天津理工大学离散数学魏雪丽版检测题答案Word格式.docx
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（（P
Q）R）
分
（（P
P1
Q）R）P1
（P
（R
R））
R））1
（PQ
R）1
-1-
（PQR）（P
QR）（PQ
QR）（PQR）
m2
m4
m5m6
m7（
这是主析取范式））
M0
M1
这是主合取范式）
M3（
3．判断命题公式（P
R）与
R）是否等价。
解：
A（PQ）（P
（PQ）（PR）
BP（QR）
P（QR）
等价
四．证明题
（共32分）
１．（10分）用CP规则证明P（
R）,Q
（R
S）,PQ
S；
1.
6.
S）
T（4,5）I（2分）
2.
（Q
7.
T（3,4）I（2分）
3.
T（1,2）I
（2
分）
8.
S
T（6,7）I（2分）
4.
P（附加前提）
9.
CP（2分）
5.
２．（10分）用归谬法证明
AB,（CB）,CS．A
证:
1
P（附加前提）（1分）2
T1,2I
（2分）
T3,4I
T6I
T5,7I（2分）
由8得出了矛盾，根据归谬法说明原推理正确（
1分）
3．（12分）公安人员审理某珠宝商店的钻石项链的失窃案，已知侦察结果如下：
（1）营业员A或B盗窃了钻石项链
（2）若B作案，则作案时间不在营业时间
-2-
（3）若A提供的证词正确，则货柜未上锁
（4）若A提供的证词不正确，则作案发生在营业时间
（5）货柜上了锁
试问：
作案者是谁？
要求写出推理过程。
令A表示“营业员A盗窃了钻石项链”；
B表示“营业员B盗窃了钻石项链”；
P表示“作案时间在营业时间”；
Q表示“A提供的证词正确”；
R表示“货柜上
了锁”。
则侦察结果如下：
AB，B
P，Q
R，Q
P，R．由此可推出作案者是A．（4分）
推理过程如下：
（1）
（6）
PP
（2）
（7）
T（5），（6）
I（2
（3）
T
（1），
（2）
I（2分）（8）
AB
（4）
（9）
T（7），（8）
（5）
T（3），（4）I
天津理工大学《离散数学》第二章检测题答案
一、填空题（每空3分，共30分）
1．（x）（G（x）
F（x））
（
x）（F（x）
G（x））
或（x）（G（x）
F（x））（y）（F（y）
G（y））
2．（
x）（
z）（w）[（P（x）
R（x,w））
（Q（z,y）
R（x,w））]
3．P（a）
P（b）
P（c）
（Q（a）Q（b）
Q（c））
4．（
P（a）
P（c））
（P（a）
5．P（x）,（x）（
y）P（x,y）
x,y；
y
）
7．
（P（x）
yR（x,y））
8．
F（x）
G（x））
2分，共
20分）
-3-
三、
简答题（每小题
6分，共12
1．求謂词公式（
x）（P（x）
Q（x,y））
（（y）P（y）（z）Q（y,z））的前束析取范式．
x）（P（x）
（（
y）P（y）
z）Q（y,z））
（x）（
P（x）
y）P（y）
（z）Q（y,z））
x（P（x）
u）P（u）
（x）（u）（z）[（P（x）
Q（x,y））
（P（u）Q（y,z））]
2．证明：
x（P（x）
Q（x））
xP（x）
xQ（x）
证：
左式
x（P（x）
Q（x））
P（x）Q（x））
x
x（P（x））
xQ（x）
xP（x）
xQ（x））
四．证明题（共38分）
1．（12分）用谓词演算的推理规则证明:
Q（x）），x（Q（x）R（x）
S（x）），P（a）
R（a）S（a）
（1）x（P（x）
Q（x））
（2）P（a）
Q（a）
US
（1）
（3）P（a）
R（a）
（4）Q（a）
T
（2）（3）
I
（5）x（Q（x）
R（x）
S（x））
（6）Q（a）
R（a）
S（a）
US（5）
（7）R（a）
T（3）
（8）Q（a）
T（4）（7）
（9）S（a）
T（6）（8）
2．（10分）指出下面推理证明过程中的错误，并给出正确的证明．
用谓词演算的推理规则证明：
-4-
x（Q（x）
R（x））
Z（x））
x（R（x）Z（x））
：
x（Q（x）
R（x））
Z（a）
T（4）I
Q（a）
T
（2）,（5）I
x（Q（x）Z（x））
（8）
R（a）Z（a）
T（6）,（7）I
Q（a）Z（a）
ES（3）
x（R（x）Z（x））EG（8）
Q（a）
T（4）
该证明的错误在于:
（1）、
（2）与（3）、（4）的顺序颠倒了，应该先指定存在后指定全称。
（2分）正确的证明是：
（4分）
x（Q（x）Z（x））
T
（2）I
（1分）
Q（a）Z（a）
ES
（1）（2
T（4）,（5）I
x（Q（x）
T（6）,（7）I（1
US（3）（2
x（R（x）Z（x））EG（8）
T
（2）
3．（16分）符号化下列命题并推证其结论．
任何人如果他喜欢音乐,他就不喜欢体育．每个人或者喜欢体育，或者喜欢美术．有的人不喜欢美术．因而有的人不喜欢音乐．（设M（x）：
x喜欢音乐，
S（x）：
x喜欢体育，Ａ（x）：
ｘ喜欢美术．）
该推理符号化为：
（x（M（x）S（x））x（S（x）A（x））xA（x））（x或Mx
前提：
x（M（x）S（x））,x（S（x）A（x））,xA（x）
结论：
xM（x）（4分）
（1）xA（x）P
（2）A（a）ES
（1）（2分）
（3）x（S（x）A（x））P（4）S（a）A（a）US（3）（2分）
（5）S（a）T
（2）（4）I（2分）（6）x（M（x）S（x））P
-5-
（7）M（a）
S（a）US（6）（2
分）（8）S（a）
M（a）T（7）E（1
（9）M（a）
T（5）（8）I（2分）（10）xM（x）
EG（9）（1分）
天津理工大学《离散数学》第三、四章检测题答案
一、填空题（每空
40分）
1．n
2n
２．{
{
{}},
{
{
}},{
}}
3．
{{a,{b,c}}}}
5．R
R1；
Ri
6．IA，
4．反对称，传递。
或单位矩阵
i
7．4,6
2,3
无
12
8．f1
0,
},1},
f2
1
},0
}。
9．单射，满射；
既是单射又是满射；
IB；
IA
（2）
三、简答题（共30分）
1．（6分）设A={1,2,3,5,6,10,15,30}，“／”为集合A上的整除关系。
〈A，／〉是否为偏
序集?
