六年级下册数学小升初专题牛吃草问题全国通用版含答案Word格式.docx

六年级下册数学小升初专题牛吃草问题全国通用版含答案Word格式.docx

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5.原有的草÷

吃原有草的牛＝能吃多少天（或原有的草÷

能吃多少天＝吃原有草的牛）

当然，牛吃草问题的变化还比较多，因此以上＂五步法＂只能作为参考，切不可生搬硬套。

上面是从算术方法的角度，提供一种分析问题的思路。

我们应该在解题中时刻把握“牛吃草问题”的核心是：

牛吃草总量=草场原有草量+新长草量

这种关系，在实际题目中，一般会出现两种方案，对这两种方案的进行比较，是获得解题思路的捷径。

这种比较主要看两种方案“总草量”之差，这对应着两种方案的“时间差”。

具体来看这里的关系：

牛的头数×

吃的天数=草场原有草量+每天长草量×

吃的天数

由此可知，一般牛吃草问题，首先要把两个关键的量求出来：

（1）每天长草量

（2）草场原有草量

请“奥数研究生”们在下面的例题中揣摩这两个量的求解方法。

经典透析

【例1】有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽，养牛23头，9天把草吃尽。

如果养牛21头，那么几天能把草吃尽呢？

同学们可以试着用＂五步法＂来解决一下这道题。

注意要求出每天长草量和原有草量。

　　　设1头牛1天吃1份的草，

1.求两个总量，27×

6＝162　　　23×

9＝207

2.总量的差÷

　　（207－162）÷

（9－6）＝15

3.每天长草量×

　　　15×

6＝90

4.草的总量－总共长出来的草＝原有的草

　　　162－90＝72

5.原有的草÷

吃原有草的牛＝能吃多少天

　　　72÷

（21－15）＝12

所以如果养牛21头，那么12天能把草吃尽

点评：

对于比较基本的牛吃草问题，五步法还是很好用的。

【例２】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。

经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。

那么，可供11头牛吃几天？

很显然，这道题和我们上一道题是有区别的，上一题每天的草量在增加，而这道题却是草量每天减少。

那么该怎么处理这个问题呢？

上一道题我们安排了一部分牛去吃新长的草，那么这道题能不能把每天减少的草想象成是有一些牛来帮忙吃了呢？

设1头牛1天吃1份牧草，则20头牛5天吃掉20×

5=100份牧草，16头牛6天吃掉16×

6=96份牧草，说明6-5=1天牧场上的牧草减少100-96=4份，我们可以假设有4头牛来帮忙把这部分草给吃了。

牧场上的原有草量是：

100+4×

5=120份。

原来有11头牛，现在又有4头牛来帮忙吃，所以可维持120÷

（11+4）=8天。

这道题的关键在于要把每天减少的草假设成有若干头牛来帮忙吃，如果理解了这个问题，那么剩下的步骤和最基本的牛吃草问题就一样了，我们也可以用＂五步法＂来解决。

【例３】有一个水池，池底有一个打开的出水口，用5台抽水机20小时可将水抽完，用8台抽水机15小时可将水抽完。

如果仅靠出水口出水，那么多长时间能把水漏完？

这道题表面上看好象和牛吃草没有什么关系，但是仔细想想，我们可以把抽水机当作牛，把水当作草，把出水口看成是来帮忙吃草的牛。

大家可以试试用＂五步法＂来解答一下。

设1台抽水机1小时抽出1单位的水，那么5台抽水机20小时抽出5×

20=100单位的水，8台抽水机15小时抽出8×

15=120单位的水，说明池底的出水口20-15=5小时漏出120-100=20单位的水，则出水口的出水速度是每小时20÷

5=4单位，水池中原有100+4×

20=180单位的水，如果仅靠出水口出水，需要180÷

4=45小时。

牛吃草问题有一些变例，其中比较典型的就是＂抽水问题＂，我们只需要弄清楚它与牛吃草问题的联系，把里面的关系理顺，还是可以用牛吃草问题很容易的加以解决。

【例４】有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可将草吃完。

现有牛若干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问有牛多少头（草每日匀速生长）？

根据＂五步法＂，我们其实很容易完成前几步的操作。

设1头牛1天吃1份草，则牧草每天的生长量：

　份；

原有草量：

做到这里的时候出现一个问题了，本题的一个变化是牛的数量减少了，那么我们该如何处理呢？

我们能不能假设这4头牛没卖？

如果不卖，草肯定不够吃了，要保证这4头牛在最后两天有草吃，我们必须增加4×

2＝8份的草才可以。

这样就相当于所有的牛都吃了8天的草，如果能理解这一点，那么剩下的问题就好解决了。

假设牛的数量保持不变，连续吃6+2=8天，共需要牧草240＋9×

8＋4×

2=320份，因此有牛320÷

8=40头。

牛吃草问题的一个变化就是牛的数量的改变，对于牛减少了或者增加了，我们应该假设牛没有减少或增加，相应的增加或减少一部分草的总量，然后就可以按照基本的牛吃草问题来处理了。

