思考:
定义中,包含几个条件?
〔是平行四边形,而且邻边相等〕
3.请举一些生活中菱形的例子
【二】探究新知
学生活动1:
将一张矩形纸对折两次,沿一角剪下,打开,得到什么图形?
并思考其中的问题:
菱形是平行四边形吗?
菱形是轴对称图形吗?
菱形有哪些特殊的性质?
交流后得出结论:
菱形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的所有性质,菱形是轴对称图形,它有两条对称轴。
菱形性质1:
菱形的四条边都相等
菱形性质2:
菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
按照研究平行四边形性质的一般方法进行表述和记忆
对边平行,四条边都相等
对角相等
对角线互相垂直平分,且每一条对角线平分一组对角
比较:
菱形的性质与矩形有什么区别?
讨论:
菱形的面积如何计算?
方法1:
S菱形=底×
高=BCAE
方法2:
S菱形=
BD·
AC.
〔即:
菱形的面积等于对角线乘积的一半〕
【三】例题。
例1、如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=60°
沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD,求小路的
长(结果保留到小数点后2位)和花坛的面积(结果保留到小数点后一位)
(答案:
AC=20cm,BD≈34.64cm,
花坛的面积S菱形≈346.4m2)
延伸:
求例1中菱形的高。
四.练习巩固.P98.1.2
补充练习1:
假设菱形的两邻角之比为1﹕2,周长为40cm.那么较短的对角线长为〔〕
2.如图,在菱形ABCD中,E、F
分别是BC、CD的中点。
AE=AF。
上题中,假设E、F
分别是BC、CD上的任意一点,
∠B=60°
,BE=CF。
〔1〕、求证:
△ABE≌△ACF
〔2〕△AEF是什么形状?
连接AC。
△AEF是等边三角形
【五】小结:
1.掌握菱形的定义,性质,并会灵活运用。
2.掌握菱形面积的计算方法。
思考,说理,归纳
讨论,归纳
布置P102.5.11.12
19.2.1菱形〔一〕
菱形的定义例1练习
性质1
菱形的面积计算方法
教学时间第周星期总第41课时
课题19.2.2菱形〔二〕课型新授课
教学目标1.探究菱形的判定方法,掌握菱形的判定定理。
3、提高分析、推理能力。
重点目标1、2难点对角线判定方法的理解与运用
【一】复习与引入
1.菱形的周长为16cm,一条对角线的长是10cm,那么这个菱形的面积是〔〕cm.
2.菱形的定义和性质是什么?
与矩形有什么区别?
3.仿照矩形的性质与判定的互逆关系,菱形有哪些判定方法?
〔一〕探索菱形的判定方法:
由菱形的定义,我们很容易得到怎样的判定方法?
1.定义法:
一组邻边相等的平行四边形是菱形。
利用边的关系:
先证平行四边形,再证邻边相等
师生活动:
先画两条等长的线段AB、AD,然后分别以B、D为圆心、AB为半径画弧,
得到两弧的交点C,连接BC、
CD,画出的四边形是哪种特殊
的平行四边形,为什么?
交流:
由对边相等知道它是平行四边形,又由邻边相等知它是菱形。
归纳:
四边相等的四边形是菱形。
启发:
可以用来画菱形
3.对角线法
用一根一长一短的两根木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形,转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
问题〔1〕:
这个四边形是怎样的四边形?
问题〔2〕:
转动木条,什么时候这个四边形变为菱形?
小组交流后归纳:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
先证平行四边形,再对角线互相垂直
也可以用来画菱形
例1.如图,ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AB=10,AO=8,B0=6。
ABCD是菱形。
【三】练习巩固
P100.1.2.3
如图,ABCD中,
对角线AC的垂直平分线交AD
于E,交BC于F。
四边形AFCE是菱形。
1.掌握菱形的三种判定方法,并进行灵活运用。
2.体会菱形的判定与性质之间的关系。
回忆
理解,画图
归纳
观察
归纳形成定理
布置P103.6.10
课外思考:
如图,菱形ABCD的对角线的长分别为4cm和7cm,点P是AC上任意一点〔点P不与A、C重合〕,且PE//BCA交AB于点E,PF//CD交AD于点F,求阴影部分的面积。
可证四边形ADPF是菱形,
可知S△EPF=S△AEP,故S阴=S△ABC=
S菱形ABCD=
×
4×
7=14cm2.
19.2.1菱形〔二〕
菱形的判定1.例1练习
菱形的画法
教学时间第周星期总第42课时
课题19.2.3正方形〔一〕课型新授课
教学目标标bia标biao标1.了解正方形的有关概念,理解正方形的性质、判定方法。
2、灵活运用正方形的有关知识解决实际问题。
3、体会各种特殊四边形间的联系,提高比较、归纳、分析能力。
重点目标1、2难点灵活理解、运用正方形的
判定方法
【一】引入
正方形是我们非常熟悉的图形,在小学学习中,大家已经知道什么是正方形,以及它有什么性质。
那么,在初中,正方形又是如何定义的,它的性质和判定方法有哪些,以及它与矩形、菱形有怎样的关系,这就是今天我们要研究的问题。
〔一〕、理解正方形的定义。
问题:
正方形是平行四边形吗?
