平面向量与解析几何交汇的综合题目资料Word格式文档下载.docx
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基础知识梳理
1（向量的概念、向量的几何表示、向量的加法和减法;
2（实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算;
3（平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段定比分
点人坐标公式和向量的平衡移公式;
4（椭圆、双曲线、抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用;
5（曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）;
6（直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦与斜率、对称问
题）确定参数的取值范围;
7（平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆
锥曲线中的典型问题。
例题讲解
一、“减少运算量，提高思维量”是未来几年高考的一个方向，高考中对求轨迹的方程倾向于利用适当的转化再用定义法，以利于减少运算量，提高思维量。
而圆锥曲线的两种定义均可用向量的模及数量积几何意义、射影定理来表示，无疑为平面向量与圆锥曲线交汇命题开拓了广阔的空间。
在以向量为载体，求轨迹方程为命题切入点，可以综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义，平面向量的数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义。
,,,,a例1（已知是x,y轴正方向的单位向量，设=,i,j（x,3）i，yj,,,,,a=,且满足||+||=4.bb（x，3）i，yj
（1）求点P（x,y）的轨迹C的方程.,c
（2）如果过点Q（0，m）且方向向量为=（1,1）的直线l与点P的轨迹交于A，
B两点，当,AOB的面积取到最大值时，求m的值。
,,,,,,,aa解:
（1）=,||=,且||+||=4.bb？
（x,3）i，yj（x，3）i，yj
33,0），（-,0）的距离这和为4，故点P的轨迹方点P（x,y）到点（
22x程为，y,14
（2）设A（）,B（）依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得x,yx,y1122
22284,5x，8mx，4m,4,0，则+=-m,=xxxx（m,1）112255
2212S,ABd,（5,m）m因此，,AOB25
22105,m,m当S,1时，即m=时，,max2
,,,,a[题设变式I.1]已知是x,y轴正方向的单位向量，设=,i,j（x,3）i，yj,,,,,abb=,且满足|||-|||=2.求点P（x,y）的轨迹C的方程.（轨迹为双曲（x，3）i，yj
线）
,,,,a[题设变式I.2]已知是x,y轴正方向的单位向量，设=,i,j（x,3）i，yj,,,,,,,abbi=,且满足=||.求点P（x,y）的轨迹C的方程.（x，3）i，yj
,,33bi[提示:
设K（-KP,0），F（,0），则表示在x轴上射影，即点P到x=
-的距离，所以点P到定点F的距离与到定直线x=-的距离比为1，故点33
P的轨迹是以（,0）为焦点以x=-为准线抛物线]33
,,,,a[题设变式I.3]已知是x,y轴正方向的单位向量，设=,i,j（x,3）i，yj,,,,,,,,a=,且满足=||.求点P（x,y）的轨迹C的方程.bbi（x，3）i，yj
,,[提示:
设K（-3,0），F（3,0），则表示在x轴上射影，即点P到x=biKP
-3的距离，所以点P到定点F的距离与到定直线x=-3的距离比为
a11,,33，当时，点P的轨迹是以（,0）为焦点，以x=-为相,0,,1,,b,i
133应准线的椭圆;
当时，点P的轨迹是以（,0）为焦点，以x=-为相应,1,
准线的双曲线的右支;
若想得到双曲线的双支应满足什么条件,]
PFKF题设变式I.4]已知平面上两定点K、F，P为一动点，满足，.[KP,KF求点P（x,y）的轨迹C的方程.（以F焦点，过K且垂直于KF的直线为准线的抛物线）
,PF[题设变式I.5]已知平面上两定点K、F，P为一动点，满足，.KP,KF求点P（x,y）的轨迹C的方程.（以F焦点，过K且垂直于KF的直线为准线的圆锥曲线。
）
22,2[考题]已知点A（，0），B（，0）动点P满足AP,AB,2|AB|,|BP|
（1）若动点P的轨迹记作曲线C求曲线C的方程.，11
2,
（2）已知曲线C交y轴正半轴于点Q，过点D（0，）作斜率为k的直线交曲线13
C于M、N点，求证:
无论k如何变化，以MN为直径的圆过点Q.（解答见附页）1
,,,,a[题设变式II.1]已知是x,y轴正方向的单位向量，设=,i,j（x,3）i，yj,,,,,abb=,且满足|+|=4..求点P（x,y）的轨迹C的方程.（x，3）i，yj
33AP，BP,2OP（,点P轨迹为圆，其中A（，0），B（,，0））
,,,,a[题设变式II.2]已知是x,y轴正方向的单位向量，设=,i,j（x,3）i，yj,,,,,a=,且满足,6.求点P（x,y）的轨迹C的方程.（轨迹为圆）,bb（x，3）i，yj
例2、已知两点M（2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影是H，如果-
分别是公比q=2的等比数列的第三、第四项.PH,PH,PM,PN
（1）求动点P的轨迹C的方程;
（2）已知过点N的直线l交曲线C于x轴下方两个不同的点，A、B，设R
为AB的中点，若过点R与定点Q（0，-2）的直线交x轴于点D（x，0），0
求x的取值范围.0
导析
（1）设P（x，y），则H（0，y），PH,（,x,0）,
PM,（,2,x,,y）,PN,（2,x,,y）.