【例５】一块草地，每天生长的速度相同。

现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。

如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？

这道题又有一个新的变化，不是只有牛了，而是有牛又有羊，表面上看起来很复杂，但是冷静的分析一下，因为题目告诉我们1头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，因此我们可以把4只羊换成1头牛，这样就只剩一种动物了。

80只羊可以换成20头牛，60只羊可以换成15头牛，然后就可以用我们的“五步法”来操作了。

设1头牛1天吃1份牧草，那么16头牛20天一共吃了16×

20=320份草，20头牛12天吃了240份草，每天长草量为（320-240）÷

（20-12）=10份草，原有的草量为320-10×

20=120份草，现在有10+15=25头牛，其中吃原有草的牛有25-10=15头，那么可以吃120÷

15=8天。

不论是有几种动物，只要他们之间互相有联系，那么都可以把它们转化成一种动物来操作。

【例６】有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷，草地上的草一样厚，而且长得一样快。

第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周。

问：

第三块草地可供50头牛吃几周？

之前我们讲的所有的牛吃草问题都是在同一块草地上，也就是说草地的面积是固定不变的。

然而这道题却有三块面积不同的草地，该怎么办呢？

虽然三块草地的面积不同，但是我们可以把它变成相同的，方法是分别转化成1公顷然后再进行计算。

设1头牛1周吃1份牧草。

24头牛6周吃掉24×

6=144份，说明每公顷草地6周提供144÷

4=36份牧草；

36头牛12周吃掉36×

12=432份，说明每公顷草地12周提供432÷

8=54份牧草。

每公顷草地12-6=6周多提供54-36=18份牧草，说明每公顷草地每周的牧草生长量是18÷

6=3份，原有草量是36-3×

6=18份。

10公顷草地原有18×

10=180份牧草，每周新增3×

10=30份，可供50头牛吃180÷

（50-30）=9周。

对于面积不同的情况，我们先把它转化成面积相同，通常的做法是将所有的面积都转化成单位面积然后进行计算。

【例７】有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。

草地上的草一样厚，而且长得一样快。

第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天。

第三块草地可供多少头牛吃80天？

这道题和上一道题其实是同一种类型的，这里提供几种解法给大家参考一下。

（方法一）设1头牛1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析

10头牛30天吃掉10×

30＝300份，说明：

1公顷牧场30天提供300÷

5＝60份草：

1公顷原有草量＋30天1公顷新生草量

28头牛45天吃掉28×

45＝1260份，说明

1公顷牧场45天提供1260÷

15＝84份草：

1公顷原有草量＋45天1公顷新生草量

每公顷牧场45－30＝15天多提供84－60＝24份草，说明1公顷牧场1天的草生长量为24÷

15＝1.6份，1公顷原有草量＝60－1.6×

30＝12。

1天24公顷新生草＝1.6×

24＝38.4；

24公顷原有草＝12×

24＝288

那么80天24公顷可提供草：

288＋38.4×

80＝3360；

所以共需要牛的头数是：

3360÷

80＝42（头）牛。

（方法二）除了按照最小公倍数统计外也可以统计为单位量“1”

原条件：

5公顷10头牛30天

15公顷28头牛45天

可转化为：

相当于把5公顷草地分割成5块每块一公顷有2头牛来吃，所以吃的时间不变

相当于把15公顷草地分割成15块每块一公顷有

头牛来吃，所以吃的时间不变

1公顷2头牛30天2×

30＝60：

1公顷

头牛45天

×

45＝84：

从上易得：

1天1公顷新生草量＝（84－60）÷

（45－30）＝1.6；

1公顷原有草量＝60－30×

1.6＝12；

12×

24＋1.6×

24×

所以共需要牛的头数：

80＝42（头）。

（方法三）现在是3块面积不同的草地，解决这个问题，只需将3块草地的面积统一起来就可以了！

[5，15，24]=120，设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，

5公顷10头牛30天

15公顷28头牛45天

120公顷240头牛30天240×

30＝7200：

120公顷原有草量＋30天120公顷新生草量

120公顷224头牛45天224×

45＝10080：

120公顷原有草量＋45天120公顷新生草量

1天120公顷新生草量＝192；

120公顷原有草量＝7200－30×

192＝1440；

则1天24公顷新生草量＝192÷

5＝38.4，24公顷原有草量＝1440÷

5＝288；

【例８】有甲，乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的三倍。

30头牛12天能吃完甲草地上的草，20头牛4天能吃完乙草地的草。

问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？

这道题又有一个变化，两块草地的面积不同，但是没有具体告诉我们面积是多少，只是告诉我们面积的倍数关系。

在前面我们讲过，如果有好几种动物，各种动物之间有倍数关系，我们可以转化为同一种动物来计算，那么这道题我们能不能把两块草地转化为一块草地来计算呢？

同学们试试就可以发现答案是肯定的，具体操作如下：

设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，根据甲的面积是乙的3倍可以将关系（将乙看成1份，则甲就是3份）进行转化。

