数学建模AWord格式文档下载.docx
《数学建模AWord格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模AWord格式文档下载.docx（25页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
（2）
万有引力定律
万有引力：
任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。
该引
力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。
即：
12
2
MMFG
r
其中12MM，为两物体的质量，11226.6710..GNmkg（牛顿每平方米二次方千克）
对问题一的分析
（1）嫦娥三号的运行轨道是一个椭圆，月球球心则是该椭圆的焦点之一，
若设椭圆半长轴为a，则a应该满足的条件为2a＝15+100+2R
由图可知近月点，远月点和着陆点一定在一个平面上。
根据分析可得出：
近月点，远月点和着陆点在同一个平面上，并且观察其轨迹发现，其三点在同一个圆上，并且近月点位置与远月点和球心在一条直线上，也就是相差一百八十度，而近月点与着陆点经度相同。
故由近月点可推出远月点位置。
下面计算分析
由于嫦娥三号在3000到2400米是瞬间完成的，且2400米处水平速度为0，可粗略认为3000米与2400米水平位移为0。
经查资料数据可得，嫦娥三号从15000m-3000m飞行了430km.由于此时水平速度很大，可以将这段抛物线看成水平路径。
根据着陆点示意图可知，嫦娥三号假定到达区域中心，则分析得到嫦娥三号从15000M近月点到着陆点水平距离应该是（430＋45.5）km.
月球每千米对应的度数为：
则嫦娥三号从近月点到着陆点走过的纬度是
而着陆点处纬度为
可求得近月点纬度是19.51W,67.55N
分析易知近月点经度与着陆点精度相同。
得出近月点位置符合相关资料数据。
故得到以下数据
近月点19.51W,67.55N
远月点160.49W,22.45S
近月点与远月点的速度大小及方向
近月点与远月点的速度方向，即为相应速度在x轴与y轴方向上的
将数据带入（5.1.5）计算得出
V近＝1.614KM/S
V远＝1.692KM/S
而近月点和远月点的速度方向相反，并且都垂直于近月点，远月点和球心的连线！
二．月球最优软着陆问题描述
月球软着陆方案是，首先将探月器射入一个约100
km高度的环月停泊圆轨道：
满足一定条件后，向飞行器施加一制动脉冲，使飞行器进入100
km和l5
km的椭圆轨道：
当下降到约15
km高度的近月点时，制动发动机点火，开始软着陆。
探月器质心运动方程组在许多文献中都有介绍。
忽略月球自转、月球引力非球项、地月引力摄动等影响．探月器的质心方程组为
式中，r为着陆器距月心直径；
v为着陆器在r方向上的速度；
θ为着陆器环绕月球表面的航程角：
ω是航程角的角速度；
m
为着陆器质量；
u为月球引力常数；
F为制动推力器的推力，
0<
F<
Fmax,；
Isp为制动推力器的比冲；
ψ为推力方向角，即推力方向
当地水平面的夹角，取锐角，向上为正，向下为负。
最优软着陆轨道设计的目的是寻找最优控制F^*（t）
＝f（t），ψ^*（t）=
ψ（t），使性能指标
取最小值．并且满足软着陆条件
式中，t。
为软着陆的初始时刻。
定义t。
=0，该时刻的状态参数
由椭圆轨道的近月点确定；
tf为着陆时刻，tf未知,Rm为月球
半径，Rm=1738
km。
根据Pontryagin最大值原理。
无奇异情况下，推力应为开关控制：
或者以最大推力工作，或者为零。
理论上，需分析切换点，但为了简化问题。
采用常值推力假设闻．即认为制动发动机一直以最大推力工作。
这样一方面有利于优化，另一方面可以降低发动机复杂性。
注意：
由于发动机能够产生1500——7500的可调节推动力，由此可
以产生加速度0.625——3.125，可以得到燃烧的质量的速度为0.310——2.33，则可以知道燃烧的质量是223.2——1677.6千克。
分别讨论如图六个阶段：
六个阶段为：
着陆准备轨道，主减速段，
快速调整段，
粗避障段，精避障段
，缓速下降阶段
逆推几个阶段：
缓速下降阶段：
缓速下降阶段的区间是距离月面30m到4m。
该阶段的主要任务控制
着陆器在距离月面4m处的速度为0m/s，即实现在距离月面4m处相对月面静止，之后关闭发动机，使嫦娥三号自由落体到精确有落月点。
精避障段：
精细避障段的区间是距离月面100m到30m。
要求嫦娥三号悬停在距离月面100m处，对着陆点附近区域100m范围内拍摄图像，并获得三维数字高程图。
