最新25平面向量应用举例教学案汇总Word格式文档下载.docx
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应用
2.教师的教学准备：
课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：
1课时
八、教学过程
（一）预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标
教师首先提问：
（1）若O为
重心,则
+
=
（2）水渠横断面是四边形
且
|=
|,则这个四边形
为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?
（3）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？
教师：
本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；
掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
（设计意图：
步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。
）
（三）合作探究、精讲点拨。
探究一：
（１）向量运算与几何中的结论＂若
，则
，且
所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？
（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．
平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来：
例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：
平行四边行
中，设
＝
（平移），
，
（长度）．向量
的夹角为
.因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题。
通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果＂翻译＂成几何关系．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用
例1．证明：
平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
已知：
平行四边形ABCD．
求证：
«
SkipRecordIf...»
．
分析：
用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意到«
，«
，我们计算«
和«
证明：
不妨设«
a，«
b，则
a+b，«
a-b，«
|a|2，«
|b|2．
得«
（a+b）·
（a+b）
=a·
a+a·
b+b·
a+b·
b=|a|2+2a·
b+|b|2．①
同理 «
|a|2-2a·
b+|b|2．②
①+②得«
2（|a|2+|b|2）=2（«
）．
所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
师：
你能用几何方法解决这个问题吗？
让学生体会几何方法与向量方法的区别与难易情况。
由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.
用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤，
⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
⑶把运算结果“翻译”成几何关系．
变式训练：
中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设«
（1）证明A、O、E三点共线；
（2）用«
表示向量«
。
例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
由于R、T是对角线AC上两点，所以要判断AR、RT、TC之间的关系，只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可．
解：
设«
b，则«
a+b．
由 «
与«
共线，因此。
存在实数m，使得«
=m（a+b）．
又 由«
共线
因此 存在实数n，使得«
=n«
=n（«
b-a）．
由«
=«
n«
，得m（a+b）=a+n（«
整理得 «
a＋«
b＝0．
由于向量a、b不共线，所以有 «
，解得«
所以 «
同理 «
于是 «
所以 AR＝RT＝TC．
说明：
本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法．
探究二：
（1）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.
（2）在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.这些问题是为什么？
向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．
例3．在日常生活中，你是否有这样的经验：
两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；
在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？
上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F、G、«
三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力）,就得到了问题的数学解释．
不妨设|F1|=|F2|，由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到
|F1|=«
通过上面的式子我们发现，当«
逐渐变大时，«
逐渐变大，«
的值由大逐渐变小，因此，|F1|有小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．
请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：
⑴«
为何值时，|F1|最小，最小值是多少？
⑵|F1|能等于|G|吗？
为什么？
例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度«
m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少（精确到0.1min）？
如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸．（用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响）
（km/h），
所以，«
（min）．
答：
行驶航程最短时，所用的时间是3.1min．
本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释，即“分析”中给出的穿必须垂直于河岸行驶，这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸，分析清楚这种关系侯，本例就容易解决了。
两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为«
，
（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移s;
（2）计算s在«
方向上的投影。
九、板书设计
§
2.5平面向量应用举例
例⒈ 用向量法解平面几何例2变式训练
问题的“三步曲”
例3.例4
变式训练
十、教学反思
本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。
指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力.
十一、学案设计（见下页）
2.5平面向量应用举例
课前预习学案
一、预习目标
预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。
二、预习内容
阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。
另外，在思考一下几个问题：
1.例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？
2.利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？
3．例3中，⑴«
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习内容
1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析
几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.
2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.
二、学习过程
（２）举出几个具有线性运算的几何实例．
试用几何方法解决这个问题
利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？
（1）建立平面几何与向量的联系，
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的
中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.这些力的问题是怎么回事？
两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为
（2）计算s在«
三、反思总结
结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题
代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。
向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。
有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。
本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和物理问题；
掌握向量法和坐标法，以及用向量解决实际问题的步骤。
四、当堂检测
1.已知«
，求边长c。
2.在平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长。
3.在平面上的三个力«
作用于一点且处于平衡状态，«
的夹角为«
，求：
（1）«
的大小；
（2）«
夹角的大小。
课后练习与提高
一、选择题
1.给出下面四个结论：
1若线段AC=AB+BC，则向量«
；
2若向量«
，则线段AC=AB+BC；
3若向量«
共线，则线段AC=AB+BC;
4若向量«
反向共线，则«
.
其中正确的结论有（）
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.河水的流速为2«
，一艘小船想以垂直于河岸方向10«
的速度驶向对岸，则小
船的静止速度大小为（）
A.10«
B.«
C.«
D.12«
3.在«
中，若«
=0，则«
为（）
A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定
二、填空题
4.已知«
两边的向量«
，则BC边上的中线向量«
用«
、«
表示为
5.已知«
，则«
两两夹角是
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