高考第二轮专题复习3函数与方程及函数的实际应用Word下载.docx
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A
2．（2011·
山东省原创卷八）已知函数f（x）＝（
）x－log2x，正实数a，b，c成公差为正数的等差数列，且满足f（a）f（b）f（c）<
0.若实数x0是函数y＝f（x）的一个零点，则x0与c的大小关系是（ ）
A．x0<
c B．x0>
c
C．x0≤cD．x0≥c
如图，在同一平面直角坐标系中分别画出函数g（x）＝（
）x和h（x）＝log2x的图象，由题意知0<
a<
b<
c，故满足f（a）f（b）f（c）<
0的情形有如下两种，结合图易知x0<
c.
3．（2011·
济宁一模）已知a是函数f（x）＝2x－log
x的零点，若0<
x0<
a，则f（x0）的值满足（ ）
A．f（x0）＝0B．f（x0）<
C．f（x0）>
0D．f（x0）的符号不确定
f（x）在（0，＋∞）上是增函数且f（a）＝0，又0<
a，所以f（x0）<
0.
B
4．（2011·
山东省高考调研卷）已知函数f（x）＝ax2＋bx－1（a，b∈R且a>
0）有两个零点，其中一个零点在区间（1,2）内，则a－b的取值范围为（ ）
A．（－1，＋∞）B．（－∞，－1）
C．（－∞，1）D．（－1,1）
依题意得f
（1）f
（2）<
0⇔（a＋b－1）（4a＋2b－1）<
0，
即
或
（不合题意，舍去），满足不等式组的区域如图阴影部分所示（不包括边界）．
令z＝a－b，即b＝a－z.当它经过两直线
的交点A（0,1）时，－z取得最大值，即－zmax＝1，即z≥－1.又不等式组的区域不包括边界，所以z>
－1.也就是a－b>
－1，故选A.
5．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且当x∈[0,1]时，f（x）＝x，则函数y＝f（x）－log4|x|的零点个数为（ ）
A．3B．4
C．5D．6
函数周期为2，画出y1＝log4|x|与y2＝f（x）在（0，＋∞）上的大致图象，又y＝f（x）－log4|x|为偶函数，可得答案选D.
D
6．设函数y＝f（x）在区间（a，b）上是连续的，且f（a）·
f（b）<
0，取x0＝
，若f（a）·
f（x0）<
0，则利用二分法求方程根时取有根区间为（ ）
A．（a，b）B．（a，x0）
C．（x0，b）D．不能确定
利用二分法求方程根时，根据求方程的近似解的一般步骤，由于f（a）·
0，则取其对应的端点（a，x0）为新的区间．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
7．（2011·
聊城模拟
（一））若函数f（x）＝ex－a－
恰有一个零点，则实数a的取值范围是________．
令f（x）＝ex－a－
＝0，得ex＝a＋
，设y1＝ex，y2＝a＋
，
分别作出y1、y2的图象，观察图象可知a≤0时，两图象只有一个交点．
a≤0
8．（2011·
扬州市四星级高中4月联考）已知函数f（x）＝2x＋x，g（x）＝log2x＋x，h（x）＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c由小到大的顺序是________．
令y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x3，y4＝－x，
图象如图，则a<
c<
b.
b
9．（2011·
大联考）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
低谷时间段用电价格表
高峰月用电量
（单位：
千瓦时）
高峰电价
低谷月用电量
低谷电价
50及以下的部分
0.568
0.288
超过50至
200的部分
0.598
0.318
超过200的部分
0.668
0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元（用数字作答）．
①高峰时段用电量50及以下部分：
50×
0.568＝28.4（元）；
②高峰时段用电量50～200的部分：
150×
0.598＝89.7（元）；
③低谷时段用电量50及以下的部分：
0.288＝14.4（元）；
④低谷时段用电量50～200的部分：
0.318＝15.9（元）；
∴共用28.4＋89.7＋14.4＋15.9＝148.4（元）．
148.4
10．已知函数f（x）＝ax＋x－b的零点x0∈（n，n＋1）（n∈Z），其中常数a、b满足2a＝3,3b＝2，则n＝________.
f（x）＝ax＋x－b的零点x0就是方程ax＝－x＋b的根．设y1＝ax，y2＝－x＋b，故x0就是两函数交点的横坐标，如图，当x＝－1时，y1＝
＝log32<
y2＝1＋b＝1＋log32，∴－1<
0，∴n＝－1.
