数学同步人教B必修2刷题首选卷知识对点练+课时综合练 19Word格式.docx

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当一条直角边放在投射面内时得到的就是直角非等腰三角形；

当直角顶点在投射面内，斜边与投射面平行，但三角形所在平面不与投射面垂直时，得到的就是一个钝角三角形；

当等腰直角三角形底边的一个端点在平面内，另一条腰与投射面不平行时，得到的投影是锐角三角形；

当等腰直角三角形所在平面与投射面垂直时，得到的投影图形就是一条线段．所以①②③④⑤都正确．故选D．

2．下列命题中正确的是（　　）

A．直线的平移只能形成平面

B．直线绕定直线旋转只能形成柱面

C．直线绕定直线旋转可以形成锥面

D．曲线的平移一定形成曲面

答案　C

解析　本题主要考查从运动的观点看面的形成和空间想象能力．把握运动的方式和运动的方向是解题的关键．A中，将直线平移时，可以形成柱面，故A错；

B中，直线绕定直线旋转可以形成锥面，也可以形成柱面，故B错，C正确；

D中，将平面内的一条曲线平移时，这个平面就可以看作是这条曲线平移所形成的平面，故D错．因此选C．

3．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是（　　）

A．a，bB．a，cC．c，bD．b，d

答案　A

解析　主视图和左视图完全相同时，牟合方盖相对的两个曲面正对前方，主视图为一个圆，而俯视图为一个正方形，且有两条实线的对角线．故选A．

4．若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（　　）

A．6cmB．6cm

C．2cmD．3cm

答案　B　

解析　水的体积V＝π×

22×

6＝24π（cm3）．设圆锥的高为h，则圆锥的底面半径为h，∴πh2·

h＝24π，解得h＝6，即水面的高度为6cm．

5．某四面体的三视图如图所示，主视图、左视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（　　）

A．B．3πC．D．π

解析　由三视图知，如图，此四面体的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，设外接球的半径为R，则2R＝，R＝．所以球的体积为V＝×

3＝．

6．如图所示是古希腊数学家阿基米德墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（　　）

A．，1B．，1C．，D．，

解析　设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R．

∵V圆柱＝πR2×

2R＝2πR3，V球＝πR3，

∴＝＝．

∵S圆柱表面积＝2πR×

2R＋2×

πR2＝6πR2，S球表面积＝4πR2，

7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的主视图的面积不可能等于（　　）

A．1B．

C．D．

解析　水平放置的正方体，当主视图为正方形时，其面积最小为1；

当主视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的主视图的面积的取值范围为[1，]．由此可知，A，B，D均有可能，而<

1，故C不可能．

8．如下图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，AD＝4，AA1＝3，分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1＝VAEA1－DFD1，V2＝VEBE1A1－FCF1D1，V3＝VB1E1B－C1F1C．若V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，则截面A1EFD1的面积为（　　）

A．2B．4C．6D．8

解析　由题意可知，V长方体＝6×

4×

3＝72，V1＝V＝×

72＝12．其中体积为V1的几何体是三棱柱AEA1－DFD1，其高为AD＝4，∴其底面积S△AEA1＝3．在Rt△AEA1中，∵AA1＝3，∴AE＝2．

∴A1E＝＝．

又∵截面A1EFD1为矩形，∴其面积S＝4．

9．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）

A．B．C．D．8

答案　B

解析　

由三视图，知该几何体的直观图是如图所示的多面体B1C1D1－BCDFE，该多面体可补全为棱长为2的正方体，其中E，F分别为AB，AD的中点，多面体AEF－A1B1D1为棱台，棱台高为2，上、下底面均为等腰直角三角形．则该几何体的体积是2×

2×

2－×

＋2＋＝8－＝，故选B．

10．用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′．已知点O′是斜边B′C′的中点，且A′O′＝1，则△ABC的边BC上的高为（　　）

A．1B．2C．D．2

解析　∵△ABC的直观图是等腰直角三角形A′B′C′，∠B′A′C′＝90°

，A′O′＝1，∴A′C′＝．根据直观图平行于y轴的长度变为原来的一半，

∴△ABC的BC边上的高为AC＝2A′C′＝2．

故选D．

11．设长方体的三条棱长分别为a，b，c，若长方体的所有棱的长度之和为24，一条体对角线长为5，体积为2，则＋＋等于（　　）

A．B．C．D．

答案　A　

解析　由题意可知a＋b＋c＝6，①

a2＋b2＋c2＝25，②

abc＝2．

由①两边平方得a2＋b2＋c2＋2（ab＋ac＋bc）＝36，把②代入此式，得ab＋ac＋bc＝．

∴＋＋＝＝＝．

12．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为（　　）

A．2B．1C．D．

解析　连接BC1，B1C，交于点O，则O为平面BCC1B1的中心，由题意知，球心为侧面BCC1B1的中心O，BC为截面圆的直径，所以∠BAC＝90°

，则△ABC的外接圆圆心N位于BC的中点．同理，△A1B1C1的外接圆圆心M位于B1C1的中点，设正方形BCC1B1的边长为x，在Rt△OMC1中，OM＝，MC1＝，OC1＝R＝1（R为球的半径），所以2＋2＝1．解得x＝，所以B1B＝BC＝．同理，在Rt△ABC中，解得AB＝AC＝1，所以侧面ABB1A1的面积为×

