专题05 在容器里加物体后有液体溢出解析版Word格式.docx

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10-2米2。

现将两完全相同物块分别放入容器甲中和叠在圆柱体乙的上方，放置前后容器甲、圆柱体乙对水平地面的压强大小

p甲、p乙如下表所示。

求：

⑴容器甲中原来水的深度。

⑵圆柱体乙的质量。

⑶请根据相关信息判断物块放入甲容器时，水是否溢出，并说明理由。

【答案】

（1）0.1米；

（2）0.5千克；

③因为ΔF甲=G物，所以没有溢出。

【解析】

（1）h水=p水/（ρ水g）=p甲/（ρ水g）

=980帕/（1000千克/米3×

9.8牛/千克）=0.1米

（2）G乙=F乙=p乙S乙=980帕×

0.5×

10-2米2=4.9牛

m乙=G乙/g=4.9牛/（9.8牛/千克）=0.5千克

（3）物块放入圆柱体乙时，可求圆柱体乙对地面压力的增加量

因为Δp乙=p乙后－p乙前=1960帕－980帕=980帕

所以ΔF乙=Δp乙S乙=980帕×

即物体的重力G物=ΔF乙=4.9牛

物块放入容器甲中时，甲容器对地面压力的增加量

ΔF甲=Δp甲S甲=（1470帕－980帕）×

因为ΔF甲=G物

所以没有溢出。

【例题3】如图3所示，圆柱体甲的质量为3.6千克，高为0.2米，密度为1.8×

103千克/米3。

①求甲的体积。

②求甲竖直放置时对水平桌面的压强。

③现有一薄壁圆柱形容器乙，质量为0.8千克。

在容器乙中倒入某种液体，将甲竖直放入其中，并分别测出甲放入前后容器对水平桌面的压强p容、液体对容器底部的压强p液，如下表所示。

（a）求容器的底面积。

（b）求液体密度的最小值。

【答案】①2×

10-3米3；

②3528帕；

③（a）S容＝2×

10-2米2；

（b）0.8×

①根据密度知识V甲＝m甲/ρ甲＝3.6千克/1.8×

103千克/米3＝2×

②根据压强定义p＝F/S＝ρgh＝1.8×

0.2米＝3528帕

③（a）注意求容器底面积用到的压强是放入物体前的两组数据：

p容＝1960帕p液＝1568帕。

因为液体的重力等于液体对容器底部的压力，可表示为G液＝F液＝p液S容

容器对水平面的压强为p容前＝F容/S容＝（G容+G水）/S容＝（G容+p水S容）/S容

代入数据1960帕＝（0.8千克×

9.8牛/千克+1568帕×

S容）/S容

可得S容＝2×

（b）因为放入物体甲前后∆p液＝0，即容器内的液体原来就是满的，放入物体甲后一定有液体溢出，容器对水平面增大的压力为甲的重力与溢出液体的重力之差：

∆F＝G甲－G溢

而G溢＝ρ液gV溢容器对水平面增大的压强：

∆p′＝∆F/S容＝（G甲－G溢）/S容＝（m甲g－ρ液gV溢）/S容

可见当V溢最大等于甲的体积时，液体的密度ρ液最小。

所以液体密度的最小值为

ρ液小＝（m甲g－∆p′S容）/gV溢大

＝（m甲g－∆p′S容）/gV甲

＝0.8×

103千克/米3

【例题4】如图4所示，薄壁柱形容器A与实心正方体B放置在水平地面上。

容器A中装有水，底面积为1.5×

10-2米2，实心正方体B的边长为0.1米。

现将实心柱体B浸没在容器A中，分别测出正方体B放入前后水对容器底部的压强p水、容器对水平地面的压强

p容，如下表所示。

①薄壁柱形容器A的质量mA。

②放入正方体后，容器中水的深度的变化量Δh水。

③放入正方体后，通过计算说明判断水是否溢出。

④正方体B的质量mB。

【答案】①0.95千克；

②0.05米；

③有水溢出；

④1.75千克。

此类题提供的数据比较多，关键是分清解决某一问题用到的是哪组数据。

另外能否判断容器里的液体是否溢出也是正确解题的关键因素。

