湘教版高中数学选修11第1章112命题的四种形式Word下载.docx

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[自主解答]　逆命题：

若sinα＝cosβ，则α＋β＝

.

否命题：

若α＋β≠

，则sinα≠cosβ.

逆否命题：

若sinα≠cosβ，则α＋β≠

（2）逆命题：

对任意非正数c，若有a≤b成立，则a≤b＋c.

对任意非正数c，若有a>

b＋c成立，则a>

b.

b成立，则a>

b＋c.

四种命题的转换方法

（1）交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．

（2）同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．

（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．

1．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．

（1）负数的平方是正数；

（2）如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面．

解：

（1）原命题改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”．

逆命题：

若一个数的平方是正数，则它是负数．

若一个数不是负数，则它的平方不是正数．

若一个数的平方不是正数，则它不是负数．

如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；

如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；

如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．

四种命题真假的判断

判断下列命题的真假，并说明理由．

（1）“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

（2）“正三角形都相似”的逆命题；

（3）“若m>

0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；

（4）“若x－

是有理数，则x是无理数”的逆否命题．

[自主解答]　

（1）原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．　真命题

（2）原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．　假命题

（3）原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．

∵方程无实根，

∴判别式Δ＝1＋4m<

0.

∴m<

－

≤0.　真命题

（4）原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－

不是有理数”．

∵x不是无理数，∴x是有理数．又

是无理数，

∴x－

是无理数，不是有理数．　真命题

若本例（3）改为判断“若m>

0，则mx2＋x－1＝0有实根”的逆否命题的真假，则结论如何？

原命题的逆否命题为“若mx2＋x－1＝0无实根，则m≤0”．因为方程mx2＋x－1＝0无实根，则m≠0，所以判别式Δ＝1＋4m<

0，则m<

，故m≤0，为真命题．

在判断一个命题的真假时，可以有两种方法：

一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；

二是不直接写出命题，而是根据命题之间的等价关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假．

2．把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．

“若p，则q”的形式：

若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题；

若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题；

若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题；

若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线，是真命题．

等价命题的应用

证明：

已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，a，b∈R，若f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b），则a＋b≥0.

[自主解答]　法一：

原命题的逆否命题为“已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，a，b∈R，若a＋b<

0，则f（a）＋f（b）<

f（－a）＋f（－b）”．

若a＋b<

0，则a<

－b，b<

－a.

又∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，

∴f（a）<

f（－b），f（b）<

f（－a），

∴f（a）＋f（b）<

f（－a）＋f（－b）．

即原命题的逆否命题为真命题．

∴原命题为真命题．

法二：

假设a＋b<

f（－a）．

这与已知条件f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）相矛盾．

因此假设不成立，故a＋b≥0.

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

3．证明：

若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.

证明：

将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>

2，则m2＋n2≠2”．

由于m＋n>

2，则m2＋n2≥

（m＋n）2>

×

22＝2，

所以m2＋n2≠2.

故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．

解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

[解]　法一：

已知a，x为实数，若a＜1，则关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集为∅.判断如下：

抛物线y＝x2＋（2a＋1）x＋a2＋2开口向上，

令x2＋（2a＋1）x＋a2＋2＝0，

则Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）＝4a－7.

因为a＜1，所以4a－7＜0，

即抛物线y＝x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集为∅.

故逆否命题为真命题．

利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．

因为关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）≥0.即4a－7≥0，解得

a≥

≥1.所以原命题为真，故其逆否命题为真．

法三：

利用集合的包含关系求解．

命题p：

关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，命题q：

a≥1，

所以p：

A＝{a|（2a＋1）2－4（a2＋2）≥0}＝

；

q：

B＝{a|a≥1}．

因为A⊆B，所以“若p，则q”为真命题．

所以原命题的逆否命题为真．

[点评]　因为互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，所以判断某个命题真假时，可以改为判断它的逆否命题的真假．当命题与不等式的解集有关时，也可以利用集合的包含关系．

1．设m∈R，命题“若m>

0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是（　　）

A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>

B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0

C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>

D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

解析：

根据逆否命题的定义，命题“若m>

0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.

答案：

D

2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是（　　）

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<

3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<

3.

A

3．命题“若a>

－3，则a>

－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（　　）

A．0　　　　　　　　B．1

C．2D．4

“若a>

－6”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题．又逆命题、否命题为假命题，所以真命题的个数为2.故选C.