1＝．故选C．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．用长、宽分别是3π与π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱底面的半径为________．

答案　或

解析　设底面半径为R，

当以宽为母线，长为底面圆周长时，则2πR＝3π，R＝；

当以长为母线，宽为底面圆周长时，则2πR＝π，R＝．

14．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：

寸），若π取3，其体积为12．6（立方寸），则图中的x为________．

答案　1．6

解析　由图可得π×

x＋3×

1×

（5．4－x）＝12．6，解得x＝1．6．

15．若一个圆台的轴截面是腰长为a的等腰梯形，下底边长为2a，对角线长为a，则这个圆台的体积为________．

答案　πa3

解析　圆台的轴截面如图，由AD＝a，AB＝2a，BD＝a，可知∠ADB＝90°

．分别过D，C作DH⊥AB，CG⊥AB，所以DH＝a，所以HB＝＝＝a，所以DC＝HG＝a，所以圆台的体积为V＝·

a2＋a2＋a2·

a＝πa3．

16．把由曲线y＝|x|和y＝2围成的图形绕x轴旋转360°

，所得旋转体的体积为________．

答案　

解析　由题意，y＝|x|和y＝2围成图中阴影部分的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个共顶点的圆锥．∵V圆柱＝π×

4＝16π，2V圆锥＝2×

×

2＝，∴所求几何体的体积为16π－＝．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）把长、宽分别为4，2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．

解　设圆柱的底面半径为r，母线长为l，高为h．

当2πr＝4，l＝2时，r＝，h＝l＝2，

所以V圆柱＝πr2h＝．

当2πr＝2，l＝4时，r＝，h＝l＝4，

综上所述，这个圆柱的体积为或．

18．（本小题满分12分）如图所示是一个圆台形的纸篓（有底无盖），它的母线长为50cm，两底面直径分别为40cm和30cm．现有制作这种纸篓的塑料制品50m2，问最多可以做这种纸篓多少个？

解　根据题意可知，纸篓底面圆的半径r′＝15cm，上口的半径r＝20cm，设母线长为l，则纸篓的表面积S＝πr′2＋＝π（r′2＋r′l＋rl）＝π（152＋15×

50＋20×

50）＝1975π（cm2）．

50m2＝500000cm2，故最多可以制作这种纸篓的个数n＝≈80（个）．

19．（本小题满分12分）如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线为．设这条最短路线与CC1的交点为N，求：

（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；

（2）PC和NC的长．

解　

（1）该三棱柱的侧面展开图是宽为4，长为9的矩形，所以对角线的长为＝．

（2）将该三棱柱的侧面沿棱BB1展开，如图所示．设PC的长为x，

则MP2＝MA2＋（AC＋x）2．

因为MP＝，MA＝2，AC＝3，

所以x＝2（负值舍去），即PC的长为2．

又因为NC∥AM，所以＝，即＝，

所以NC＝．

20．（本小题满分12分）如果一个几何体的主视图与左视图都是全等的长方形，边长分别是4cm与2cm，如图所示，俯视图是一个边长为4cm的正方形．

（1）求该几何体的表面积；

（2）求该几何体的外接球的体积．

解　

（1）由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4cm，高是2cm，

因此该几何体的表面积是：

4＋4×

2＝64（cm2），即几何体的表面积是64cm2．

（2）由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d，球的半径是r，

d＝＝＝6（cm），

所以球的半径为r＝3（cm）．

因此球的体积V＝πr3＝×

27π＝36π（cm3），

所以外接球的体积是36πcm3．

21．（本小题满分12分）如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是A1A，CC1的中点，求四棱锥C1－B1EDF的体积．

解　连接EF，B1D1．

设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2．

∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是A1A，CC1的中点，∴h1＋h2＝B1D1＝a．

又S△C1EF＝C1F·

EF＝×

a＝a2，

∴VC1－B1EDF＝VB1－C1EF＋

VD－C1EF＝·

S△C1EF·

（h1＋

h2）＝×

a2×

a＝a3．

22．（本小题满分12分）在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，2AB＝3CD，M为AE的中点，设E－ABCD的体积为V，那么三棱锥M－EBC的体积为多少？

解　

设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2．

连接MD．因为M是AE的中点，所以VM－ABCD＝V．

所以VE－MBC＝V－VE－MDC．

而VE－MBC＝VB－EMC，VE－MDC＝VD－EMC，

所以＝＝．

因为B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而AB∥CD，且2AB＝3CD，所以＝．

所以VE－MBC＝VM－EBC＝V．