高考第二轮专题复习3函数与方程及函数的实际应用Word下载.docx
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A
2.(2011·
山东省原创卷八)已知函数f(x)=(
)x-log2x,正实数a,b,c成公差为正数的等差数列,且满足f(a)f(b)f(c)<
0.若实数x0是函数y=f(x)的一个零点,则x0与c的大小关系是( )
A.x0<
c B.x0>
c
C.x0≤cD.x0≥c
如图,在同一平面直角坐标系中分别画出函数g(x)=(
)x和h(x)=log2x的图象,由题意知0<
a<
b<
c,故满足f(a)f(b)f(c)<
0的情形有如下两种,结合图易知x0<
c.
3.(2011·
济宁一模)已知a是函数f(x)=2x-log
x的零点,若0<
x0<
a,则f(x0)的值满足( )
A.f(x0)=0B.f(x0)<
C.f(x0)>
0D.f(x0)的符号不确定
f(x)在(0,+∞)上是增函数且f(a)=0,又0<
a,所以f(x0)<
0.
B
4.(2011·
山东省高考调研卷)已知函数f(x)=ax2+bx-1(a,b∈R且a>
0)有两个零点,其中一个零点在区间(1,2)内,则a-b的取值范围为( )
A.(-1,+∞)B.(-∞,-1)
C.(-∞,1)D.(-1,1)
依题意得f
(1)f
(2)<
0⇔(a+b-1)(4a+2b-1)<
0,
即
或
(不合题意,舍去),满足不等式组的区域如图阴影部分所示(不包括边界).
令z=a-b,即b=a-z.当它经过两直线
的交点A(0,1)时,-z取得最大值,即-zmax=1,即z≥-1.又不等式组的区域不包括边界,所以z>
-1.也就是a-b>
-1,故选A.
5.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log4|x|的零点个数为( )
A.3B.4
C.5D.6
函数周期为2,画出y1=log4|x|与y2=f(x)在(0,+∞)上的大致图象,又y=f(x)-log4|x|为偶函数,可得答案选D.
D
6.设函数y=f(x)在区间(a,b)上是连续的,且f(a)·
f(b)<
0,取x0=
,若f(a)·
f(x0)<
0,则利用二分法求方程根时取有根区间为( )
A.(a,b)B.(a,x0)
C.(x0,b)D.不能确定
利用二分法求方程根时,根据求方程的近似解的一般步骤,由于f(a)·
0,则取其对应的端点(a,x0)为新的区间.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.
7.(2011·
聊城模拟
(一))若函数f(x)=ex-a-
恰有一个零点,则实数a的取值范围是________.
令f(x)=ex-a-
=0,得ex=a+
,设y1=ex,y2=a+
,
分别作出y1、y2的图象,观察图象可知a≤0时,两图象只有一个交点.
a≤0
8.(2011·
扬州市四星级高中4月联考)已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c由小到大的顺序是________.
令y1=2x,y2=log2x,y3=x3,y4=-x,
图象如图,则a<
c<
b.
b
9.(2011·
大联考)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下:
高峰时间段用电价格表
低谷时间段用电价格表
高峰月用电量
(单位:
千瓦时)
高峰电价
低谷月用电量
低谷电价
50及以下的部分
0.568
0.288
超过50至
200的部分
0.598
0.318
超过200的部分
0.668
0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时,低谷时间段用电量为100千瓦时,则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答).
①高峰时段用电量50及以下部分:
50×
0.568=28.4(元);
②高峰时段用电量50~200的部分:
150×
0.598=89.7(元);
③低谷时段用电量50及以下的部分:
0.288=14.4(元);
④低谷时段用电量50~200的部分:
0.318=15.9(元);
∴共用28.4+89.7+14.4+15.9=148.4(元).