甲：

30头牛12天30×

12＝360：

甲原有草量＋12天甲地自然增加的草量

甲转化为：

10头牛12天10×

12＝120：

乙原有草量＋12天乙地自然增加的草量

乙：

20头牛4天20×

4＝80：

乙原有草量＋4天乙地自然增加的草量

从上表中可以看出（12－4）＝8天乙地长草量为（120－80）＝40，即1天乙地长草量为40÷

8＝5；

乙地的原有草量为：

120－5×

12＝60；

则甲、乙两地1天的新生草为：

5×

（3+1）＝20，原有草量为：

60×

（3+1）＝240；

10天甲、乙两地共提供青草为：

240＋20×

10＝440，需要：

440÷

10＝44（头）牛。

面积有倍数关系和动物的食量有倍数关系本质上是相同的，我们都要把它们转化为单一的面积或动物后再进行计算。

【例９】一片草地每天长的草一样多，现有牛、羊、鹅各一只，且羊和鹅吃草的总量正好是牛吃草的总量。

如果草地放牧牛和羊，可以吃45天；

如果放牧牛和鹅，可吃60天：

如果放牧羊和鹅，可吃90天。

这片草地放牧牛、羊、鹅，可以供它们吃多少天？

这道题有三种动物，但是不知道每种动物之间的数量关系，因此转化成同一种动物比较困难，这里我们要借助三元一次方程的思想，最终的目的还是要转化为单一动物。

设1头牛1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析

牛和羊　　45天　45天牛和羊吃草量＝原有草量＋45天新长草量　

（1）

牛和鹅　　60天　60天牛和鹅吃草量＝原有草量＋60天新长草量　

（2）

鹅和羊（相当于1牛）　90天　90天牛（鹅和羊）吃草量＝原有草量＋90天新长草量　（3）

由

（1）×

2－（3）可得：

　90天羊吃草量＝原有草量　羊每天吃草量＝原有草量÷

90；

由（3）分析知道：

90天鹅吃草量＝90天新长草量，鹅每天吃草量＝每天新长草量；

将分析的结果带入

（2）得：

原有草量＝60，带入（3）得90天羊吃草量＝60羊每天吃草量＝

这样如果牛、羊和鹅一起吃，可以让鹅去吃新生草，牛和羊吃原有草可以吃：

60÷

（1＋

）＝36（天）。

拓展训练：

1.现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。

若用8台抽水机10天可以抽干；

用6台抽水机20天能抽干。

若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？

2.12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。

多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？

3.画展9点开门，但早就有人排队等候入场了。

从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。

如果开3个入场口，则9点9分就不再有人排队了，如果开5个入场口，则9点5分就没有人排队了。

那么第一个观众到达的时间是8点几分？

4.甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小时可将甲仓库内面粉搬完；

乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；

丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？

（每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉）

5.有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；

如果由4人喝，5天可喝完。

这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？

如果桶没有裂缝由4个人来喝需要几天喝完？

6.某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派15个工人砌砖墙14天可以把砖运完，如果派20个工人，9天可以把砖用完，现在派若干名工人砌了6天后，调走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，问原来有多少工人来砌墙？

7.一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；

如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；

如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽。

已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。

现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？

8.东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。

在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天？

9.120头牛28天吃完10公顷牧场上的全部牧草，210头牛63天吃完30公顷牧场上的全部牧草，如果每公顷牧场上原有的牧草相等，且每公顷每天新生长的草量相同，那么多少头牛126天可以吃完72公顷牧场上的全部牧草？

10.如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长。

牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光。

（在这2天内其他草地的草正常生长）之后他让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草地吃草，6天后又将两个草地的草吃光。

然后牧民把

的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外的牛放在④号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完。

