有理数知识点及经典题型总结讲义全说课讲解Word下载.docx
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（0不能忽视）
正整数正有理数*
正分数
有理数＜0
「负整数
负有理数］
总结：
1正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）
2负整数、0统称为非正整数
3正有理数、0统称为非负有理数
4负有理数、0统称为非正有理数
数轴
1.数轴的概念
规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；
⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，
三者缺一不可；
⑶同一数轴上的单位长度要统一；
⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可
用原点左边的点表示，0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，
有理数与数轴上的点不是对应关系。
（如，数轴上的点n不是有理数）
3.利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数；
⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大（小）数
⑴最小的自然数是0,无最大的自然数；
⑵最小的正整数是1,无最大的正整数；
⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数
5.a可以表示什么数
⑴a>
0表示a是正数；
反之，a是正数，则a>
0；
⑵a<
0表示a是负数；
反之，a是负数，则a<
⑶a=0表示a是0；
反之，a是0,,则a=0
6.数轴上点的移动规律根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。
相反数
1•相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：
⑴相反数是成对出现的；
⑵相反数只有符号不同，若一个为正，贝U另一个为负；
⑶0的相反数是它本身；
相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数，且只有一个；
⑵0的相反数是0；
⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0
3.相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；
互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。
0的相反数对应原点；
原点表示0的相反数。
说明：
在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：
5的相反数是-5）；
⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；
5a+b的相反数是-（5a+b）。
化简得-5a-b）；
⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简（如：
-5的相反数是-（-5），化简得5）
5.相反数的表示方法
⑴一般地，数a的相反数是-a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>
0时，-a<
0（正数的相反数是负数）
当a<
0时，-a>
0（负数的相反数是正数）
当a=0时，-a=0,（0的相反数是0）
考试常考：
已知a,b互为相反数，立马要想到a+b=0.
6.多重符号的化简
多重符号的化简规律：
“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；
“-”号的个数决定
最后化简结果；
即：
“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。
11
练习1.（3J（4牙）［（5）］{［
（2）］}
绝对值
1•绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
2.绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身；
⑵一个负数的绝对值是它的相反数；
⑶0的绝对值是0.
可用字母表示为：
1如果a>
0,那么|a|=a；
②如果a<
0，那么|a|=-a；
③如果a=0,那么|a|=0。
可归纳为①：
a>
0,<
—>
|a|=a（非负数的绝对值等于本身；
绝对值等于本身的数是非负数。
）
2a<
0，<
|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；
绝对值等于其相反数的数是非正数。
3.绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。
所以，a取任何有理数，
都有|a|>
0。
即:
⑴0的绝对值是0;
绝对值是0的数是0.即：
a=0<
—>
|a|=0；
⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：
|a|>
0；
⑶任何数的绝对值都不小于原数。
a；
⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。
若|x|=a（a>
0），则x=±
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。
|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|；
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。
|a|=|b|，则a=b或a=-b；
⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。
即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。
（非负数的常用性质：
若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0）
4.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：
数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
⑵利用绝对值比较两个负数的大小：
两个负数比较大小，绝对值大的反而小；
异号两数比较大小，正数大于负数。
5.绝对值的化简
①当a>
0时，|a|=a；
②当a<
0时，|a|=-a
6.已知一个数的绝对值，求这个数
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。
例1.已知Ia|=5,|b|=8,且|a+b|=-（a+b）,试求a+b的值。
练习2.已知|a|=5,|b|=8且IabI=-ab，试求a+b的值
有理数的加减法
1.有理数的加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
⑶互为相反数的两数相加，和为零；
⑷一个数与零相加，仍得这个数。
2.有理数加法的运算律
⑴加法交换律：
a+b=b+a
⑵加法结合律：
（a+b）+c=a+（b+c）在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
1互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；
2符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；
3分母相同的数先相加——“同分母结合法”；
将减法转换成加法）
省略加号和括号）
把符号相同的加数相结合）
运用加法法则一进行运算）
运用加法法则二进行运算）
省略加号和括号）把和为整数的加数相结合）运用加法法则进行运算）（把符号相同的加数相结合，并进行运算）（得出结论）
4几个数相加得到整数，先相加一一“凑整法”；
5整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3.加法性质
一个数加正数后的和比原数大；
加负数后的和比原数小；
加0后的和等于原数。
⑴当b>
0时，a+b>
a⑵当b<
0时，a+b<
a⑶当b=0时，a+b=a
4.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。
用字母表示为：
a-b=a+（-b）。
5.有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。
在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。
如：
（-8）+（-7）+（-6）+（+5）=-8-7-6+5.
和式的读法：
①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”
②按运算意义读作“负8减7减6加5”
6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：
I.把符号相同的加数相结合（同号结合法）
（-33）-（-18）+（-15）-（+1）+（+23）原式=-33+（+18）+（-15）+（-1）+（+23）
=-33+18-15-1+23
=（-33-15-1）+（18+23）
=-49+41
=-8
n.把和为整数的加数相结合（凑整法）
（+6.6）+（-5.2）-（-3.8）+（-2.6）-（+4.8）
原式=（+6.6）+（-5.2）+（+3.8）+（-2.6）+（-4.8）
=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8
=（6.6-2.6）+（-5.2-4.8）+3.8
=4-10+3.8
=7.8-10
=-2.2
E.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）精品文档
313217
———+—+—
524528
32、/11、/37、
原式=（--）+（-+）+（+-）
552248
=-1+0-1=-1-
88
IV.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）
312
（+0.125）-（-33）+（-3丄）-（-102）-（+1.25）
483
原式=（+1）+（+33）+（-3^）+（+102）+（-11）
84834
=1+33-31+102-1
=（33-1!