①物体放入前，先利用水的压强980帕计算出水对容器底部的压力，即水的重力：

G水=F水S=p水S＝980帕×

1.5×

10-2米2＝14.7牛

再根据容器对地面的压强1470帕计算出容器对地面的压力：

FA=pAS＝1470帕×

10-2米2＝22.05牛

因为FA=G容+G水所以GA=FA-G水=22.05牛-14.7牛=9.35牛

mA=0.95千克

②利用物体放入前后水的压强之差可求水深度的变化量Δh水（即水升高的高度）：

△P水=ρg△h水

△h水=△p水/（ρ水g）=490帕/（103千克/米3×

9.8牛/千克）=0.05米

③利用水升高的高度Δh水可计算出水升高的体积：

ΔV水＝1.5×

10-2米2×

0.05米＝0.75×

物体的体积VB为10-3米3，大于水升高的体积，所以B物体浸没在水中时，有水溢出。

V溢=10-3米3－1.5×

0.05米=2.5×

10-4米3

m溢＝ρ水V溢＝1×

2.5×

10-4米3＝0.25千克

Δp容=ΔF/S=mg-m溢g/S

980帕×

10-2米2=（m-0.25千克）9.8牛/千克

m=1.75千克

三、练习题

1．水平地面上有一个质量为1千克、底面积为1×

10-2米2的薄壁圆柱形容器，容器内盛有质量为5千克的水。

①求水的体积V水。

②求容器对地面的压强p。

③现将一体积为1×

10-3米3的物块浸没在水中，求水对容器底部压强增加量的范围。

【答案】①5×

②5880帕；

③0----980帕。

①V水=m水/ρ水=5千克/1.0×

103千克/米3=5×

10-3米3

②p=F/S=G/S=mg/S=（6千克×

9.8牛/千克）/10-2米2=5880帕

③当物块浸没后水未溢出，水对容器底部压强的增加量最大

Δpmax=ρgΔhmax=ρgV物/S

=（1.0×

103千克／米3×

10-3米3）/1×

=980帕

当原来容器里的水已满时，水对容器底部压强的增加量最小

Δpmin=0

所以水对容器底部压强增加量的范围：

0----980帕。

2．薄壁圆柱形容器置于水平面上，容器重为0.2牛，底面积为2×

10-2米2，其内盛有1千克的水。

①求水的体积V。

②求容器对水平面的压强p。

③现将一体积为1×

10-4米3的实心均匀小球浸没在该容器的水中，放入前后水对容器底部压强变化量∆p水及容器对水平面的压强变化量∆p地如表所示，求小球的密度ρ。

【答案】①1×

②500帕；

③5×

①V＝m/ρ＝1千克/1×

103千克/米3＝1×

②F＝G总＝mg＋G容＝1千克×

9.8牛/千克＋0.2牛＝10牛

　p＝F/S＝10牛/2×

10-2米2＝500帕

③∵小球浸没且△p水＝0

∴溢出水的体积等于球的体积

△p地＝△F地/S

△p地S＝G球－G溢水

△p地S＝ρV球g－ρ水V溢g

196帕×

2×

10-2米2＝（ρ－1×

103千克/米3）×

10-4米3

小球的密度ρ＝5×

3．一个底面积为2×

10-2米2的薄壁圆柱形容器放在水平桌面中央，容器高为0.12米，内盛有0.1米深的水，如图3（a）所示。

另有质量为2千克，体积为1×

10-3米3的实心正方体A，如图3（b）所示。

（1）水对容器底部的压强。

（2）实心正方体A的密度。

（3）将实心正方体A浸没在图3（a）的水中后，容器对地面压强的变化量。

（1）980帕；

（2）2×

103千克/米3；

（3）686帕。

（1）p＝ρgh

＝1.0×

0.1米＝980帕

（2）ρA＝mA/VA

＝2千克/（10-3米3）＝2×

103千克/米3

（3）△h=V排／S=VA／S=1×