那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？

初级点拨：

1、这是一道抽水问题，可以用最基本的牛吃草问题的方法来解决。

2、这是一道三块草地牛吃草问题，请参照例6的做法。

3、这是一道入口问题，试着把它转换成牛吃草问题来思考。

4、这道题表面上看起来不是牛吃草问题，其实它是三块草地牛吃草的一个变例。

5、这是一道经典的牛吃草的变例。

6、注意这道题当中人数发生了变化。

7、这是一个多种动物的牛吃草问题，而且还不知道各种动物之间的倍比关系。

8、这是一道两块草地上牛吃草的问题，而且直接给出了两块草地的数量。

9、这是一道三块草地上牛吃草问题。

10、这是一个结合平面图形的牛吃草问题。

深度提示：

1、可以使用五步法，注意求出原有草量与每天长草量。

2、注意把三块草地转换成1公亩，然后进行处理。

3、我们可以把人在增加想象成每分钟都在长草，把入口想象成人。

4、我们把甲、乙、丙想象成三块草地，然后参照第2题的做法就可以做出来了。

5、注意每天漏掉的酒相当于草在减少。

6、我们可以假设人数没有变，那么草的总量应该相应增加。

7、可以参照解三元一次方程来处理这道题。

8、注意2000平米与6000平米之间的关系。

9、参照第2题的解法。

10、注意观察平面图形的特征。

全解过程：

1、设1台抽水机1天的抽水量为1单位，则池塘每天的进水速度为：

（6×

20-8×

10）÷

（20-10）=4单位，池塘中原有水量：

6×

20-4×

20=40单位。

若要5天内抽干水，需要抽水机40÷

5+4=12台。

2、设1头牛1天吃1份牧草，则每公亩牧场上的牧草每天的生长量：

（21×

63÷

30-12×

28÷

（63-28）=0.3（份），每公亩牧场上的原有草量：

21×

30-0.3×

63=25.2（份），则72公亩的牧场126天可提供牧草：

（25.2+0.3×

126）×

72=4536（份），可供养4536÷

126=36头牛

3、设一个入口1分钟入场的人数为1份，3个入场口9分钟进入了27份观众，5个入场口5分钟进入了25份观众，说明4分钟来的观众人数是27-25=2份，即每分钟来0.5份。

因为9点5分时共来了25份，来25份需要25÷

0.5=50分钟，所以第一个观众到达的时间是8点15分。

4、设1个工人1小时搬1份面粉。

甲仓库中12个工人5小时搬了

份，乙仓库中28个工人3小时搬了

份，说明甲仓库的传送机5－3=2小时多输送了84－60=24份面粉，即每小时输送24÷

2=12份，仓库中共有面粉

丙仓库中120份面粉需在2小时内搬完，每小时需搬

份，因此需要工人

名。

5、一桶酒相当于原有“草”，喝酒人相当于“牛”，漏掉酒相当于草在减少，设1人1天喝酒量为“1”

6人4天6×

4＝24：

原有酒－4天自然减少的酒

4人5天4×

5＝20：

原有酒－5天自然减少的酒

从上面看出：

1天减少的酒为（24－20）÷

（5－4）＝4，可供4人喝一天。

原有酒为：

24＋4×

4＝40，由4个人来喝需要：

40÷

4＝10（天）。

6、依题意知开工前运进的砖相当于“原有草”开工后每天运进相同的砖相当于“草的生长速度”工人砌砖相当于“牛在吃草”。

所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，列表分析得

15人14天15×

14＝210：

原有砖的数量＋14天运来砖的数量

20人9天20×

9＝180：

原有砖的数量＋9天运来砖的数量

从上面的表中可以看出（14－9）＝5天运来的砖为（210－180）＝30，即1天运来的砖为30÷

5＝6

原有砖的数量为：

180－6×

9＝126；

假设6名工人不走，则能多砌6×

4=24份砖，则砖的总数为126+24+6×

（6+4）=210

因为是10天工作完，所以有210÷

10=21名工人。

7、设1匹马1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析

马和牛　　15天　15天马和牛吃草量＝原有草量＋15天新长草量　

（1）

马和羊　　20天　20天马和羊吃草量＝原有草量＋20天新长草量　

（2）

牛和羊（同马）　30天　30马（牛和羊）吃＝原有草量＋30天新长草量　（3）

　30天牛吃草量＝原有草量　牛每天吃草量＝原有草量÷

30；

30天羊吃草量＝30天新长草量，羊每天吃草量＝每天新长草量；

讲分析的结果带入

（2）得：

原有草量＝20，带入（3）30天牛吃草量＝20，得牛每天吃草量＝

这样如果马、牛和羊一起吃，可以让羊去吃新生草，马和牛吃原有草可以吃：

20÷

）＝12（天）。

8、设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析

18头牛16天18×

16＝288：

原有草量＋16天自然增加的草量

27头牛8天27×

8＝216：

原有草量＋8天自然增加的草量

从上看出：

2000平方米的牧场上16－8＝8天生长草量＝288－216＝72，即1天生长草量＝72÷

8＝9；

那么2000平方米的牧场上原有草量：

288－16×

9＝144或216－8×

9＝144。

则6000平方米的牧场1天生长草量＝9×

（6000÷

2000）＝27；

144×

2000）＝432。

6天里，西侧草场共提供草432＋27×

6＝594，可以让594÷

6＝99（头）牛吃6天。

9、设1头牛1天吃1份牧草。

120头牛28天吃掉