分析三维数字高程图，避开较大的陨石坑，确定最佳着陆地点，实现在着陆点上方30m处水平方向速度为0m/s。
附图6是在距离月面100m处悬停拍摄到的数字高程图。
（3）
粗避障段：
粗避障段的范围是距离月面2.4km到100m区间，其主要是要求避开大的陨石坑，实现在设计着陆点上方100m处悬停，并初步确定落月地点。
（4）
快速调整段：
快速调整段的主要是调整探测器姿态，需要从距离月面3km到
2.4km处将水平速度减为0m/s，即使主减速发动机的推力竖直向下，之后进入粗避障阶段。
（5）
主减速段：
主减速段的区间是距离月面15km到3km。
该阶段的主要是减速，实现到距离月面3公里处嫦娥三号的速度降到57m/s。
（6）
着陆准备轨道：
着陆准备轨道的近月点是15KM，远月点是100KM。
近月点在月心坐标系的位置和软着陆轨道形态共同决定了着陆点
近月点与远月点的速度方向，即为相应速度在x轴与y轴方向上的投影
ψ为推力方向角，即推力方向与
近月点在月心坐标系的位置和软着陆轨道形态共同决定了着陆点的位置。
ISSN1000-0054
CN11-2223/N
清华大学学报（自然科学版）
JTsinghuaUniv（Sci&
Tech）,
2003年第43卷第8期
2003,Vol.43,No.8
14/36
1056-1059
登月飞行器软着陆轨道的遗传算法优化
王 1,2, 李俊峰1, 崔乃刚2, 刘 暾2
（1.清华大学工程力学系,北京100084;
2.哈尔滨工业大学航天工程与力学系,哈尔滨150001）
收稿日期:
2002-10-16
基金项目:
中国博士后科学基金资助项目（中博基（2002）17号）;
国家“八六三”高技术项目（863-2-5-3-116）;
中国航天科技创新基金资助项目
作者简介:
王（1974-）,男（汉）,北京,博士后。
通讯联系人:
李俊峰,教授,E-mail:
lijunf@tsinghua.edu.cn
摘 要:
为了完成对月球土壤的取样等科学任务,必须确保
某些有效载荷安全降落在月球表面。
该文完成了将遗传算法
应用于推力幅值恒定的登月飞行器软着陆轨道的优化研究。
通过将求解最优控制的参数化方法和浮点数编码的遗传算
法（FGA）优化方法结合,并应用于归一化的二体模型,得到
了燃料最优的软着陆轨道。
仿真结果表明,利用遗传算法进
行登月飞行器软着陆轨道优化研究无初值敏感问题,并可搜
索到全局最优的轨道。
关键词:
航天器的轨道;
轨道控制;
二体问题;
月球探测
器;
登月轨道;
软着陆;
遗传算法
中图分类号:
V412.4+1文献标识码:
A
文章编号:
1000-0054（2003）08-1056-04
Geneticalgorithmoptimizationof
lunarprobesoft-landingtrajectories
WANGJie1,LIJunfeng1,CUINaigang2,LIUDun2
（1.DepartmentofEngineeringMechanics,
TsinghuaUniversity,Beijing100084,China;
2.DepartmentofAerospaceEngineeringandMechanics,
HarbinInstituteofTechnology,Harbin150001,China）
Abstract:
Forlunarexplorationmissionssuchassoilsampling,
payloadinstrumentationmustsafelydescendtothelunarsurface.A
geneticalgorithm（GA）optimizationmethodwasusedtostudy
constant-thrustamplitudelunarprobesoft-landingtrajectories.The
parameterizationtechniquewascombinedwiththefloatencoding
geneticalgorithm（FGA）optimizationmethodtoanalyzeatwo-body
modeltoobtainminimum-fuelsoft-landingtrajectories.The
simulationresultsshowthatapplicationofthegeneticalgorithmfor
orbitalcontrolhasnoinitialvalueproblemandthatthealgorithm
convergestothegloballyoptimalsolution.