10-3米3／2×

10-2米2=0.05米

∵容器的高度为0.12米，已装0.1米深的水，水溢出。

∴m溢=ρV溢

=1.0×

（0.1米＋0.05米－0.12米）×

=0.6千克

△F=GA－G溢=mAg－m溢g

=（2－0.6）千克×

9.8牛/千克

=13.72牛

∴△p=△F／S

=13.72牛／2×

=686帕

4．如图4所示，体积为1×

10-3米3、密度为5×

103千克/米3的均匀实心正方体甲和盛有水的轻质柱形容器乙放在水平桌面上，乙容器的底面积为2×

①求甲的质量m甲；

②将甲物体浸没在乙容器的水中，测得甲物体放入前后水对容器底部的压强如表所示：

（a）求放入甲物体前乙容器中水的深度h水；

（b）请根据表中的信息，通过计算判断将甲物体放入容器时是否有水溢出？

若无水溢出请说明理由；

若有水溢出请求出溢出水的质量m溢水。

【答案】①5千克；

②（a）0.2米；

（b）有水溢出，0.6千克。

①m甲=ρ甲V甲=5×

10-3米3=5千克

②（a）h水=p水/（ρ水g）=1960帕/（1000千克/米3×

9.8牛/千克）=0.2米

（b）有水溢出。

h'

水=p'

水/（ρ水g）=2156帕/（1000千克/米3×

9.8牛/千克）=0.22米

V溢水=V甲-（h'

水-h水）S乙

10-3米3-（0.22米-0.2米）×

=6×

m溢水=ρ水V溢水

6×

=0.6千克

5．如图5所示，圆柱体甲和轻质薄壁圆柱形容器乙置于水平地面。

甲的质量为4千克，乙容器的底面积为2×

10-2米2，内有0.2米深的水。

求甲对地面的压力F甲。

求水对乙容器底部的压强p水。

将甲浸没在乙容器的水中，容器对桌面的压强p乙为2940帕，通过计算说明容器中的水有无溢出。

【答案】①39.2牛；

②1960帕；

③有水溢出。

F甲＝G甲＝m甲g＝4千克×

9.8牛/千克＝39.2牛

p水＝ρ水gh

0.2米＝1960帕

③若水没有溢出，则容器对桌面的压强p乙

p乙＝F/S＝G总/S乙＝（G水+G甲）/S乙

＝（m水g+m甲g）/S乙

＝ρ水gh+m甲g/S乙

0.2米+4牛×

9.8牛/千克/（2×

10-2米2）

＝3920帕

而p乙>

2940帕所以有水溢出。

6．将底面积为2×

10-2米2、盛有深度为0.3米水的薄壁轻质圆柱形容器放置在水平地面上。

①水的质量m水。

②水对容器底部的压强p水。

10-3米3实心均匀小球直接放入该容器后，小球浸没并静止在容器底，分别测得小球放入前后容器对水平地面的压强变化量Δp容及水对容器底部的压强变化量

Δp水，如表所示，计算小球的密度。

（1）6千克；

（2）2940帕；

（3）3×

103千克/米3

（1）m水＝ρ水V水＝1×

10-2米2×

0.3米＝6千克

（2）p水＝ρ水gh水＝1×

0.3米＝2.94×

103帕

（3）由于水对容器底部的压强变化量Δp水＝0，原来容器里的水已满，

所以小球浸没后，容器中的水会溢出。

Δp容＝ΔF/S容＝（G球－G溢）/S容＝（ρ球Vg－ρ水Vg）/S容

ρ球＝Δp容S容/Vg+ρ水

＝980帕×

10-2米2/1×

9.8牛/千克+1×

ρ球＝3×

7．如图10所示，将底面积为1×

10-2米2盛有深度为0.3米水的薄壁轻质圆柱形容器放置在水平桌面上。

水的质量m水。

容器对水平桌面的压强p容。

现将甲、乙两个实心均匀光滑小球分别放入该容器中，测得两小球放入容器前后水对容器底部的压强，已知甲、乙两小球的质量以及它们的密度，数据如下表所示，求两小球放入容器前后容器对水平桌面的压强变化量Δp甲和Δp乙之差。

（1）3千克；

（3）0.