这种平行四边形从边和角来看,有什么特殊性?
请同学们仿照矩形菱形,给正方形下定义,
〔讨论后归纳〕
正方形定义:
有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
〔二〕、理解正方形的性质。
正方形是矩形吗?
是菱形吗?
正方形有哪些性质?
正方形的性质:
①边的性质:
对边平行,四条边相等。
②角的性质:
四个角都是直角。
③对角线的性质:
两条对角线互相垂直平分,且相等,每条对角线平分一组对角。
④对称性:
是轴对称图形,有四条对称轴。
〔三〕、思考:
正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系?
讨论后归纳:
例1、
正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
〔解答见课本〕
〔1〕正方形的对角线
互相垂直平分且相等。
〔2〕每条对角线与
一边的夹角为45º
。
例2、如图,正方形ABCD中,对角线的
交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE
于G,交OA于F,
OE=OF
〔分析:
证ΔAOE≌DOF〕
【三】巩固练习:
P101练习、2
如图,正方形ABCD中,
P是BD上一点,且BC=BP,
求∠ACP的度数。
【四】小结:
正方形既是矩形,又是菱形,更是平行四边形,具有三者的所有性质,三者之间相互联系,又有区别
讨论、归纳
尝试证明
学生自学
1、布置P103、15
2、补充作业:
如图,E为正方形ABCD的CB边延长线
上的一点,且BE=BF,CF的延长线交AE于G,
〔1〕∠BCF=∠BAE〔2〕CF⊥AE
19.2.3正方形〔一〕
定义例1练习
性质
教学时间第周星期总第43课时
课题19.2.3正方形〔二〕课型新授课
教学目标1、归纳正方形的判定定理。
2、能运用正方形的性质,判定定理进行简单的计算与证明。
3、提高归纳、分析、推理能力。
重点目标1、2难点判定方法的理解与灵活运用
一、复习引入
1.对角线的为10cm的正方形的面积是〔〕
2.演示:
用一张矩形纸,沿一个角折叠,
使AB与AD边重合,裁出一个四边形
ABEB/它是什么形状?
今天我们继续学习正方形的
知识-----正方形的判定。
二、新课
判定一个图形是否为正方形,有哪些方法?
讨论结果:
方法很多,一般采用以下方法:
先证四边形是矩形,再证其邻边相等。
先证四边形是菱形,再证有一个角是直角。
方法3:
〔定义法〕有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
练习理解:
课本P101.3
满足以下条件的四边形是不是正方形,为什么?
1对角线互相垂直且相等的平行四边形
2对角线互相垂直的矩形
3对角线相等的菱形
4对角线互相垂直平分且相等的四边形
5
对角线垂直的四边形
答:
①、②、③、④是正方形
例题:
例1.在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,
CD平分∠ACB,DE⊥BC于E,
DF⊥AC于F。
四边形DECF是正方形
例2、如图,四边形ABCD是正方形,
分别过A、C两点作l1//l2,作BM⊥l1于M,过D作DN⊥l1于N,直线MB、ND分别交l2于Q、P。
四边形MQPN是正方形。
三、练习
1.如图,P为正方形ABCD的对角线AC上的一点,过P作PEBC于E,作PF⊥CD于F。
〔1〕BP=PD,〔2〕四边形PECF
是哪种特殊四边形?
四、反思总结
1.
正方形与矩形、菱形、平行四边形
既有区别,又有联系
2.弄清各种四边形的定义、性质、判定
名称定义性质判定
平行四边形
矩形
菱形
正方形
操作交流
布置P103.7.13
19.2.3正方形〔二〕
正方形的判定例1例2练习
特殊四边形的定义、性质、判定及其相互关系
备课活动意
教学时间第周星期总第44课时
课题19.3梯形〔一〕课型新授课
教学目标标bia标biao标1.了解梯形的有关意义,等腰梯形的性质,并学会应用。
2、发展数学中的转换,化归思维方法,体会平移,轴对称等有关知识在梯形中的应用。
重点目标1、2难点梯形中通过作辅助线将问题
进行转化
教具准备三角板,直尺
【一】创设情境,以旧换新。
观察P106图1中的图形,都有哪几种图形?
今天我们来进一步学习梯形的有关性质。
以上的梯形有什么共同特点?
〔1〕、梯形定义:
一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫梯形。
结合图形指出梯形的上底、下底、腰、高。
〔2〕、等腰梯形:
两腰相等的梯形叫等腰梯形。
〔3〕、直角梯形:
有一个角是直角的梯形叫直角梯形。
【二】观察分析,获取性质。
对于梯形,我们重点研究等腰梯形的性质。
请同学们观察、思考:
等腰梯形是否是轴对称图形?
〔出示纸片,进行对折演示〕
等腰梯形中有哪些相等的线段?
相等的角?