148.4
10.已知函数f(x)=ax+x-b的零点x0∈(n,n+1)(n∈Z),其中常数a、b满足2a=3,3b=2,则n=________.
f(x)=ax+x-b的零点x0就是方程ax=-x+b的根.设y1=ax,y2=-x+b,故x0就是两函数交点的横坐标,如图,当x=-1时,y1=
=log32<
y2=1+b=1+log32,∴-1<
0,∴n=-1.
-1
三、解答题:
本大题共2小题,共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
11.(12分)已知函数f(x)=ax+
(a>
1).
(1)求证:
函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
(2)若a=3,求方程f(x)=0的正根(精确到0.01).
分析:
(1)可利用定义证明;
(2)利用二分法确定方程的根.
→
解:
(1)证明:
任取x1、x2∈(-1,+∞),且x1<
x2,又a>
1,∴ax2-ax1>
又∵x1+1>
0,x2+1>
∴
-
=
>
于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+
故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
(2)由
(1)知,当a=3时,f(x)=3x+
在(-1,+∞)上为增函数,且在(0,+∞)上单调递增,因此f(x)=0的正根至多有一个,以下用二分法求这一正根:
由于f(0)=-1<
0,f
(1)=
0,取[0,1]为初始区间,用二分法逐次计算.列表如下:
区间
中点
中点函数值
[0,1]
0.5
0.732
[0,0.5]
0.25
-0.084
[0.25,0.5]
0.375
0.322
[0.25,0.375]
0.3125
0.124
[0.25,0.3125]
0.28125
0.021
[0.25,0.28125]
0.2656
-0.032
[0.2656,0.28125]
0.27343
-0.00552
[0.27343,0.28125]
由于区间[0.27343,0.28125]的长度为0.00782<
0.01,所以这一区间的两个端点的近似值0.28就是方程的根的近似值,即原方程的正根是0.28.
点评:
(1)用二分法求函数零点的近似值时,最好是将计算过程中所得到的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等列在一个表格中,这样可以更清楚地发现零点所在区间.
(2)用二分法求函数零点的近似值x0,要求精确度为ε,即零点的近似值x0与零点的真值α的误差不超过ε,零点近似值x0的选取有以下方法:
①若区间(a,b)使|a-b|<
ε,则因零点值α∈(a,b),所以a(或b)与真值α满足|a-α|<
ε或|b-α|<
ε,所以只需取零点近似值x0=a(或b);
②若区间[an,bn]使|an-bn|<
2ε,取零点近似值x0=
,则|x0-α|<
|an-bn|<
ε.
12.(13分)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆,年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0<
x<
1),则出厂价相应提高的比例为0.7x,年销售量也相应增加.已知年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×
年销售量.
(1)若年销售量增加的比例为0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内?
(2)年销售量关于x的函数为y=3240(-x2+2x+
),则当x为何值时,本年度的年利润最大?
最大利润为多少?
(1)由题意得,上年度的利润为(13-10)×
5000=15000万元;
本年度每辆车的投入成本为10(1+x);
本年度每辆车的出厂价为13(1+0.7x);
本年度年销售量为5000(1+0.4x),因此本年度的利润为y=[13(1+0.7x)-10(1+x)]·
5000(1+0.4x)=(3-0.9x)·
5000(1+0.4x)=-1800x2+1500x+15000(0<
1),由-1800x2+1500x+15000>
15000,解得0<
,x在此范围内,本年度的年利润比上年度有所增加.
(2)本年度的利润为
f(x)=(3-0.9x)·
3240(-x2+2x+
)=3240×
(0.9x3-4.8x2+4.5x+5).
则f′(x)=3240(2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3),由f′(x)=0,解得x=
或x=3,当x∈(0,
)时,f′(x)>
0,f(x)是增函数;
当x∈(
,1)时,f′(x)<
0,f(x)是减函数.∴当x=
时,f(x)取极大值f(
)=20000万元,∵f(x)在(0,1)上只有一个极大值,∴它是最大值,∴当x=
时,本年度的年利润最大,最大利润为20000万元.