（1）m水＝ρ水V水＝1.0×

3×

10-3米3＝3千克

（2）p容＝F容/s容＝G水/s容＝m水g/s容＝（3千克×

9.8牛/千克）/1×

10-2米2＝2940帕

（3）由表格中数据可知，两小球放入容器前后水对容器底部的压强差392帕和490帕，水面升高分别为0.04米和0.05米，计算两小球的体积可确定甲球放入后水没有溢出，乙球放入后水溢出体积是乙球的一半体积。

Δp甲=m甲g/s容=980帕

Δp乙=（m乙-m溢）g/s容=980帕

∆p甲-∆p乙=0

8．盛有水的薄壁圆柱形容器置于水平地面，其底面积为2×

10-2米2，甲和乙是由同种金属制成、体积不同的圆柱体。

若只在圆柱形容器内轻放入甲（或乙）时，甲（或乙）浸没在水中，且有水溢出容器。

现测得甲（或乙）轻放入容器后，容器对桌面的压强p、水对容器底部的压强p'

以及溢出水的质量m，并记录在下表中。

所放的

圆柱体

容器对桌面的压强p（帕）

水对容器底部的压强p'

（帕）

溢出水的质量m（千克）

甲

9800

4900

2

乙

11760

4

①求容器的高度h。

②求放入甲后容器对桌面的压力F甲。

③（a）求甲、乙质量的差值∆m；

（b）求制成圆柱体金属的密度ρ。

【答案】①0.5米；

②196牛；

③（a）6千克；

（b）3.0×

①h容=h水=p水/（ρ水g）=4900帕/（103千克/米3×

9.8牛/千克）=0.5米

②F甲=p甲S=9800帕×

10-2米2=196牛

③（a）m容甲=

=

=20千克

G容乙=F乙=p乙S=11760帕×

10-2米2=235.2牛

m容乙=

=24千克

∆m=（24千克+4千克）－（20千克+2千克）=6千克

（b）∆V=V水溢=

=2.0×

ρ=

=3.0×

9.一个底部为正方形，底面积为2⨯10-2米2的薄壁柱形容器放在水平桌面中央，容器高为0.12米，内盛有0.1米深的水，如图9（a）所示。

另有质量为2.5千克，体积为1⨯10-3米3的实心正方体A，如图9（b）所示。

⑴图9（a）中水对容器底部的压强。

⑵图9（b）实心正方体A的密度。

⑶将实心正方体A放入图9（a）的水中后，容器对桌面的压强的变化量。

（2）2.5×

（3）931帕。

⑴p＝ρgh＝1.0×

⑵ρA＝mA/VA＝2.5千克/（10-3米3）＝2.5×

⑶将物体A放入容器中，∵ρA>

ρ水∴物体A沉底。

V排=VA=1⨯10-3米3

液面上升△h=V排／S=1⨯10-3米3／2⨯10-2米2=0.05米,

0.03米⨯2⨯10-2米2=0.6千克

=（GA-G溢）／S=（mA-m溢）g／S

=（2.5-0.6）千克×

9.8牛/千克／2⨯10-2米2

=931帕

10.如图10所示，均匀圆柱体甲和薄壁圆柱形容器乙放置在水平地面上。

甲的质量为2千克，底面积为5×

10-3米2，乙的底面积为2×

①若水深为0.15米，求水对容器乙底部的压强p水。

②现将实心圆柱体丙先后叠放至甲的上部、竖直放入容器乙水中静止。

下表记录的是上述过程中丙浸入水中的体积V浸、甲对水平地面压强变化量△p甲和容器乙对水平桌面的压强变化量△p容。

请根据上述信息求出丙的重力G丙和水对容器乙底部的压强变化量△p水。

【答案】①1470帕；

②29.4牛；

③245帕。

①p水＝ρ水gh

＝103千克/米3×

0.15米=1470帕

②△P甲=△F甲/S甲

G丙=△F甲=△P甲S甲=5880帕×

0.005米2=29.4牛

△F容=△P容S乙=980帕×

0.02米2=19.6牛＜29.4牛，有溢出

V溢=（G丙-△F容）/（ρ水g）

=（29.4牛-19.6牛）/（103千克/米3×

9.8牛/千克）

=0.001米3

△h=（V浸-V溢）/S乙=（0.0015米3-0.001米3）/2×

10-2米2=0.025米

△p水＝ρ水g△h＝1.0×

0.025米=245帕

11．质量为0.2千克、底面积为0.01米2、容积为2×