－1
三、解答题：
本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．（12分）已知函数f（x）＝ax＋
（a>
1）．
（1）求证：
函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数；
（2）若a＝3，求方程f（x）＝0的正根（精确到0.01）．
分析：
（1）可利用定义证明；
（2）利用二分法确定方程的根．
→
解：
（1）证明：
任取x1、x2∈（－1，＋∞），且x1<
x2，又a>
1，∴ax2－ax1>
又∵x1＋1>
0，x2＋1>
∴
－
＝
>
于是f（x2）－f（x1）＝ax2－ax1＋
故函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数．
（2）由
（1）知，当a＝3时，f（x）＝3x＋
在（－1，＋∞）上为增函数，且在（0，＋∞）上单调递增，因此f（x）＝0的正根至多有一个，以下用二分法求这一正根：
由于f（0）＝－1<
0，f
（1）＝
0，取[0,1]为初始区间，用二分法逐次计算．列表如下：
区间
中点
中点函数值
[0,1]
0.5
0.732
[0,0.5]
0.25
－0.084
[0.25,0.5]
0.375
0.322
[0.25,0.375]
0.3125
0.124
[0.25,0.3125]
0.28125
0.021
[0.25,0.28125]
0.2656
－0.032
[0.2656,0.28125]
0.27343
－0.00552
[0.27343,0.28125]
由于区间[0.27343,0.28125]的长度为0.00782<
0.01，所以这一区间的两个端点的近似值0.28就是方程的根的近似值，即原方程的正根是0.28.
点评：
（1）用二分法求函数零点的近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等列在一个表格中，这样可以更清楚地发现零点所在区间．
（2）用二分法求函数零点的近似值x0，要求精确度为ε，即零点的近似值x0与零点的真值α的误差不超过ε，零点近似值x0的选取有以下方法：
①若区间（a，b）使|a－b|<
ε，则因零点值α∈（a，b），所以a（或b）与真值α满足|a－α|<
ε或|b－α|<
ε，所以只需取零点近似值x0＝a（或b）；
②若区间[an，bn]使|an－bn|<
2ε，取零点近似值x0＝
，则|x0－α|<
|an－bn|<
ε.
12．（13分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0<
x<
1），则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×
年销售量．
（1）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
（2）年销售量关于x的函数为y＝3240（－x2＋2x＋
），则当x为何值时，本年度的年利润最大？
最大利润为多少？
（1）由题意得，上年度的利润为（13－10）×
5000＝15000万元；
本年度每辆车的投入成本为10（1＋x）；
本年度每辆车的出厂价为13（1＋0.7x）；
本年度年销售量为5000（1＋0.4x），因此本年度的利润为y＝[13（1＋0.7x）－10（1＋x）]·
5000（1＋0.4x）＝（3－0.9x）·
5000（1＋0.4x）＝－1800x2＋1500x＋15000（0<
1），由－1800x2＋1500x＋15000>
15000，解得0<
，x在此范围内，本年度的年利润比上年度有所增加．
（2）本年度的利润为
f（x）＝（3－0.9x）·
3240（－x2＋2x＋
）＝3240×
（0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5）．
则f′（x）＝3240（2.7x2－9.6x＋4.5）＝972（9x－5）（x－3），由f′（x）＝0，解得x＝
或x＝3，当x∈（0，
）时，f′（x）>
0，f（x）是增函数；
当x∈（
，1）时，f′（x）<
0，f（x）是减函数．∴当x＝
时，f（x）取极大值f（
）＝20000万元，∵f（x）在（0,1）上只有一个极大值，∴它是最大值，∴当x＝
时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．
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