2222所以PH,PH,x,PM,PN,（2,x）（,2,x），y,x，y,4.
22x，y,4PM,PN,2.又因为所以有,2,2xPH,PH
22所以点P的轨迹方程为y-x=4（x?
0）.
（2）设AB:
y=k（x-2），A（xy），B（xy），R（xy）.112233
y,k（x）,2,由化简得（k2-1）x2-4k2x=4（k2-1）=0.,22yx,,4,
2,xx,2k12x,,,3,2y1,2k,13所以有,.所以,xkk23,y,.32,k,1,
y，y，22y，212233,,，,,,所以DQ的方程为令y=0，得xxxxkx3033
22所以x,,又由0211511k,2（）,,，2，,224kk2k
4222,kkk,,16,16（,1）,32,16，0,
21,2可得k,，由题意可知,k,1，yy，，0,,1222,yy,，0.32,
111522所以1,,，所以,-（）+,1，所以2,x,2+.,22,120kk24
2故所求的x的取值范围为（2，2+）.20
[题后反思]若改变q的值能否构造出椭圆来呢,[当0,q,1时，点P的轨迹为椭圆]
例3、如图所示，点F（a，0）（a,0），点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动
点，且PM,PF,0,PN,,PM
（1）求点N的轨迹C的方程;
（2）过点F（a，0）的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设点K（-a，
,,0），与的夹角为，求证:
0,,.KAKB2
2[答案提示]
（1）点N的轨迹C的方程为y,4ax
[变化]点F（a，0）（a,0），点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，
且（为常数）求点N的轨迹仍为抛物线吗,;
PM,PF,0,PN,,PM
二、把向量作为工具去推导与探索圆锥曲线的标准方程和几何性质，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
22xy，,1例4、已知F，F椭圆的两个焦点，过点F的直线BC交椭圆于B、C162
两点，
1OM,（OC，OB）
（1），求点M的轨迹方程.2
22[答案]（x,1），3y,1
l
（2）若相应于焦点F的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭
,1l圆相交于P、Q两点.设（），过点P且平行于准线的直线与椭AP,,AQ
圆相交于另一点M，证明:
.FM,,,FQ解:
（1）略
（2）证明:
.由已知得方程组AP,（x,3,y）,AQ,（x,3,y）1122
x,3,（x,3）,,12,,y,y,12,22,xy11,，,1,62,22,xy22,，,1.62,
51,,,1，解得注意x,22,
因，故F（2,0）,M（x,,y）11
FM,（x,2,,y）,（,（x,3），1,,y）1121
,11,,,（,y）（,y）.,,,,12,22
1,FQ（x2,y）（,y）而,,,，所以222,2
.FM,,,FQ
[结论发散]设P（x,y）为椭圆上一点，00
（1）求的MinPF,PF1
PF,PF
（2）求的Max1
（3）当x<
0时，的取值范围。
PF,PF01
lPF（4）若相应于焦点F的准线与x轴相交于点A，，求AP,FF,311
OM,OP（5）已知点M的坐标为（2,3），求的最值。
6PQ，PF（6）已知点Q的坐标为（1,1），求的最小值2
（7）已知点Q的坐标为（1,1），求PQ，PF的最值
QFPQ，PFPQ,PF[提示]=,
PQ，PFPQ,PFPQ,PFFQ=2a+2a+=2a+,111
2x,2py例5.已知A、B为抛物线（p>
0）上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，
（1）若，求抛物线的方程。
OA,OB,,6
（2）CD是否恒存在一点K，使得KA,KB,0
Y
A
FP
B
X
O
DKC
p解:
（1）提示:
记A（）、B（）设直线AB方程为代入抛物xyx,yy,kx，1,1222
22线方程得x,2kpx，,p,0
221xx,,p,yy,p12124
23OA,OB,xx，yy,,p,,612124
（2）设线段AB中点P在在准线上的射影为T，
2
TP，TP,（PA，PB），PA,PB则TA,TB,（TP，PA）,（TP，PB）222221111,（DB，CA），（FB，FA）,,,,,0PA,PBPAABAB4444
故存在点K即点T，使得KA,KB,0[实质:
以AB为直径的圆与准线相切]
KA,KF,0[结论发散1]y轴上是否恒存在一点K，使得[实质:
以AF为直径的圆与y轴相切]
CF,DF,0[结论发散2]求证:
AD,,AO[结论发散3]求证:
存在实数使得[实质:
证明A、O、D三点共线（2001年高考题）]
FT,AB,0[结论发散4]设线段AB中点P在在准线上的射影为T，证明:
2x,2pyOA,OB,0[题设变更1]已知A、B为抛物线（p>
0）上两点，，点C坐标为（0,4p）
AC
（1）求证:
AB?
,R,BMOM,AB,0AM
（2）若,（）且试求点M的轨迹方程。
2[题设变更2]（2004全国湖南文21）如图，过抛物线x=4y的对称轴上任一点P
（0,m）（m>
0）作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.