C

4．命题“若a>

b，则2a>

2b－1”的否命题为________．

“a>

b”的否定是“a≤b”，“2a>

2b－1”的否定是“2a≤2b－1”．

若a≤b，则2a≤2b－1

5．有下列四个命题：

①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；

③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；

④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．

其中是真命题的是______________（填上你认为正确的命题的序号）．

④中由A∩B＝B，应该得出B⊆A，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题．

①②③

6．写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断真假．

（1）在△ABC中，若a>

b，则∠A>

∠B；

（2）若ab＝0，则a＝0；

（3）若x∈A，则x∈A∪B.

（1）逆命题：

在△ABC中，

若∠A>

∠B，则a>

b，真命题；

在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题；

在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．

若a＝0，则ab＝0，真命题；

若ab≠0，则a≠0，真命题；

若a≠0，则ab≠0，假命题．

（3）逆命题：

若x∈A∪B，则x∈A，假命题；

若x∉A，则x∉A∪B，假命题；

若x∉A∪B，则x∉A，真命题．

一、选择题

1．命题“若a>

b，则a＋1>

b”的逆否命题是（　　）

A．若a＋1≤b，则a>

b　　B．若a＋1<

b，则a>

b

C．若a＋1≤b，则a≤bD．若a＋1<

b，则a<

把条件与结论交换，再否定．

2．命题“若f（x）是奇函数，则f（－x）是奇函数”的否命题是（　　）

A．若f（x）是偶函数，则f（－x）是偶函数

B．若f（x）不是奇函数，则f（－x）不是奇函数

C．若f（－x）是奇函数，则f（x）是奇函数

D．若f（－x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数

否命题是既否定题设又否定结论．

因此否命题应为“若函数f（x）不是奇函数，则f（－x）不是奇函数”．

B

3．下列说法中错误的是（　　）

A．命题“a，b，c中至少有一个等于0”的否命题是“a，b，c中没有一个等于0”

B．命题“若x>

1，则x－1>

0”的否命题是“若x<

1，则x－1<

0”

C．命题“0，－2,0.4都是偶数”的否命题是“0，－2,0.4不都是偶数”

D．命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”

命题“若x>

0”的否命题应该是“若x≤1，则x－1≤0”．

4．命题“函数f（x）·

g（x）在定义R上，h（x）＝f（x）·

g（x），若f（x），g（x）均为奇函数，则h（x）为偶函数”的逆命题，否命题，逆否命题中正确的命题的个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

由f（x）·

g（x）均为奇函数可得h（x）＝f（x）·

g（x）为偶函数，反之则不成立，如h（x）＝x2是偶函数，但函数f（x）＝

，g（x）＝x2＋1都不是奇函数，故逆命题不正确，故其否命题也不正确，即只有逆否命题正确．

二、填空题

5．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是________________________________________________________________________

________________________________________________________________________，

逆否命题是________________________________________________________．

命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是“若A∪B≠B，则A

B”，逆否命题是“若A

B，则A∪B≠B”．

若A∪B≠B，则A

B　若A

B，则A∪B≠B

6．给定下列命题：

①“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0”有实根；

②“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题．

其中真命题的序号是________．

①Δ＝4＋4k＞0，∴是真命题．

②否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，是真命题．

①②

7．已知命题“若m－1<

x<

m＋1，则1<

2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．

由已知得，若1<

2成立，则m－1<

m＋1也成立．∴

∴1≤m≤2.

[1,2]

8．下列命题中：

①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；

②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；

③正方形的四条边相等；

④圆内接四边形对角互补；

⑤对角不互补的四边形不内接于圆；

⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．

其中互为逆命题的有________；

互为否命题的有________；

互为逆否命题的有________．

命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；

命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；

命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．

③和⑥，②和④　①和⑥，②和⑤　①和③，④和⑤

三、解答题

9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

（1）若x≠1时，则x2－3x＋2≠0；

（2）弦的垂直平分线平分弦所对的弧．

若x2－3x＋2≠0，则x≠1，是真命题；

若x＝1，则x2－3x＋2＝0，是真命题；

若x2－3x＋2＝0，则x＝1，是假命题．

若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；

若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题；

若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．

10．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<

0}，若命题“A∩B＝∅”是假命题，求实数m的取值范围．

因为A∩B＝∅是假命题，

所以A∩B≠∅.

设全集U＝{m|Δ＝（－4m）2－4（2m＋6）≥0}，

则U＝

假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2都非负，则有

即

解得m≥

又集合

在全集U中的补集是{m|m≤－1}，

所以实数m的取值范围是（－∞，－1]．