若是，画出其哈斯图；
〈A，／〉是偏序集。
其哈斯图为：
2．（12分）对下图所给的偏序集A,，求下表所列集合的上（下）界，上（下）确界，并
将结果填入表中。
子集上界下界上确界下确界
-6-
{a,b,c}
a
d
a,c
{c,d,e}
3．（6分）设A={1,2,3,4,5,6}
，集合A上的关系
R={〈1,3〉,〈1,5〉,〈2,5〉,〈4,4〉,〈4,5〉,〈5,4〉,〈6,3〉,〈6,6〉}。
（1）画出R的关系图，并求它的关系矩阵；
（2）求r（R）,S（R）及t（R）。
（1）R的关系图为
R的关系矩阵为
MR
（2）r（R）R{1,1,2,2,3,3,
5,5}，（1分）
S（R）R{3,1,5,1,5,2,（3,16分}）
t（R）R{1,4,
2,4
5,5}
4．设Z是整数集，R是Z上的模
3同余关系，即R
{x,yx,yZ,xy（mod3）}，试
根据等价关系R决定Z的一个划分
答案：
由R决定的Z的划分为：
{
0R,1R,2R}，
其中：
0R
9,
6,
3,0,3,6,9,}
1R
8,5,
2,1,4,7,
}
2R
7,
4,
1,2,5,8,
-7-
四．证明题（共10分）
１．设a,bR,a
b,定义f:
[a,b]
[0,1]为
f（x）
，证明：
f是双射，并求出
b
其逆映射。
1）先证明f是入射（2分）
对任意的x1,x2
a,b,若f（x1）
f（x2）,则有x1
x2
a，从而有x1
x2，
故f是入射。
2）再证明f是满射（2分）
对任意的y0,1,
都存在x（b
a）yaa,b,使得f（x）
y,从而f是满射。
综合
（1）、
（2）知f是双射。
为
f
axa
，对任意
x0,1
（1
f:
[0,1][a,b]
（）
天津理工大学《离散数学》第五章检测题答案
一、填空题（每空2分，共30分）
1.b1a1
2．a
3．,S,S,
4．a；
5．S关于
运算不封闭
6．2，a1
4a
7循环群，生成元
12
111
212
9．B关于封闭
二、单项选择题（每小题2分，共20分）
12345678910得分
BCAABDDCBD
1．设是实数集R上的二元运算，其定义如下：
abab2ab
（1）求23，3（-5）和71/2。
-8-
（2）R,是半群吗？
可交换吗？
（3）求R中关于的单位元。
（4）R中哪些元素有逆元素，其逆元素是什么？
（1）17，-32，14.5。
2）R,是半群，可交换。
（3）0。
（4）当aR,a
1/2
时，a有逆元素，a1
a/（12a）。
2．设A{a,b,c,d}，A,
是交换群，a是A,
的单位元。
的运算表如下：
x1
x4
x3
x5
x6
求x1,x2,x3,x4,x5,x6，并说明道理。
x1d,x2c,x3b,x4d,x5c,x6b。
因为有限群的运算表中的每行、每列都
是群中元素的一个置换。
3．设集合G{1,3,4,5,9}，是定义在G上的模11乘法（即任意a,b∈G，有
a*b=（a×
b）（mod11），×
是普通乘法），问G,是循环群吗？
若是，试找出它的生
成元。
答：
G,的运算表如下表所示。
从运算表可知，
在G上封闭、有幺元
1，且1
35,331,434,533,932，再
由是可结合的得
G,是循环群，3，4，5和9均为其生成元。
-9-
四．证明题（共20分）
１．（4分）设G,是独异点，e为其幺元，且对aG，有aae，证明
G,是一个交换群。
证明：
对aG，由于aae，则a1a，即G中的每一个元素a都有逆元
素,故G,是一个群。
又对a,bG，有
aba1b1（ba）1ba，
所以G,是一个Abel群。
２．（6分）设G,是一个群，aG，f:
GG，xG，有
f（x）axa1
试证明f是G,一个自同构．
首先证明f是入射。
（3分）
对x1,x2G,若f（x1）f（x2）,则有ax1a1ax2a1,该式两边同时左乘a1及右乘a,得x1x2,故f为入射f.
其次证明f是满射。
对yG,都存在xa1yaG,使得yf（x）,因此f是满射.
综合以上两点，知f是双射。
最后,对x1,x2G,都有f（x1x2）ax1x2a1（ax1a1）（ax2a1）
f（x1）f（x2）,从而f是G到G的自同构.
天津理工大学《离散数学》第六章检测题答案
一、填空题（每空2分，共40分）
.
上确界和下确界，
，b
2．至少有一个补元素，不一定
3．0，1；
1，0
-10-
4．aa1,a
05．a
b；
a
An
，A
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