等腰梯形的两条对角线的长度有什么关系?
即时小结:
〔1〕等腰梯形是轴对称图形,上、下底中点所在的直线为对称轴。
〔2〕等腰梯形同一底边上的两个角相等。
〔3〕等腰梯形的两条对角线相等。
验证性质:
你能用推理的方法论证上面的结论②和③吗?
【三】例题学习
例1:
如图:
延长等腰梯形ABCD的腰
BA与CD,使它们相交于点E,
ΔEBC和ΔEAD都是等腰三角形。
【四】启发与升华。
根据思考和例1,可以看出,解决梯形问题,常常需要把梯形转化为三角形或平行四边形,那么,表达中常见的辅助线有哪几种?
作高延长腰平移腰平移对角线等积变形
【五】练习提高
P1081、4
1、如图:
等腰梯形ABCD中,
AD∥BC,AB=CD,∠B=50º
求其余三个内角的度数。
求CD的长。
2、如图:
梯形ABCD中
AD∥BC,AB=CD,E、F、G、H分别
是BC、CD、AD、AB边上的中点
,求证:
四边形EFGH是菱形。
六、小结:
1、梯形的定义,等腰梯形的性质
2、梯形中常需要作辅助线,将问题转化
观察、回答
理解、归纳
讨论、交流、
学生说理
学生尝试
解答
体会转换关系及辅助线的作用
布置1、作业:
P109习题1、2
19.3梯形〔一〕
梯形的定义例1练习
等腰梯形的性质
梯形中常见的辅助线:
教学时间第周星期总第45课时
课题19.3梯形〔二〕课型新授课
教学目标标bia标biao标1.理解并掌握梯形的判定方法。
2、运用梯形的知识解决有关问题。
3.发展合情的推理能力。
重点目标1、2难点证明等腰梯形的判定定理
教具准备三角板,
一、回顾交流
1.梯形中常见的辅助线有哪几种?
2.等腰梯形的性质有哪些?
二、探究新知
(一)猜想:
怎样的一个梯形是等腰梯形?
除定义法外,还有哪些方法?
判定1:
同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
推理论证:
,如图,梯形ABCD中,AD//BC,
∠ABC=∠DCB。
梯形ABCD是等腰梯形。
方法很多,请学生尝试解答
证法1:
作高,证ΔABD≌ΔDCF
证法2:
延腰,利用等腰三角形性质
和线段差值证明
证法3:
平移腰
对角线相等的梯形是等腰梯形
:
如图,梯形ABCD中,
AD//BC,AC=BD.
梯形ABCD是等腰梯形
证明:
过D作DE//AC交BC的延长线与E。
∵AD//BCDE//AC
∴四边形ACED是平行四边形
∴AC=DE
又AC=BD
∴DE=BD
∴∠1=∠E
又DE//AC
∴∠1=∠2
又AC=BDBC=DE
∴ΔABC≌ΔDCB〔SAS〕
∴AB=CD
∴梯形ABCD是等腰梯形
三、例题
(课本P108)如图,在梯形ABCD中,AB//CD,DE//AB,DE=DC,∠A=100º
求梯形其它三个内角的度数.
例2:
,如图,在梯形ABCD中,AB//CD,DB平分∠ADC,过点A作AE//BD,交CD的延长线于点E,且
∠C=2∠E
〔1〕求证:
〔2〕假设∠BDC=30º
,AD=5,求CD的长。
〔1〕证明∵AE//BD,
∴∠E=∠BDC
又DB平分∠ADC
∴∠ADC=2∠BDC
∴∠ADC=2∠E
∴∠ADC=∠C
〔2〕∵∠BDC=30º
∴∠ADC=2∠BDC=∠C=60º
∴在ΔBDC中,∠DBC=180º
-〔∠BDC+∠C=〕=180º
-〔30º
+60º
〕=90º
∴CD=2BC=2×
5=10
四、练习:
P1082
五、小结:
1、等腰梯形的判定与性质为互逆关系
2、在梯形中要学会作辅助线,将问题转化
思考、交流
学生尝试解答
布置P109习题3、4、7
19.3梯形〔二〕
等腰梯形的判定方法1〔定义法〕例1例2练习
3
教学时间第周星期总第46课时
课题19.3梯形〔练习课〕课型练习课
教学目标标bia标biao标1、巩固梯形的性质、判定
2、灵活运用梯形的知识解决实际问题。
3.提高分析推理能力。
重点目标1、2难点合理分析推理
【一】回顾
梯形的性质、判定各是什么?
梯形中有哪些常见的辅助线?
探究新知
【二】例题
,如图,等腰梯形ABCD中,AD//BC,
AB=CD,E为梯形内一点,且AE=ED
EB=EC
〔课本P11010〕
,如图,四边形ABCD是矩形,
AB=4cm,AD=3cm,把矩形沿直线
AC折叠,点B落在E处,连接DE。
〔1〕四边形ACEDD是什么图形?
〔2〕四边形ACED的周长和面积个是多少
D
A
【三】练习:
C