Keywords:
spacecraftorbit;
orbitalcontrol;
problemoftwo
bodies;
lunarprobe;
lunartrajectories;
softlanding;
geneticalgorithm（GA）
早期的月球软着陆方案以“月球9号”为代表,
登月飞行器沿一条击中月球的轨道飞行,在接近月
球表面时,通过制动发动机工作衰减飞行器相对于
月球的速度完成安全着陆。
此后的飞行器多采用另
一方案:
将飞行器射入一个大约100km高度的环
月停泊圆轨道;
在满足一定条件后,向飞行器施加
一反向制动脉冲,使飞行器脱离停泊轨道形成一服
从Kepler定律运动的下降椭圆轨道;
当下降到大
约15km左右高度的近月点时,发动机再次持续工
作,主要衰减飞行器的切向速度,同时克服由月球引
力引起的径向速度;
在接近月面的最终阶段,飞行
器的控制策略转为以降低最终着陆撞击、确保人/载
荷的安全为目的,直至最终软着陆完成。
文[1,2]均完成了第二种方案中从15km左右
高度轨道下降到接近月面的飞行器轨道控制方法的
研究。
其中,文[1]采用间接打靶法,文[2]采用参数
化打靶和序列二次规划的复合算法。
由于均采用了
传统的寻优算法,优化的最终结果很大程度上取决
于某些优化参量的猜测初始值的选取。
由于利用遗传算法[3,4]进行优化不需要选取初
值,因此也就不存在初值敏感的问题,同时由于其良
好的全局优化性能,遗传算法也开始逐步地应用于
轨道优化研究[5]。
本文采用浮点数编码[6]的遗传算法进行月球软
着陆轨道的研究。
1 系统模型
由于月球表面附近没有大气,所以在飞行器的
动力学模型中没有大气阻力项。
而且从15km左右
的轨道高度软着陆到非常接近月球表面的时间比较
短,一般在几百秒的范围内,所以诸如月球引力非球
项、日月引力摄动等影响因素均可忽略不计。
使用较
为简单的二体模型就可以很好地描述这一问题。
如图1所示,在惯性坐标系中,以月心为原点的
极坐标形式受控飞行器动力学方程为[7,8]:
võ
r=-
L
2+
v
H
+asinB,
H=-
vrvH
+acosB,
rõ
=vr,
H õ
=
vH
.
（1）
式中:
L是月球引力常数;
r、H、vr和vH是飞行器
月心距、极角、法向速度和横向速度;
a是推力加速
度;
B是推力方向角（操纵角）,即推力方向与当地
水平线的夹角。
其中,推力加速度a（t）=
T
m0-m·
t
。
T是发动机推力,其幅值恒定,且有Tmin≤T≤Tmax;
Tmin和Tmax分别是可供选择的推力幅值允许的上下
限。
m0是飞行器在初始时刻的质量。
m
·
是燃料消
耗率。
图1 极坐标形式二体问题示意图
飞行器的初始条件为:
vr0=0,
vH0=
r0
+$vK,
r0=aL+h.
（2）
其中:
初始切向速度vH0并非当地的环绕速度,而是
在Kepler轨道运动的飞行器从位于较高停泊轨道
的远月点运动到近月点的速度,这一速度大于当地
环绕速度,$vK就是这两个速度的差;
由于初始时
刻飞行器在近月点,所以初始径向速度vr0=0;
初
始轨道半径r0为Kepler轨道近月点,aL为月球半
径,h为轨道高度。
终端约束条件为:
vrf=0,
vHf=0,
rf=aL.
（3）
其物理意义是飞行器降落到月球表面,速度为0。
对于推力幅值恒定飞行器,性能指标可以表达
为燃料消耗达到极小,即
J
~=∫t
f
mõ
dt=∫t
Ispg
dt=
tf→min.（4）
Isp为发动机比冲;
g为重力加速度;
tf为飞行
器软着陆完成时刻。
2 归一化
在轨道优化过程中,归一化处理是一种较为普
遍采用的方法[9]。
由于状态变量的量级相差较大,在
轨道积分的过程中会导致有效位数的损失。
归一化
处理可以克服这一缺点,提高计算精度。
另外,由于
对轨道的优化也要求优化变量尽可能地保持在相同
的量级,故作以下处理,令:
r-
=r
rref
;
v-=v
vref
vref=L
rref
-=
tref
tref=
=rref
m-=m
mref
a-=T
-
m-
T-=T
Tref
Tref=
mrefv
ref
（5）
则动力学方程可改写成以下形式:
v-õ
1
r-2+
v-2
r-+a-sinB,
H=-
v-rv-H
r-+a-cosB,
r-õ
=v-r,
H-õ
v-H
r-
（6）
飞行器的初始条件和终端约束条件可改写为:
r-0=
rref
v-r0=0,
v-H0=
vH0
r-f=
rf
v-rf=0,
v-Hf=0.
（7）
推力幅值的约束改写为
T-
min≤T
-≤T
max.（8）
性能指标改写为
王 ,等:
登月飞行器软着陆轨道的遗传算法优化1057
~=
t-f
I
sp
→min.（9）
3 数值算法
对上述问题,采用与文[2]相同的参数化方法进
行求解[10]。
作如下假设,推力方向角B可以表示成
一个多项式的形式,即
B=63
i=0
ait
i.（10）
上节中所描述的问题可由一个有约束的优化问
题描述,所需优化的参量包括式（6）描述的飞行器4
个状态变量在初始时刻和末端时刻的值、1个飞行
时间变量、1个推力幅值变量和式（10）中用于描述
飞行器推力方向角的4个参量ai（i=0,⋯,3）,共计
14个参量。
这
升级会员 