设点P分有向线段所成的比为，证明:
;
ABQP,（QA,,QB）
2解:
依题意，可设直线AB的方程为代入抛物线方程得y,kx，m,x,4y2?
x,4kx,4m,0.
设A、B两点的坐标分别是、、x是方程?
的两根.（x,y）（x,y）,则x211221
所以xx,,4m.12
由点P（0，m）分有向线段所成的比为，AB
x，xx121,,,得0,即,.，x1,2
又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，,m），从而.QP,（0,2m）
QA,,QB,（x,y，m）,,（x,y，m）,（x,,x,y,,y，（1,,）m）.11221212
QP,（QA,,QB）,2m[y,,y，（1,,）m]1222xxxxxx，4m112112,2m[，,，（1，）n],2m（x，x）,124x4x4x222
4m，4m,2m（x，x）,,0.124x2
所以QP,（QA,,QB）.
思维能力训练
一、选择题
O1、（2002年新课程卷）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，A（3,1）,B（,1,3）
CC若点满足，其中，且，则点的轨迹方程,,,,R,，,,1OC,,OA，,OB
为（）
22A.B.3x，2y,11,0（x,1），（y,2）,5
C.D.2x,y,0x，2y,5,0
,,,,,,,a2、已知是x,y轴正方向的单位向量，设=,=,b（x,2）i，yj（x，2）i，yji,j
,a且满足||+||=4.则点P（x,y）的轨迹是.（）b
A、椭圆B（双曲线C（线段D（射线3、已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP=
2,,,,（A）（AB+AD）,?
（0,1）（B）（AB+BC）,?
（0,）2
2,,,,（C）（AB,AD）,?
（0,1）（D）（AB,BC）,?
OCABP4、已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三点，动点满足
ABCP，，则点的轨迹一定通过的（）,,，,[0,）OP,OA，,（AB，AC）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
2PQ,2PA,PB5、已知两点A（1，0），B（1，0），动点P在y轴上的射影是Q，且-
则动点P的轨迹为（）:
A、抛物线B（双曲线C（椭圆D（直线
2x,2py6（已知A、B为抛物线（p>
0）上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上
KA,KF,0的射影分别为C、D，则
（1）y轴上是否恒存在一点K，使得
（2）
CF,DF,0AD,,AO（3）存在实数使得（4）若线段AB中点P在在准线
FT,AB,0上的射影为T，有
中说法正确的个数为（）
A.1B（2C（3D（4
二、填空题
,,,,,,,a7、已知是x,y轴正方向的单位向量，设=,=,bi,j（x,3）i，yj（x，3）i，yj
,,,a且满足=2||.则点P（x,y）的轨迹方程为,,,,,,,,,.bi
22xy8、已知，椭圆的两个焦点，P（）为椭圆上一点，，,1x,yFF002110036
当<
0时，的取值范围为,,,,,,,,,.。
xPF,PF012
三、解答题
2y29（（2004年全国高考辽宁19）设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线x，,14
1交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足,（，点N的坐标为lOPOA，OB）2
11（,），当l绕点M旋转时，求:
22
（1）动点P的轨迹方程;
（2）的最小值与最大值.|NP|
22xy,,1（a,0,b,0）,10.已知双曲线C:
B是右项点，F右焦点，点A在x轴22ab
正半轴上，且满足，、、成等比数列，过F作双曲线C在第一、|OA||OB||OF|
第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P。
（1）求证:
PA,OP,PA,FP
（2）若l与双曲线C的左、右支分别相交于点D、E，求双曲线C的离心率e
的取值范围。
11.已知点H（0，―3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ
,,,,,,,,,,,3HP,PM,0PM,,MQ上，且满足，.2
）当点P在（1x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C的方程;
（2）过定点A（a，b）的直线与曲线C相交于两点S、R，求证:
抛物线S、R
两点处的切线的交点B恒在一条直线上.
附页:
例1[题设变式I.5]考题:
已知点A（，0），B（，0）动点P满足,22,2
AP,AB,2|AB|,|BP|
2
（2）已知曲线C交y轴正半轴于点Q，过点D（0，）作斜率为k的直线交曲线,13
无论k如何变化，以MN为直径的圆过点Q.1
解:
（1）设P（x，y），则有AP,（x，22,y）AB,（2,0）BP,（x，2,y）
222x，4,2,2,（x，2），y?
?
AP,AB,2,|AB|,|BP|
22得:
x，2y,4
22xy2，,1得Q（0，2）设直线C的方程为y=kx
（2）由-423
42322222代入x+2y=4得（1+2k）x,kx,,039
设M（x，y）N（x，y）QM,（x,y,2）,QN,（x,y,2）11221122
42k32x,x,,x，x,?
1212229（1，2k）3（1，）k
4242QM,QN,xx，（kx,）（kx,）又?
121233
322（1，k）42324242k3229xx（1，k）,k（x，x），,,,k,，,0=12122239391，2k3（1，2k）
?
点Q在以MN为直径的圆上.QM,QN
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