）+（!
-3!
）+10-
44883
V.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）
6
=21-3+10
411
=_1++
1522
彳815
=-1++—
30307
30
2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69
原式=（2-3-4+5）+（6-7-8+9）+…+（66-67-68+69）
=0
VD.先拆项后结合
（1+3+5+7•-+99）-（2+4+6+8…+100）
有理数的乘除法
1.有理数的乘法法则
法则一：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（“同号得正，异号得负”专指
“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）
法则二：
任何数同0相乘，都得0；
法则三：
几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；
负因数的个数是奇数时，积是负数；
法则四：
几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.
2.倒数
1
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a•-=1（a^
a
0），就是说a和1互为倒数，即a是丄的倒数，1是a的倒数。
aaa
①0没有倒数；
2求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；
求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
3正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；
4倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。
考试经常考：
已知a,b互为倒数，立马要想到ab=1.
例2.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为5•试求下式的值：
x2（abcd）（ab）1998（cd）1999
3.有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律：
一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
即ab=ba
⑵乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
即
（ab）c=a（bc）.
⑶乘法分配律：
一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在
把积相加。
即a（b+c）=ab+ac
4•有理数的除法法则
（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。
（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得0
5.有理数的乘除混合运算
（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。
练习3.快速计算
（1）33156——
-减法没有结合律
21
（2）（3）（-）（-）除法没有结合律!
5
4
有理数的乘方
1.乘方的概念
2.
做指数。
2•乘方的性质
（1）2008
练习7:
观察下列算式发现规律:
717，7249，73343,，74
2401，7516807，
求xy的值。
76117649，……，用你所发现的规律写出：
72011的末位数字是练习8:
某校初一年级共有8个班，以每班65人为标准，超过的人数记为正数，不足的人数记为负数，统计情况记录如下：
-1,-6，+2,-3，+4，0，-7,+3,求该校初一年级总人数。
有理数的混合运算
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序:
1•先乘方，再乘除，最后加减；
2•同级运算，从左到右进行；
3•如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
科学记数法
这种记数法是科
。
把一个大于10的数表示成a10n的形式（其中1a10，n是正整数）
学记数法。
地球上的陆地面积约为149000000km2，用科学记数法表示为
第1讲回家作业
一•填空题
1.-1-7丨的相反数为，相反数等于本身的数为.
31
2.已知丨x|=3，|y|=丄，且xy>
0，则x-y=.
22
3.x与21的差为1，则一x=.
4.近似数1.50精确到，78950用科学记数法表示为
5•按规律写数1，-1，1，-丄，…第6个数是
24816
二、选择题
1.下列说法正确的是（）
A.最小的有理数是0;
B.最大的负整数是一1;
C.最小的自然数是1;
D.最小的正数是1.
2.下列说法正确的是（）
A.两个有理数的和为零，则这两个有理数都为0;
B.两个有理数的和一定大于其中任何一个加数；
C.两个有理数的和为正数，则这两个数中至少有一个加数是正数;
D.两个有理数的和为负数，则这两个数一定都是负数.
3.下列说法正确的是（）
A.一个正数减去一个负数，结果是正数；
B.零减去一个数一定是负数；
C.一个负数减去一个负数，结果是负数；
D.“―2-3”读作“负2减负3”
4.下列说法正确的是（）
A.n个有理数相乘，当因数是奇数个时，积为负；
B.n个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负；
C.n个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；
D.n个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个.
5.下列说法正确的是（）
A.相反数是本身的数是1和0;
B.倒数是本身的数是1和0；
C.绝对值是本身的数是0和正数；
D.平方等于64的数是8.
E.
已知字母a、b表示有理数，如果a+b=0,则下列说法正确的是（）
7、一个数的平方为16,则这个数是（
&
绝对值大于2且小于5的所有整数的和是
在B、C之间，则下列式子成立的是（
12、若x为有理数，则|xx必是
A、若a>
-0.5，则a是正数
、若a<
0，则a|a
13、下列各语句中正确的是（
i
ii
1.
blj
c"
C若ab，则abD、若ab，则ab
14、a,b,c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（）
Aa+b<
0B、a+c<
0C、a-b>
0D、b-c<
三、计算
7、
1000999
823（4）3i
四、解答题
1.如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，y1没有倒数，x1的绝对值等于2.
那么代数式2|ab|（y1）（ab1）的值是多少？
请你求出来.
x
1，求曲的值
abc
2、已知|a2|与|b3|互为相反数，求3a2b的值
3、已知a、b、c均为非零的有理数，且——-
abc
4.“”代表一种新运算，已知abU，求xy的值.其中x和y满足方程
ab
12
（x3）2|13y|0.
五、某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6C。
若该地地
面温度为21T，高空某处温度为—39C，求此处的高度是多少千米？
六、找规律：
下列数中的第2003项是多少？
2004项呢？
第n个呢?
1，一2，3，—4，56…
七、下表记录的是流花河今年某一周内的水位变化情况，上周末（星期六）的水位已达到警戒水位33米。
（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）
⑴本周哪一天河流的水位最高？
哪一天河流的水位最低？
它们位于警戒水位之上还是之下？
⑵与上周末相比，本周末河流的水位是上升了还是下降了？
⑶以警戒水位作为零点，用折线统计图表示本周的水位情况。
星期
日
-一一
-二二
四
五
六
水位变化
（米）
+0.2
+0.8
-0.4
+0.2
+0.3
-0.5
-0.2
水位变化（米）解:
日一二三四五六星期
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