10-3米3的薄壁容器内装入0.15米深的某液体后，容器对桌面的压力与液体对容器底部的压力恰好都为11.76牛。

（1）求该液体对容器底的压强。

（2）求该液体的密度、体积。

（3）若在容器内再放入一质量为1.5千克、体积为1.5×

10-3米3的实心物块，且物块浸没。

求物块静止后容器对桌面压强的增加量。

（1）1176帕；

（2）800千克/米3，1.25×

（3）882帕。

（1）p液=F液/S=11.76牛/0.01米2=1176帕

（2）ρ液=p液/gh=1176帕÷

（9.8牛/千克×

0.15米）=800千克/米3

G液=F容-G容=11.76牛-0.2千克×

9.8牛/千克=9.8牛

V液=m液/ρ液=G液/ρ液g

=9.8牛÷

800千克/米3）=1.25×

（3）V溢=V液+V物-V容=0.75×

m溢=ρ液V溢=800千克/米3×

0.75×

10-3米3=0.6千克

ΔP容=ΔF容/S=ΔG容/S=（m物-m溢）g/S

=（1.5千克-0.6千克）×

9.8牛/千克÷

0.01米2

=882帕

12．如图12所示，均匀实心圆柱体A和盛有适量水的薄壁圆柱形容器置于水平地面上，它们的底面积分别为2S和3S，圆柱体A的质量为m。

①若从容器内抽出质量为0.5千克的水，求抽出的水的体积。

②求圆柱体A对水平地面的压强。

若容器高为0.12米、底面积为3×

10-2米2，现沿水平方向从圆柱体A上方截取一部分∆A放入水中，截取部分∆A的质量为4.8千克，分别测出∆A放入容器前后，容器对水平桌面的压强p容、水对容器底部的压强p水，如下表所示。

求圆柱体A密度的最大值。

【答案】①0.5×

②mg/2S；

③2×

V水＝m水/ρ水＝0.5千克/1×

103千克/米3＝0.5×

pA＝FA/SA＝GA/2S＝mg/2S

因为∆F容＜GΔA，所以有水溢出。

因为∆p容>

∆p水，所以ΔA在水中一定沉底。

G溢＝GΔA－∆F容＝17.64牛

V溢＝G溢/ρ水g＝1.8×

原来水的深度h＝p水前/ρ水g＝0.1米

原容器内空的体积V空＝3×

0.02米＝0.6×

V排=V溢+V空＝1.8×

10-3米3+0.6×

10-3米3＝2.4×

VΔA≥2.4×

圆柱体A密度的最大值

ρAmax＝mΔA/VΔAmin＝4.8千克/2.4×

10-3米3＝2×

13．如图13所示，水平地面上置有轻质薄壁圆柱形容器甲和圆柱体乙。

甲的底面积为0.01米2、高为0.3米，盛有0.2米深的水；

乙的底面积为0.005米2、高为0.8米，质量为8千克。

求水对甲底部的压强p水。

求乙的密度ρ乙。

若在乙上方沿水平方向切去一部分，并将切去部分竖直放在甲容器内，此时水对容器底部的压力等于乙剩余部分对地面的压力，求甲容器对地面压强的变化量Δp甲。

②2×

103kg/m3；

③4410Pa。

①p水＝ρ水gh＝1.0×

0.2米＝1960帕

②ρ=m/V=8千克/（0.005米2×

高为0.8米）=2×

103kg/m3

③水对容器底部的压力等于乙剩余部分对地面的压力F水=F乙

因为F=PS

所以ρ水gh水S甲=ρ乙gh乙S乙

ρ水gh水2S乙=2ρ水gh乙S乙

h水=h乙即水的深度等于乙剩余部分的高度

当（V水+V´

乙）=V容时（水刚好满）需乙的高度

h´

乙=（V容-V水）/S乙=（3×

10-3米3-2×

10-3米3）/0.005米2=0.2米

所以h甲=h乙=0.3米

V溢=（V乙浸-V上升）=0.3米×

0.005米2-0.1米×

0.01米2=5×

△P甲=△F甲/S甲＝△G/S甲

＝（G乙切–G溢）/S甲

=（5千克–103千克/米3×

5×

10-4米3）×

9.8牛/千克/0.01米2

＝4410Pa。

14．如图14所示，一个重为6牛、容积为V容的圆柱形容器放在水平地面上，容器的底面积S为2×

①求该容器对水平地面的压强p地面。

②若在该容器中倒入体积为V水的水后，求水面下0.1米深处水